23 Zbiory.doc

23. Kształtowanie umiejętności klasyfikowania przedmiotów w różnych grupach wiekowych.

Z pojęciem zbioru dziecko styka się już w przedszkolu. Poznaje stosunki jakościowe i ilościowe przedmiotów. Dokonuje więc klasyfikowania przedmiotów, przyporządkowuje elementy jednego zbioru elementom  drugiego, wyróżnia podzbiory  w zbiorach, próbuje wyznaczać  praktycznie część wspólną dwóch zbiorów (określenie, które przedmioty spełniają jednocześnie dwa dane warunki).

Treści działu „Zbiory” w klasie I maja charakter propedeutyczny. Głównym ich zadaniem jest przygotowanie dzieci do efektywnego poznawania i opanowywania pojęć liczbowych i geometrycznych. Program nauczania przewiduje w tym zakresie:

·         Konkretne przykłady klasyfikacji przedmiotów według cech jakościowych ( np. koloru, kształtu )

·         Czynnościowe wyrodnienie zbioru przedmiotów spełniających dany warunek (tj. mających dana cechę) i formułowanie warunku, który spełniają  elementy danego zbioru

·         Uwzględnienie dwu cech przy klasyfikacji, a także ćwiczenia związane z wyodrębnieniem podzbioru oraz szukaniem części wspólnej i złączenia zbiorów

Tłumacząc treści tego działu należy przedstawiać je na prostych , konkretnych przykładach.
Przez wyodrębnienie konkretnych zbiorów, których elementy spełniają dany warunek należy rozumieć np. wyodrębnienie klocków niebieskich przez ułożenie ich wszystkich wewnątrz pętli. Odwrotnością jest formułowanie warunków, które spełniają  elementy danego zbioru, np. uczniowie widząc, jakie przedmioty zostały zaliczone do danego zbioru, podają warunek, jaki spełniają elementy tego zbioru. Bardzo kształcącymi są ćwiczenia w rozkładaniu klocków logicznych w dwóch zachodzących na siebie pętlach, układanie klocków  w tabelach prostokątnych, tzw. Schematach okienkowych, i suwanie klocków wzdłuż dróg z symbolami cech, położonymi względem siebie szeregowo lub równolegle. Ćwiczenia dotyczące części wspólnej zbiorów można ograniczyć do przypadków części wspólnej niepustej, a ćwiczenia dotyczące złączenia zbiorów, do przypadku zbiorów rozłącznych (nawet bez używania nazw część wspólna, zbiory rozłączne).

              Pojęcie zbioru kształtować możemy na początku  na przykładach z najbliższego otoczenia dziecka ( przyborów uczniów, przedmiotów w klasie, w domu, a także celowo zebranych i przyniesionych do klasy).

              Manipulacjom przedmiotami i materiałami oraz ich klasyfikacji według cech jakościowych musi towarzyszyć słowne ich opisywanie, a także opisywanie czynności oraz graficzne ich prezentowanie za pomocą grafów strzałkowych i schematów Venna. (Diagram Venna to schemat, służący ilustrowaniu zależności między zbiorami. Ma postać figur geometrycznych na płaszczyźnie. Zbiory reprezentowane są na ogół przez elipsy. Czasem obrazuje się również przestrzeń, umieszczając elipsy wewnątrz prostokąta. Figurom nadaje się różne tekstury i kolory, co znacznie ułatwia dostrzeżenie relacji pomiędzy zbiorami).

Część wspólna zbiorów A i B

              Klasyfikację jakościową rozpoczynamy od grupowania  przedmiotów według jednej wielkości ( np. koloru lub kształtu ). Potem przechodzimy do grupowania przedmiotów według dwóch cech jednocześnie, np. koloru i kształtu lub kształtu i wielkości, a także dochodzić możemy z dobrą klasą lub niektórymi uczniami do klasyfikacji według trzech, a nawet czterech cech jednocześnie.

              W nauce o zbiorach doniosłą role odgrywa nauczanie czynnościowe.  Manipulowanie oraz  przekształcanie konkretnych przedmiotów i stosunków między nimi wyzwalać będzie takie operacje logiczne i rozumowanie, które pozwoli rozwiązać stawiane uczniom lub przez nich formułowane problemy matematyczne.

              W nauce o zbiorach najważniejsze jest ukształtowanie odpowiednich struktur pojęciowych i myślenia tymi strukturami. Nazewnictwo czynności (np. wyodrębnianie zbiorów) i operowanie terminami (np. zbiór, podzbiór, należy, nie należy itp. ) jest ważne ale ma znaczenie drugorzędne. Uczeń, który wykona poprawnie polecenie, rozumie czynności innych i określenia słowne nauczyciela, opanował podstawy klasyfikacji przedmiotów w odpowiednich zbiorach. W klasie I symboli mnogościowych nie wprowadzamy ( chyba, że mamy szczególnie sprzyjające warunki).

W trakcie realizacji tego programu chodzi więc o rozumienie i poprawne operowanie takimi pojęciami, jak: zbiór, podzbiór, porządkowanie zbiorów, część wspólna zbiorów, złączenie zbiorów, a także łączenie zbiorów w pary i częściowo równoliczność zbioru i liczebność zbioru.

Problematykę zbiorów realizujemy następnie we wszystkich  dalszych działach. Chodzi o zastosowanie  zbiorów lub ich dalszą interpretację na różnych treściach nauczania.

Materiał działu „Zbiory” uczniowie klasy I opanowują głównie w formie zabaw, gier i ćwiczeń. Orientacja i sprawność w wykonywaniu  operacji na konkretnych przedmiotach, rozumienie ich klasyfikowania i operowania nimi oraz poprawne wyciąganie wniosków będzie utrwalone i pogłębione przy realizacji dalszych działów programu, głównie kształtowania pojęcia liczby.

