5 Dynamika ruchu postepowego i po okregu. Ruch obrotowy bryly sztywnej.pdf

5. Dynamika ruchu postępowego, ruchu punktu materialnego po

okręgu i ruchu obrotowego bryły sztywnej

Wybór i opracowanie zadań Ryszard Signerski i Małgorzata Obarowska

5.1. Dynamika ruchu postępowego

5.1.1. Balon opada ze stałą prędkością. Jaką masę balastu należy wyrzucić, aby balon zaczął

wznosić się z tą samą prędkością? Masa balonu (z balastem) wynosi 300 kg , a siła wyporu

2900N .

5.1.2. Małpka wspina się po pionowej lianie z przyspieszeniem 0,5 m/s 2 . Oblicz siłę

napinającą lianę, jeżeli masa małpki wynosi 5 kg . Masę liany zaniedbać.

5.1.3. Winda może poruszać się w górę i w dół z przyspieszeniem o takiej samej wartości. W

windzie tej na wadze sprężynowej stoi studentka. Różnica wskazań wagi przy ruchu w górę i

w dół wynosi 50 N . Jakie jest przyspieszenie windy, jeżeli ciężar studentki wynosi 500 N ?

5.1.4. W wagonie poruszającym się poziomo z pewnym przyspieszeniem wisi na nici ciężarek

o masie 100 g . Nić odchylona jest od pionu o kąt 15 0 . Oblicz przyspieszenie wagonu i siłę

napinającą nić.

5.1.5. Dźwig podnosi ciężar Q zawieszony na linie, której dopuszczalne naprężenie wynosi

F max . Znajdź najkrótszy czas, w którym można podnieść ten początkowo spoczywający ciężar

na wysokość h . Opory ośrodka i ciężar liny pominąć.

5.1.6. Sanki zsunęły się za zbocza o nachyleniu 30 0 i długości 20 m , po czym do chwili

zatrzymania przebyły odległość 200 m po torze poziomym. Współczynnik tarcia na całej

trasie jest jednakowy. Wyznacz jego wartość.

5.1.7. Oblicz wysokość, na jaką może wjechać samochód, który mając początkową prędkość

72 km/h , porusza się w górę z wyłączonym silnikiem. Nachylenie zbocza wynosi 30 0 , a

efektywny współczynnik tarcia 0,1 .

5.1.8. Dwa klocki o masach m 1 i m 2 związane nieważką i nierozciągliwą nicią leżą na

poziomym stole. Do pierwszego z nich przyłożono siłę F pod kątem α (patrz rys. 5.1.8.).

Współczynniki tarcia między klockami, a stołem wynoszą odpowiednio f 1 i f 2 . Oblicz

przyspieszenie klocków i siłę napinającą nić.

m 2

m 1

f 2

f 1

rys. 5.1.8.

5.1.9. Dwa ciężarki o masach m 1 i m 2 połączono nieważką i nierozciągliwą nicią przerzuconą

przez bloczek znajdujący się na szczycie równi

(rys. 5.1.9.). Współczynnik tarcia między

ciężarkiem m 2 i równią wynosi f 2 , a kąt

nachylenia równi α. Masę bloczka można

pominąć. Wyznacz siłę napięcia nici i

przyspieszenie ciężarków, przyjmując, że

ciężarek m 1 porusza się w dół.

m 2

m 1

rys. 5.1.9.

5.1.10 Klocek o masie m = 3 kg położono na wózek o masie M = 15 kg . Współczynnik tarcia

między tymi ciałami wynosi f = 0,2 . Na klocek działa pozioma siła F = 20 N , a wózek może

poruszać się swobodnie (bez tarcia) po szynach. Znajdź przyspieszenie klocka względem

wózka.

5.2. Dynamika ruchu punktu materialnego po okręgu

5.2.1. Po wypukłym moście o promieniu krzywizny R = 100 m jedzie samochód ze stałą

prędkością v = 54 km/h . Masa samochodu wynosi m = 2000 kg . Oblicz siłę nacisku

samochodu na most w jego najwyższym punkcie. Jaka musiałaby być prędkość samochodu,

aby stracił on kontakt z podłożem?

5.2.2. Mały ciężarek o masie m = 100 g przywiązano do nici o długości l = 50 cm i

wprawiono w ruch obrotowy po okręgu w płaszczyźnie poziomej. Nić odchyla się od pionu o

kąt α = 45 0 . Wyznacz prędkość kątową ciężarka, okres obiegu i siłę napięcia nici.

5.2.3. Kierowca samochodu jadącego z prędkością v zauważa nagle przed sobą ścianę. Jak

powinien zareagować kierowca: zahamować, czy zakręcić, próbując uniknąć uderzenia w

ścianę? Współczynnik tarcia kół o podłoże wynosi f .

5.2.4. Jaka jest prędkość satelity na orbicie kołowej odległej o h od powierzchni Ziemi? Stała

grawitacji jest równa G , masa Ziemi wynosi M z , , a jej promień R z .

5.2.5. Okres obiegu Księżyca wokół Ziemi wynosi T = 27,32 dób ziemskich, a jego średnia

odległość od Ziemi r = 384 400 km . Oblicz masę Ziemi. Stała grawitacji G = 6,67 x 10 -11

Nm 2 /kg 2 .

5.2.6. Oblicz promień orbity stacjonarnego satelity Ziemi. Dane są: promień Ziemi R Z = 6370

km , przyspieszenie na powierzchni Ziemi 9,81 m/s 2 i czas trwania doby ziemskiej 24 godziny .

