PYTANIE NR 35
ROZSZERZENIE ZAKRESU LICZBOWEGPO DO 20
DODAWNIA I ODEJMOWANIE W ZAKRESIE 20
Rozszerzenie zakresu liczbowego do 20 jest bardzo ważnym elementem w kształtowaniu pojęcia liczby naturalnej. Chodzi tu głównie o poznanie dziesiątkowego układu pozycyjnego. Według Z. Semadeniego należy w tym zakresie uwzględniać:
- kształtowanie rozumienia liczb w nowym zakresie, przede wszystkim tego, które z nich są mniejsze, a które większe,
- ćwiczenia właściwego wymawiania i pisania liczebników,
- zapisywanie liczb za pomocą cyfr i związek z numeracyjnymi przypadkami dodawania i odejmowania,
- miejsca nowo poznanych liczb na osi liczbowej,
- stopniowe zaznajamianie dzieci z dziesiątkowym systemem pozycyjnym.
Treści podstawowe tego działu obejmują pisanie i czytanie licz od 10 do 20. poprzedzają je treści wspierające w postaci ćwiczeń w przeliczaniu przedmiotów z wyodrębnianiem dziesiątki i jedności oraz tworzeniem poszczególnych liczb. Program zaleca ponadto przedstawienie liczb od 0 do 20 na osi liczbowej i ich porównywanie.
W trakcie realizacji omawianego działu warto prowadzić dużo ćwiczeń manipulacyjnych na konkretach, takich jak: wiązanie patyczków gumkami, rozkładanie (grupowanie, składanie) elementów na liczydle, na małych liczydełkach, na podstawkach z dziurkami, na kolorowych liczbach, osi liczbowej, minikomputerze i grach dydaktycznych. Ponadto mogą to być ćwiczenia w tabeli dziesiątkowego układu pozycyjnego z zawieszaniem kartoników z cyframi, a także ćwiczenia z konkretnymi elementami do tablicy flanelowej i magnetycznej w trakcie układania i rozwiązywania zadań tekstowych.
Do interesujących i bardzo potrzebnych ćwiczeń należą ponadto:
- szukanie kolejnych liczb od 0 do 20 w zbiorze liczb i łączenie ich strzałkami od najmniejszej do największej,
- układanie liczb dwucyfrowych z kartoników i potem ich pisanie,
- wpisywanie do pustych kwadratów (kółek, trójkątów, przy koralach na sznurku) połączonych strzałkami (lub bez strzałek) kolejnych liczb od 0 do 20,
- uzupełnianie brakujących liczb na osi liczbowej i uzupełnianie elementów w balonikach do odpowiedniej liczby z osi,
- pisanie liczb o 1 mniejszych i większych od danej,
- szukanie liczb sąsiednich, parzystych i nieparzystych na osi,
- zaznaczanie na osi liczbowej grafem strzałkowym wymienianych liczb i porównywanie wybranych par,
- przyporządkowywanie działań liczbom na osi,
- zaznaczanie na osi liczbowej liczb, które należą do części wspólnej zbioru,
- szukanie składu liczb od 10 do 20: na zbiorach, w działaniach, np. poznanie składu monety 10 i 20-złotowej w monetach, na grafach i na osi liczbowej,
- porównywanie liczb oraz sum i różnic (stwierdzanie, że jeżeli zwiększymy lub zmniejszymy o tę sama liczbę, nierówność będzie taka sama).
Przed przystąpieniem do dodawania i odejmowania w zakresie 20 bardzo ważne jest zmechanizowanie działań w zakresie pierwszej dziesiątki ułatwiające uczniom opanowanie metody dodawania i odejmowania liczb w zakresie 20, zarówno wewnątrz drugiej dziesiątki jak i z przekroczeniem progu dziesiątkowego. Należy przy tym doskonalić dopełnianie do 10 i odejmowanie od 10.
Program nauczania w zakresie dodawania i odejmowania do 20 przewiduje do realizacji następujące treści:
- dodawania i odejmowanie typu: 10+5, 5+10, 15-10, 15-5, 12+3, 15-12, 18+2,
- dodawanie i odejmowanie z przekroczeniem progu dziesiątkowego,
- wprowadzenie nawiasu.
Przy realizacji tego działu zaleca się stosowanie różnorodnych sposobów przekraczania progu dziesiątkowego. Obok podstawowego sposobu: 9+5=9+1+4, zaleca się pokazanie uczniom innego: 5+9=5+10-1, (ilustrując go poglądowo, np. przez opis płacenia i wydawania reszty).
Wprowadzenie nawiasu ma ułatwić uczniom m.in. zrozumienie sposobu przekraczania progu dziesiątkowego.
Zagadnienia te wprowadzamy w klasie I, natomiast umiejętności te należy doskonalić, zmechanizować i osiągnąć w nich biegłość w klasie II.
