wykl_teoria_sprezystosci_12_teoria_cienkich_plyt_i_powlok.pdf

(153 KB) Pobierz
Microsoft Word Viewer 97 - Wyk³ad_12_teoria cienkich p³yt i pow³ok.doc
W YKŁADY Z T EORII S PRĘŻYSTOŚCI
T EORIA CIENKICH PŁYT I POWŁOK
1
Olga Kopacz, Krzysztof Krawczyk, Adam Łodygowski,
Michał Płotkowiak, Agnieszka Świtek, Krzysztof Tymper
Konsultacje naukowe: prof. dr hab. J ERZY R AKOWSKI
Poznań 2002/2003
TEORIA SPRĘŻYSTOŚCI 12
PLASTYCZNOŚĆ
Wykład 12 z 15.05.2003. obejmujący zagadnienie teorii cienkich płyt i powłok.
12.1. Teoria cienkich płyt i powłok.
Płyta jest to płaski dźwigar powierzchniowy, którego grubość jest stała i
mała w porównaniu z pozostałymi wymiarami płyty. Teorię płyt cienkich o
małym ugięciu możemy porównać do teorii zginania belek. Ugięcie płyty jest
jednak opisane niejednorodnym równaniem biharmonicznym, które
powszechnie występuje w teorii sprężystości.
Płyta cienka to taka, której wysokość (grubość) jest:
a)
<
1
wymiaru krótszego boku:
10
b)
<
1
średnicy (dla płyt okrągłych)
5
Płyty cienkie spełniają hipotezy Kirhoffa:
1. Powierzchnia środkowa płyty nie doznaje żadnych wydłużeń ani
odkształceń postaciowych.
2. Punkty płyty położone na normalnej do odkształconej powierzchni
środkowej po odkształceniu leżą również na normalnej do odkształconej
powierzchni środkowej.
3. Naprężenia normalne prostopadłe do płaszczyzny płyty (σ z ) są małe w
porównaniu z pozostałymi naprężeniami i mogą być pominięte.
Politechnika Poznańska®
Kopacz, Krawczyk, Łodygowski, Płotkowiak, Świtek, Tymper
54622920.005.png
 
W YKŁADY Z T EORII S PRĘŻYSTOŚCI
T EORIA CIENKICH PŁYT I POWŁOK
2
x 1 (x)
x 2 (y)
x 3 (z)
A
x
y
z
w=u 3
1
1
A
ϕ 1
ϕ 1
Zajmujemy się tylko przemieszczeniami pionowymi - prostopadłymi do
płaszczyzny środkowej.
Przyjęliśmy założenie, iż
33
=
z
0
.
u
=
u
=
ztg
z
;
tg
=
dw
1
1
1
1
dx
u
=
v
=
ztg
z
;
tg
=
dw
2
2
2
2
dy
u
=
z
dw
;
v
=
z
dw
;
w
=
w
dx
dy
Szukamy przemieszczenia w. Jest ono funkcją ugięcia płyty: w=w(x,y)
Przyjmijmy oznaczenia:
11
=
x
;
22
=
y
;
12
=
xy
=
1
(
w
+
u
)
13
2
x
z
Politechnika Poznańska®
Kopacz, Krawczyk, Łodygowski, Płotkowiak, Świtek, Tymper
54622920.006.png 54622920.007.png 54622920.001.png
W YKŁADY Z T EORII S PRĘŻYSTOŚCI
T EORIA CIENKICH PŁYT I POWŁOK
3
Ponieważ:
u
=
z
dw
;
u
=
w
dx
z
x
=
1
(
w
w
)
=
0
=
2
µε
+
=
0
13
2
x
x
13
13
13
kk
=
1
(
w
+
v
)
=
0
=
2
µε
+
=
0
23
2
y
z
23
23
23
kk
u
2
w
=
=
z
x
x
x
2
v
2
w
=
=
z
y
y
y
2
1
u
v
2
w
=
(
+
)
=
z
xy
2
y
x
x
y
=
1
[
(
+
)
]
=
0
z
E
z
x
y
z
33
=
z
=
E
(
x
+
y
)
E
Ez
2
w
2
w
=
(
+
)
=
(
+
)
x
1
2
x
y
1
2
x
2
y
2
E
Ez
2
w
2
w
=
(
+
)
=
(
+
)
y
1
2
y
x
1
2
y
2
x
2
E
Ez
2
w
=
=
xy
1
+
xy
1
+
x
y
Politechnika Poznańska®
Kopacz, Krawczyk, Łodygowski, Płotkowiak, Świtek, Tymper
;
54622920.002.png
 
W YKŁADY Z T EORII S PRĘŻYSTOŚCI
T EORIA CIENKICH PŁYT I POWŁOK
4
Sprawdzamy, czy spełnione są równania Naviera:
Przyjmujemy, że płyta jest nieważka (nie ma sił masowych).
x
+
yx
+
zx
=
0
(12.1.1.)
x
y
z
Po podstawieniu do równania (12.1.) wyrażeń na σ x i τ xy otrzymamy:
Ez
3
w
3
w
Ez
3
w
zx
=
+
+
z
1
2
x
3
x
y
2
1
+
x
y
2
xy
+
y
+
zy
=
0
(12.1.2.)
x
y
z
Po podstawieniu do równania (12.2.) wyrażeń na σ y i τ xy otrzymamy:
Ez
3
w
3
w
Ez
3
w
zy
=
+
+
z
1
2
y
3
y
x
2
1
+
x
y
2
xz
+
yz
+
z
=
0
(12.1.3.)
x
y
z
W celu wyznaczenia
zx
oraz
yz
całkujemy po z i dodajemy warunki
brzegowe:
z
=
±
h
=
0
2
xz
E
h
2
3
w
3
w
=
(
z
2
)(
+
)
zx
2
2
)
2
x
3
x
y
2
E
h
2
3
w
3
w
=
(
z
2
)(
+
)
yz
2
2
)
2
y
3
y
x
2
Politechnika Poznańska®
Kopacz, Krawczyk, Łodygowski, Płotkowiak, Świtek, Tymper
54622920.003.png
 
W YKŁADY Z T EORII S PRĘŻYSTOŚCI
T EORIA CIENKICH PŁYT I POWŁOK
5
do trzeciego równania Nawiera, wyrażenie całku-
jemy po z i wyznaczamy funkcję
xz
oraz
yz
z
, która ma postać:
E
4
w
4
w
4
w
=
(
h
3
3
h
2
z
+
4
z
3
)(
+
2
+
)
z
24
(
2
)
x
4
x
2
y
2
y
4
=
E
(
h
3
3
h
2
z
+
4
z
3
)
4
w
z
24
(
2
)
Przyjmujemy warunki brzegowe:
=
q
;
z
=
h
z
2
h
=
0
z
=
+
z
2
Co daje nam równanie płyty:
4
w
(
x
.
y
)
=
q
(
x
,
y
)
;gdzie
D
q(x,y)-obciążenie zewnętrzne
D-sztywność płyty na zginanie (sztywność giętna)
Eh
3
D
=
12
(
2
)
Rozkład naprężeń na grubości płyty ma następujący charakter:
Politechnika Poznańska®
Kopacz, Krawczyk, Łodygowski, Płotkowiak, Świtek, Tymper
Po podstawieniu
54622920.004.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin