Twierdzenie Pitagorasa(2).docx

Spis treści:

1.Pitagoras.Szkoła Pitagorasa.

2.Twierdzenie Pitagorasa

3. Dowody potwierdzające słuszność Twierdzenia Pitagorasa

4.Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa

5.Źródła (Literatura)

1.Pitagoras - Filozof  i matematyk grecki z VI w. p.n.e. Urodzony na wyspie Samos. Przedsięwziął serię długich wypraw przez Bliski Wschód. Po powrocie  założył w Krotonie szkołę pitagorejczyków w roku 529 p.n.e.

       Nie pozostawił po sobie żadnych  pism, a szczegóły z jego życia i badań naukowych znane są wyłącznie z przekazów jego następców

Początkowo nauki Pitagorasa odniosły duży sukces, a jego system filozoficzny został uznany  w wielu greckich koloniach na zachodzie. Nauczanie Pitagorasa było uwikłane w liczne zamieszania polityczne, co wywoływało zamieszki. Założyciel zmuszony został do ucieczki na północ do Metapontu, gdzie  pozostał do końca życia.

Przypisuje mu się :

stworzenie początków teorii liczb,

sformułowanie tzw. Twierdzenia Pitagorasa ,

stworzenie kierunku filozoficznego  zwanego pitagoreizmem.

Związek Pitagorejski-Szkoła Pitagorasa.

Pitagoras założył w południowej części Półwyspu Apenińskiego bractwo religijne , którego członków zwano pitagorejczykami.

Związek Pitagorejski- założone w VI w. p.n.e. bractwo religijne łączące religijny mistycyzm  z badaniami naukowymi, głównie w zakresie matematyki i nauk przyrodniczych.

          Matematycy ze szkoły pitagorejskiej byli zafascynowani liczbami i związkami między nimi. Układając z małych otoczaków skomplikowane wzory, jako pierwsi odeszli od ograniczenia funkcji liczb wyłącznie do oznaczenia liczebności zbioru przedmiotów. Pitagorejczycy wierzyli w ich matematyczną i mistyczną naturę, dając tym samym podstawy całkowicie nowego myślenia o liczbach i abstrakcyjnych działań matematycznych.

           Bractwo to głosiło, że jednym z dogmatów jest nieśmiertelność, drugim zaś wędrówka dusz.

Pitagorejczycy twierdzili również, że zdolność pojmowania zasadza się na trzech podstawach: na bystrości, pamięci i żywości umysłu. Pamięć jest strażniczką tego, czego się ktoś nauczył; żywość umysłu to szybkość myślenia, bystrość zaś polega na wnioskowaniu z tego, czego się ktoś nauczył, o tym, czego się nie nauczył.

2.Twierdzenie Pitagorasa :

Twierdzenie to było znane już w starożytności, jednak jego pełny dowód przypisywany jest Pitagorasowi. Pierwsze sformułowanie tego twierdzenia brzmiało:

" Pole kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego jest równe sumie pól kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych."

Wersja algebraiczna:

Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma  kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej. Lub „W trójkącie prostokątnym długości przyprostokątnych a i b i przeciwprostokątnej c łączy związek : a2+b2=c2.”

Wersja geometryczna:

Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma pól kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych jest równa polu kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej.

Zgodnie z oznaczeniami na rysunku tezę twierdzenia można zapisać w postaci :

a2+b2=c2.

3.Dowody 

Dowód  I

Rozważmy  trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości a i b i przeciwprostokątnej  długości c .

Pole trójkąta oznaczmy jako P  .

Zauważmy ,że  + = 90o,więc c jest długością przekątnej prostokąta o bokach długości a  i b.

Budujemy kwadrat ABCD o boku długości a+b.Następnie rysujemy prostokąty o bokach długości a i b.(Na rysunku zaznaczone są kolorem czerwonym) oraz przekątne tych prostoką prostokątów (kolor niebieski).Wprowadźmy oznaczenia otrzymanych punktów zgodnie z rysunkiem na następnej stronie.

-czworokąt PQRS jest kwadratem o boku długości a-b.

Zauważmy, że :

- czworokąt ZTXY jest kwadratem o boku długości c (zwróćmy uwagę, że miary kątów między bokami tego czworokąta są równe + =90o ),

Mamy więc :

Pole kwadratu ABCD: ABCD= (a+b)2.

Pole kwadratu PQRS :PPQRS= (a-b)2.

Pole kwadratu ZTXY: PZTXY= c2.

(1)

Z drugiej strony

i PZTXY= PPQRS +4 * P .

PZTXY=PABCD -4* P .

2 *PZTXY=PABCD+PPQRS.

Dodając stronami ostatnie równości, otrzymujemy :

2c2=(a+b)2+(a-b)2=2a2+2b2.

Stąd i z (1) mamy:

Ostatecznie:   c2 =a2+ b2.

*- znak mnożenia

Dowód  II

Długość boku kwadratu ABCD wynosi a+b. Zatem pole tego kwadratu wynosi  (a+b)2. Kwadrat ten składa się z kwadratu o boku c oraz czterech przystających trójkątów prostokątnych.

Jego pole możemy więc zapisać :

Porównując ze sobą oba pola otrzymamy:

Ostatecznie otrzymamy :

a 2+b2=c2

Dowód  III

Z jednej strony mamy, że :

Obliczamy pole trapezu KLMN :

Dowód wykonany przez 20 prezydenta USA -Jamesa Garfielda. Dowód ten pochodzi z roku 1876

...