Zrozumienie techniki dodawani i odejmowania w zakresie 20 z przekroczeniem progu dziesiątkowego wymaga wstępnego uświadomienia sobie liczb dwucyfrowych. Pierwsza to fakt, że nasz układ liczenia jest układem dziesiątkowym, tzn., że 10 jednostek niższego rzędu tworzy 1 jednostkę wyższego rzędu (10 jedności to dziesiątka, 20 jedności to dwie dziesiątki). Druga zależność to pozycyjność naszego układu liczenia, z której wynika, że wartość liczby zależy od pozycji, na której została umieszczona. Na przykład, w zapisie 11 występuje tylko jedna cyfra, ale każda oznacza inną wielkość, 1 dziesiątka + 1 jedność. Podobnie w zapisach 22, 15 itd. Problemy te należy ciągle podkreślać i wdrążać uczniów do ich uzasadniania.
Poznanie wielu sposobów przekraczania progu dziesiątkowego powinno przygotować uczniów do podobnych działań w dalszych zakresach liczenia oraz do wyboru dla siebie kilku najbardziej odpowiednich. Tradycyjnie pojmowanie progu dziesiątkowego polegające tylko na dopełnianiu najpierw do 10 itd. nie zawsze odpowiada każdemu uczniowi. Sposób ten należy wdrażać, ale obok niego ukazać inne metody liczenia i pozwolić uczniowi wybrać sposób obliczania konkretnego zadania. Oto podstawowe sposoby przekraczania progu dziesiątkowego:
a) manipulacja na konkretach (przedmiotach lub patyczkach, liczmanach itp.) i ich przeliczanie. Dołączanie do jednych elementów tylu, ile trzeba dodać (np. 4) i przeliczanie wszystkich. Podobnie wykonuje się odejmowanie;
b) dopełnienie pierwszego składnika do 10 (dokładanie) i dodanie pozostałej liczby, tzn. rozkładanie drugiego na sumę dwóch liczb, z których pierwsza uzupełniać będzie 10. Na przykład:
9+4=9+(1+3)=(9+1)+3=10+3=13
14-5=14-(4+1)-1=10-1=9;
c) do podanej liczby dodanie 10 i wydanie reszty w stosunku do wielkości podanej tzn. Rozkładanie drugiego składnika na różnice 10 i pozostałej części. Na przykład:
5+9=5+10-1=15-1=14;
d) dodawanie do podaje liczby tej samej i dodanie (lub odjęcie) pozostałej części drugiej liczby. Na przykład:
6+7=6+6+1=12+1=13
7+6=7+7-1=14-1=13;
e) przekraczanie progu przez wydawanie reszty do 10 i dalej, czyli odejmowanie przez dopełnianie. Na przykład: Kupujemy coś za 9 zł i dajemy do kasy 20 zł. Kasjer wydaje 1 zł (dopełniając do 10 mówi 10) i 10 9mówiąc 20);
f) sposoby kombinowane, polegające na dodawaniu kilku tych samych składników powstałych z rozłożenia dodawanej liczby (lub kilku różnych składników, o ile to jest wygodniejsze). Podobnie należy obliczać przy odejmowaniu Na przykład:
7+8=7+4+4=
Dodawanie należy do razu łączyć z odejmowaniem i opracowywać je jednocześnie jako działanie odwrotne.
W działaniach wewnątrz pierwszej i drugiej dziesiątki należy rozwiązywać przykłady ukazujące przemienność i łączność dodawania, a uczniowie zauważone zależności powinni wyrażać własnymi słowami.
W czasie realizacji tego działu należy przeprowadzić dużo ćwiczeń i rozwiązywać oraz układać zadania tekstowe z liczeniem pieniędzy, a głównie płaceniem (kupowaniem, planowaniem wydatków, wydawaniem reszty itp.).
W zadaniach tekstowych, a także w przypadkach rachunkowych, należy często wykorzystywać zbiory i równania.
Równania w tym dziale należy nadal rozwiązywać najpierw za pomocą czynności na konkretach i metodą guziczkową, a potem obliczać je również innymi sposobami (na grafach strzałkowych, drzewkach, na osi liczbowej, w tabelkach, przez podstawianie i sprawdzanie oraz przez analogie słowna).
