Twierdzenie Pitagorasa.docx

Twierdzenie Pitagorasa

Twierdzenie Pitagorasa – jest twierdzeniem geometrii euklidesowej, które w zachodnioeuropejskim kręgu kulturowym przypisywane jest żyjącemu w VI wieku p.n.e. greckiemu matematykowi i Filozofowi Pitagorasowi chociaż niemal pewne jest, że znali je przed nim starożytni Egipcjanie. Wiadomo też, że jeszcze przed Pitagorasem znano je w starożytnych Chinach, Indiach i Babilonii. Legenda głosi, że Pitagoras ofiarował bogom 100 wołów jako wyraz wdzięczności za odkrycie własności trójkątów prostokątnych. Warto przypomnieć, że twierdzenie to znane było już w innych krajach, gdzie służyło do wytyczania kątów prostych (świadczą o tym zachowane tabliczki z pismem klinowym). Uczniowie Pitagorasa swoje dzieła często przypisywali mistrzowi, dzięki czemu otrzymywały one wyższą rangę i były poparte autorytetem wielkiego filozofa. Podobnie mogło być ze słynnym twierdzeniem Pitagorasa nazwanym jego imieniem. Najprawdopodobniej nie zostało stworzone przez niego, lecz przez jednego z przedstawicieli szkoły pitagorejskiej.

Wśród innych osiągnięć Pitagorasa i jego szkoły wymienia się też:

·         dowód, że suma kątów trójkąta równa jest dwóm kątom prostym,

·         wprowadzenie średnich: arytmetycznej, harmonicznej i geometrycznej,

·         konstrukcje wielościanów foremnych i odkrycie dwunastościanu foremnego,

·         strój pitagorejski

Treść twierdzenia

Twierdzenie Pitagorasa

W dowolnym trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej tego trójkąta.

Geometrycznie oznacza to, że jeżeli na bokach trójkąta prostokątnego zbudujemy kwadraty, to suma pól kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych tego trójkąta będzie równa polu kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej. W sytuacji na rysunku obok: suma pól kwadratów "czerwonego" i "niebieskiego" jest równa polu kwadratu "fioletowego".

Twierdzenie to było znane już w starożytności, jednak jego pełny dowód przypisywany jest Pitagorasowi. Pierwsze sformułowanie tego twierdzenia brzmiało:

" Pole kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego jest równe sumie pól kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych."

Dziś twierdzenie Pitagorasa brzmi:

"Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej"

Dowody

Liczba różnych dowodów twierdzenia Pitagorasa jest przytłaczająca, według niektórych źródeł przekracza 350. Euklides w Elementach podaje ich osiem, kolejne pojawiały się na przestrzeni wieków i pojawiają aż po dni dzisiejsze.

Niektóre z dowodów są czysto algebraiczne (jak dowód z podobieństwa trójkątów), inne mają formę układanek geometrycznych (prawdopodobny dowód Pitagorasa), jeszcze inne oparte są o równości pól pewnych figur. Zaprezentuję tu jedynie kilka wybranych przeze mnie dowodów.

Dowód – układanka

Dany jest trójkąt prostokątny o bokach długości a, b i c jak na rysunku z lewej. Konstruujemy kwadrat o boku długości a + b w sposób ukazany na rysunku z lewej, a następnie z prawej. Z jednej strony pole kwadratu równe jest sumie pól czterech trójkątów prostokątnych i kwadratu zbudowanego na ich przeciwprostokątnych, z drugiej zaś równe jest ono sumie pól tych samych czterech trójkątów i dwóch mniejszych kwadratów zbudowanych na ich przyprostokątnych. Stąd wniosek, że pole kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej jest równe sumie pól kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych.

Dowód – układanka

Rysunek przedstawia jeden ze sposobów rozmieszczenia figur powstałych z kwadratów utworzonych na przyprostokątnych trójkąta prostokątnego w kwadracie utworzonym na przeciwprostokątnej danego trójkąta.
Sposób ten dowodzi nam Twierdzenia Pitagorasa.

Dowód – Algebraiczny

Należy pokazać, że a2 +b2 = c2, gdzie a, b – przyprostokątne

i c - przeciwprostokątna w trójkącie prostokątnym.
Rozważmy kwadrat o boku a+b; (rys.1), gdzie a i b są odcinkami różnej długości. Łącząc ze sobą charakterystyczne punkty leżące na przyległych bokach kwadratu otrzymamy kwadrat o boku c. Rozważmy teraz pole kwadratu o boku a+b (rys.1)

Z jednej strony wynosi ono:

P = (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Z drugiej zaś strony, pole to możemy obliczyć jako sumę pól: kwadratu o boku c i czterech trójkątów prostokątnych o przyprostokątnych a i b (rys.2).

P = P kwadratów + 4P trójkątów

P = c2 + 4      ab = c2 +2ab

Zatem mamy równość:

a2 + 2ab + b2 = c2 + 2ab

a2 + b2 = c2

Dowód – Hoffmana



Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku oraz podane niżej:
kąt  A = 90°, BC = a, CA = b, AB = c.
Przedłużamy odcinek CD do punktu N. Wówczas mamy figury o równych polach:
PALN = CALD = CAHI = b,
ABEL = ABFG = c,
PBEN = CBED = a.
Ale PBEN = PALN + ABEL, co oznacza, że a = b + c.

Dowód – Wernera

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku oraz podane niżej:
kąt A = 90°, BC = a, CA = b, AB = c.
Prowadzimy prostą IZ równoległą do boku CB oraz prostopadłe CX i AM do tego boku. Mamy ICBZ = ICAH = b, ale ICBZ = CB * CX, więc b = CB * CX.
Następnie: ICX = ACM, więc CX = CM; stąd wniosek, iż b = CB * MB.
Podobnie dowodzi się, że c = CB * MB.
Dodając powyższe równości, otrzymujemy

b + c = CB *CM + CB * MB = CB * (CM + MB) + CB = a

co ostatecznie daje:

a = b + c.

Dowód – Tempelhoffa

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku oraz podane niżej:
kąt A = 90°, BC = a, CA = b, AB = c.
Zgodnie z rysunkiem zauważamy, że:

LDE = ABC,

...