Kształtowanie pojęcia liczebności zbioru. Podstawy klasyfikacji ilościowej zbiorów.

W celu lepszego przygotowania uczniów  klasy I do rozumienia pojęcia liczby i działania na liczbach, elementy teorii mnogości z jej ilościowym aspektem poprzedzają nauczanie arytmetyki. Dzieci przedszkolne wykonują także wiele konkretnych ćwiczeń prowadzących do kształtowania pojęcia liczby elementów zbioru. Bardzo często robią to najpierw samorzutnie przeliczając ( porównując, odwzorowując) przedmioty, którymi operują. Potem nauczyciel już celowo organizuje zabawy i ćwiczenia w tym zakresie.

Znacznie trudniejsze jest określenie stosunków ilościowych między zbiorami niż jakościowych. Dlatego też liczebność zbiorów początkowo określana jest tylko ogólnie: tyle samo, więcej, mniej.

Jednym z podstawowych pojęć z zakresu liczebności zbiorów jest pojęcie : zbiory równoliczne i zbiory równe. Równoliczność zbiorów to pojęcie skomplikowane i trudne, uczniowie muszą wyabstrahować tylko czynnik ilości i uświadomić sobie, że czynnik przestrzenny i wielkościowy elementów danego zbioru, nie wpływa na liczebność. Natomiast zbiory równe to zbiory równoliczne, ale jednorodne ( np.. dwa równoliczne zbiory orzechów są równe itp.).

W ćwiczeniach z tym związanych nauczyciel powinien pamiętać, iż odwzorowanie wzajemnie jednoznaczne dwóch zbiorów równolicznych prowadzi do możliwości rozpatrywania przykładów związanych z:

1. przechodnością równoliczności (jeżeli zbiór A jest równoliczny ze zbiorem B i B jest równoliczny ze zbiorem C, to zbiór A jest równoliczny ze zbiorem C)
2. symetrią równoliczności (jeżeli zbiór A jest równoliczny ze zbiorem B, to także zbiór B jest równoliczny ze zbiorem A)
3. zwrotnością równoliczności ( każdy zbiór jest równoliczny sam ze sobą – zbiór A jest zawsze równoliczny ze zbiorem)

W związku z powyższym, uczniowie powinni zrozumieć również dalsze zależności:

·         jeżeli więc pierwszy zbiór ma więcej elementów niż zbiór drugi, to drugi zbiór ma mniej elementów niż pierwszy,

·         jeżeli pierwszy zbiór ma więcej elementów niż drugi, a drugi mniej niż trzeci, to pierwszy zbiór ma więcej elementów niż trzeci

Każdy zbiór mający więcej przedmiotów  (elementów )  jest większy od innego zbioru, który ma mniej elementów. Trudność polega tutaj na początkowym nierozgraniczeniu przez uczniów cech ilościowych od jego wielkości przestrzennej i dlatego przy porównywaniu na oko liczebności dwóch zbiorów, o różnych jakościowo cechach czy przedmiotach, uczniowie stwierdzają mylnie, że np. wiadro to więcej niż kubek lub dzieci w klasie to więcej niż kartek w książce.

              W celu właściwego i możliwie szybkiego ukształtowania pojęcia ilości należy brać pod uwagę następujące wskazania i realizować je etapami:

1. ilość elementów w zbiorze oceniać na oko tylko przy małej ich liczbie  (np. od 1 do 3, najwyżej 4 elementów), łatwej do jednorazowego, globalnego uchwycenia wzrokiem.
2. przy większej ilości elementów należy dwa zbiory porównać (uszeregować parami ), ustalając odpowiedniość wzajemnie jednoznaczną i stwierdzić, czy są równoliczne. W por ównywaniu zbiorów ze względu na liczebność uważa się bowiem, że dwa zbiory mają po tyle samo elementów wtedy, gdy wszystkie elementy obu zbiorów można połączyć w pary w taki sposób, że w każdej parze znajduje się po jednym elemencie z każdego zbioru. W ten sposób łatwo stwierdza się czy zbiory są równoliczne. Na początku należy rozpatrywać przykłady przedmiotów, które do siebie pasują ( np. szklanka- łyżeczka ), a potem inne.
3. odwzorowywać zbiory metodą graficzną, łącząc strzałkami elementy jednego zbioru z elementami drugiego zbioru.
4. odwzorowywać zbiory przez zbiory ( układanie lub dorysowywanie zbiorów równolicznych do danych ).
5. dopiero teraz, gdy dzieci zauważają tę własność, można porównywać zbiory przez przeliczanie i potwierdzanie wyniku przeliczenia przyporządkowaniem parami.

Dla rozumienia pojęcia stałej liczby elementów w danym zbiorze uczniowie  elementy tego samego zboru powinni przeliczać różnymi sposobami: od lewej do prawej i odwrotnie, od środka lub innego miejsca w jedną, a potem w drugą stronę, parami lub większymi grupami według kolorów, przeznaczenia, wielkości, układaniem rzędami po 3 lub 4 elementy, wkładaniem do pudełek itp.

Ćwiczenia w porządkowaniu według liczebności układu kilku zbiorów ma doprowadzić do rozumienia danej liczby między innymi liczbami oraz rozumienia liczb mniejszych i większych w stosunku do rozpatrywanej liczby, a jednocześnie zdawanie sobie sprawy przez uczniów sąsiedztwa liczb.

Stucki E.: Metodyka nauczania matematyki w klasach niższych