Proponuje się w tym dziale także wprowadzenie nawiasu. Chodzi o to, aby nawiasy wykorzystać w działaniach do zmiany kolejności ich wykonywania lub wskazania, jaką kolejność należy zastosować. Bardzo pomocne będą tu zadania tekstowe i prezentowanie ich rozbioru na organigramach (drzewkach) syntetycznych lub analitycznych. Poniżej przedstawiam przykłady takich drzewek:
TABELKI DZIAŁAŃ
Wypełnianie i odczytywanie tabelek działań ma służyć wdrażaniu uczniów do posługiwania się różnego rodzaju tablicami, które będą spotykali w późniejszej pracy zawodowej i w życiu codzienny. Wpisanie (lub odczytanie) na przykład liczby 5 jako sumy 3+2 w tabelce przedstawionej na rysunku 1 – to nowa ważna umiejętność, którą uczeń stopniowo opanuje w praktycznym działaniu. Wymaga ona – oprócz obliczenia żądanej sumy – również odpowiedniej koordynacji wzrokowej: zidentyfikowania wiersza poziomego wyznaczonego przez składnik 3 oraz kolumny pionowej wyznaczonej przez drugi składnik 2, odnalezienia kratki będącej przecięciem tych dwóch pasów oraz wpisania w nią właściwej liczby. W podobny sposób wpisuje się pozostałe sumy.
Tabelkę taką można zastąpić tradycyjnymi „słupkami”, wypisując tyle „słupków”, ile jest liczb z lewej strony tabeli (tzn. tyle, ile jest wierszy tabelki), a w każdym :słupku” tyle przykładów, ile jest kolumn tabelki. Na przykład tabelka z rysunku 1 jest równoważna dwóm słupkom:
5 + 1 = 6 3 + 1 = 4
5 + 0 = 5 3 + 0 = 3
5 + 2 = 7 3 + 2 = 5
5 + 5 = 10 3 + 5 = 8
Zgodnie z konwencją przyjętą w podręczniku Rusickiego i Schayera dla klasy II, a także nowych podręcznikach i dla klasy I, tabelki takie odczytuje się w kierunku wskazanym strzałką na rysunku 2, tzn. najpierw odczytuje się liczbę z lewej strony tabeli, następnie znak działania i liczbę z góry tabelki (kolejność ta nie ma oczywiście wpływu na wynik w przypadku dodawania i mnożenia, gdyż są to działania przemienne, jest natomiast istotna przy odejmowaniu i dzieleniu).
Czasem w tabelce dane jest: działanie (np. dodawanie), niektóre składni i niektóre sumy są podane; należy znaleźć pozostałe składniki i sumy. Na przykład na rysunku 3 brak jest jednego składnika (u dołu po lewej). Dana jest suma 6; rozwiązując (w pamięci) równanie x+2=6 otrzymujemy nieznany składnik x=4 i wpisujemy go w odpowiednią rubrykę, a następnie obliczamy pozostałe sumy.
Rysunek 1 Rysunek 2 Rysunek 3
TABELKI FUNKCYJNE
W tabelkach funkcyjnych strzałka pokazuje, jaką liczbę należy dodać kolejno do każdej z liczb wypisanych z lewej strony tabelki. Wyniki wpisuje się w odpowiednich miejscach po prawej stronie (rysunek 4). Wypełnienie takiej tabelki jest więc równoważne wykonaniu obliczeń 1+3=..., 5+3=..., 4+3=..., które można by też zapisać w tradycyjnym „słupku”.
Możliwa jest też sytuacja taka jak na rysunku 5: w tabelce jest danych więcej liczb niż poprzednio, ale za to trzeba ustalić, jakie działania przedstawiają strzałki. Nietrudno stwierdzić, że w owalu górnej strzałki należy wpisać +3, a w owalu dolnej –3. Teraz możemy wypełnić brakujące okienko: 10+3=13.
Jeżeli dana u góry strzałka oznacza odejmowanie pewnej liczby, działaniem odwrotnym jest dodawanie.
Tabelki można ustawić poziomo (rysunek 6, mogą one także mieć nieco inną formę graficzną (rysunki 7 i 8). Ten ostatni typ jest najprostszy do rysowania i najwygodniej go stosować w klasie.
Rysunek 4 Rysunek 5 Rysunek 6 Rysunek 7 Rysunek 8
ALGORYTMY DODAWANIA I ODEJMOWANIA PISEMNEGO
Wprowadzenie algorytmu dodawania pisemnego
Przed wprowadzeniem algorytmu dodawania należy przeprowadzić przygotowawcze ćwiczenia w rachunku pamięciowym, w szczególności w rachowaniu na pełnych dziesiątkach i setkach, polecamy uczniom wykonać obliczenie pieniężne wymagające dodania dwóch liczb dwucyfrowych, np. 11 i 12. Dzieci układają obie kwoty z tekturowych pieniędzy, łączą razem, dokonują odpowiedniej wymiany i odczytują sumę. Szczególnie ważny jest moment zamiany 10 „złotówek” na 1 dziesiątkę.
Następnie dzieci opowiadają, co robiły i przystępują do zapisywania swych czynności w tabelkach (takich jak na rysunku A, piszą tylko liczby). W kolejnych wierszach podają: jeden składni, drugi, następnie liczby otrzymane po dodaniu osobno jedności i dziesiątek. Uczniowie przypominają, co robili dalej: zmienili 11 jedności na 1 dziesiątkę i 1 jedności, potem otrzymaną dziesiątkę dołączyli do reszty. Dodają otrzymane liczby i odczytują wynik: 23. Należy zachęcać uczniów do wpisywania wszystkie cyfr wyników od razu we właściwych rzędach.
Gdy zrozumieją oni ten sposób obliczania sumy, proponujemy im pewne uproszczenie: nie ma potrzeby rysować za każdym razem tabelki, wystarczy ją sobie tylko wyobrazić, a pisać same cyfry w odpowiednich miejscach (rysunek B), tak by jedności były podpisane pod jednościami, dziesiątki pod dziesiątkami itd. Przygotowaniem do tego jest uprzednie opuszczanie liter J, D, S (z zachowaniem pionowych linii tabelki) rysunek C.
Warto zalecać pisanie małych cyferek przy przekraczaniu progu. Ułatwia to nie tylko zrozumienie sensu wykonywanych operacji, ale także upraszcza samo obliczenie, odciążając pamięć. Można wprowadzić zwyczaj skreślania takiej cyferki po jej wykorzystaniu, nie jest to jednak konieczne.
Rysunek A Rysunek B Rysunek C
Wprowadzenie algorytmu odejmowania pisemnego
Postępowanie metodyczne jest analogiczne do poprzedniego: manipulacje tekturowymi monetami, rozmienianie dziesiątek na jedności, odejmowanie w tabelkach, przejście do zwykłego zapisu pionowego (rysunek D).
Należy pamiętać, że sprawdzamy odejmowanie przez dodawanie. Obserwujemy przy tym, co się dzieje z naszą rozmienioną dziesiątką: przy dodawaniu 10 jedności zmienia się z powrotem na 1 dziesiątkę.
Rysunek D
PRZYKŁADY ĆWICZEŃ
W temacie rozszerzenia progu liczbowego do 20 oraz dodawania i odejmowania w tym zakresie występują następujące ćwiczenia:
1. Bardzo potrzebne są ćwiczenia w porządkowaniu liczb w zakresie 20 od najmniejszej do największej i odwrotnie, nanoszenie ich i uzupełnianie na osi liczbowej, ustalenie liczb sąsiednich itp. Bardzo pomocne w tych ćwiczeniach są zabawy w „rozmowę liczb” (jestem liczbą 12, jestem od ciebie większa o 3) lub „prezentację liczb” (jestem liczbą 14, składam się z 1 dziesiątki i 4 jedności).
2. Ćwiczenia przedstawiające dodawanie i odejmowanie w zakresie 20 w sposób graficzny:
a) tabelki
b) grafy strzałkowe
c) grafy – drzewka
d) oś liczbowa
3. Wypełnianie tabelek funkcyjnych o różnym stopniu trudności:
4. Łączenie strzałkami działań z liczbami na osi:
5. Ćwiczenia z kolorowymi liczbami typu: Oblicz sumę liczb: 7 i 3, 17 i 3, 8 i 2, 18 i 2, 12 i 3, 2 i 3. Oblicz różnicę liczb: 7 i 3, 17 i 3, 19 i 4, 9 i 4.
6. Ćwiczenia utrwalające poznanie treści:
a) połącz strzałkami odpowiednie elementy zbiorów
b) połącz strzałkami równe sumy i różnice
c) przyporządkuj działania odpowiednim liczbom w kwadracie
d) dokończ obliczenia i zapisz działania we wzorach
e) dokończ obliczenia
f) wstaw brakujące liczby i połącz prostokąty z liczbą na osi liczbowej
g) uzupełnij graf i napisz do niego działania
h) odszukaj taką drogę od lewego górnego rogu do prawego dolnego, abyś wędrując po liniach ciągłych lub przerywanych od liczby do liczby i dodając je uzyskał liczbę 20. (Odp. Droga linii przerywanych).
ŚRODKI DYDAKTYCZNE
Do podstawowych środków dydaktycznych, które warto wykorzystać do realizacji dodawania i odejmowania w zakresie 20 możemy zaliczyć:
a) kolorowe liczby,
b) patyczki zwykłe, patyczki logiczne,
c) różne liczmany,
d) liczydła (klasowe, planszowe, prętowe, małe liczydełka 2-prętowe do 20),
e) lizaki z cyframi dla każdego ucznia (lub zwykłe kartoniki z cyframi),
f) oś liczbową,
g) stemple grafów strzałkowych różnych kształtów, stemple schematów Venna, tabelek funkcyjnych i drzewek,
h) minikomputery i kalkulatory,
i) przedmioty do ilustracji zadań tekstowych,
j) cenniki i inne ilustracje do zadań,
k) wzory kart pracy dla uczniów,
l) gry i zabawy dydaktyczne, np.: milczek, sztafeta liczb, jesteś...
ela.su