5.3. Dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnej

5.3.1. Koło zamachowe o momencie bezwładności I = 0,2 kgm 2 obraca się wokół poziomej

osi przechodzącej przez jego środek, wykonując n = 600 obr/min . Przy hamowaniu koło

zatrzymuje się po upływie czasu ∆t = 20 s . Znajdź moment siły hamującej i liczbę obrotów do

chwili zatrzymania.

5.3.2. Na rurę o cienkich ściankach nawinięto nić, której wolny koniec

przymocowano do sufitu. Rura odkręca się z nici pod działaniem własnego

ciężaru (rys. 5.3.2.). Znajdź przyspieszenie rury i siłę napięcia nici, jeżeli

masę i grubość nici można zaniedbać. Początkowa długość nici jest dużo

większa od promienia rury. Ciężar rury wynosi Q .

r r

rys. 5.3.2.

5.3.3. Oblicz moment bezwładności molekuły, CO 2 względem osi przechodzącej przez środek

masy i prostopadłej do osi molekuły. Molekuła jest liniowa z atomem C znajdującym się w jej

środku. Długość wiązania C─O wynosi 1,13 x 10 -10 m .

5.3.4. Wykaż, że moment bezwładności układu składającego się z dwóch mas m 1 i m 2

odległych o r od siebie względem osi prostopadłej do odcinka łączącego m 1 i m 2 i

przechodzącej przez środek masy układu wynosi µr 2 . µ jest masą zredukowaną układu i

wynosi

. Otrzymany wynik zastosuj do molekuły, CO, dla której r = 1,13 Ǻ i do

molekuły HCl gdzie r = 1,27 Ǻ .

5.3.5. Przez bloczek zawieszony na poziomej osi przerzucono nieważką i nierozciągliwą nić,

do końców której przymocowano ciężarki o masach m 1 = 0,5 kg i m 2 = 0,2 kg . Masa bloczka

wynosi m = 0,4 kg . Bloczek traktujemy jako jednorodny krążek. Znajdź liniowe

przyspieszenie ciężarków. Przyjmij, że nić nie ślizga się po bloczku.

5.3.6. Z równi pochyłej o kącie nachylenia α stacza się bez poślizgu ciało o momencie

bezwładności I , masie m i promieniu r . Wyznacz jego przyspieszenie liniowe, kątowe i siłę

tarcia.

5.3.7. Pełne, jednorodne ciała: walec i kula staczają się bez poślizgu z równi pochyłej o kącie

nachylenia α i wysokości h . Masy i promienie tych ciał są jednakowe. Które z nich stoczy się

wcześniej?

5.3.8. Kula o początkowej prędkości w ruchu postępowym v 0 = 10 m/s wtacza się bez

poślizgu na równię pochyłą o kącie nachylenia 45 0 . Jaką drogę przebędzie kula po równi do

chwili zatrzymania się i po jakim czasie wróci do podstawy równi?

5.3.9. Środek masy kuli bilardowej posiada początkową prędkość v 0 (rys. 5.3.9.). Promień

kuli wynosi R , jej masa M , a współczynnik tarcia pomiędzy

kulą i stołem jest równy µ. Jak daleko przesunie się kula po

stole, zanim przestanie się ślizgać?

v r

rys. 5.3.9.

5.3.10. W czasie pokazów gimnastyki artystycznej można oglądać

ćwiczenie, w którym obręcz rzucona przez zawodniczkę tocząc się

początkowo z poślizgiem wraca ku niej i w końcowej fazie ruchu toczy

się już bez poślizgu. Jest to możliwe, jeżeli w czasie rzutu zawodniczka

nada obręczy ruch obrotowy o odpowiednim kierunku (rys. 5.3.10.).

Znajdź związek pomiędzy początkową wartością prędkości ruchu

postępowego v 0 i prędkości kątowej ω 0 .

v r

rys. 5.3.10.

5.3.11. Po idealnie gładkiej poziomej powierzchni ślizga się bez obrotów walec. Prędkość

liniowa środka masy wynosi v 0 , a kierunek prędkości jest prostopadły do osi walca. W pewnej

chwili powierzchnia pod walcem staje się szorstka, a współczynnik tarcia posuwistego

przyjmuje wartość f . Po jakim czasie walec będzie się toczył bez poślizgu i jaka będzie wtedy

prędkość jego środka masy?

5.3.12. Kołowrót o masie m , momencie bezwładności I 0 i

promieniach zewnętrznym R oraz wewnętrznym r leży na

płaszczyźnie poziomej (rys. 5.3.12.). Na kołowrót nawinięta

jest nić, do której przyłożono siłę F . Opisz ruch kołowrotu w

zależności od kąta α jaki tworzy nić z kierunkiem poziomym.

rys. 5.3.12.

l 2

l 1

5.3.13. Ciężki walec o promieniu R i momencie bezwładności I 0

wiruje z prędkością kątową ω 0 . W chwili t = 0 do dźwigni

hamulcowej przyłożono siłę F (rys. 5.3.13.) wskutek czego walec

zatrzymuje się po czasie t . Ramiona dźwigni mają długości l 1 i l 2 ,

a współczynnik tarcia między dźwignią i walcem wynosi f .

Oblicz wartość siły F .

rys. 5.3.13.

5.3.14.* Walec o masie M i promieniu r może toczyć się po poziomym stole. Na walec

nawinięta jest nieważka i nierozciągliwa nić, którą przerzucono przez nieważki bloczek. Na

końcu nici zawieszono ciężarek o masie m (rys. 5.3.14.). Wyznacz przyspieszenie ciężarka i

siłę tarcia działającą na walec przyjmując, że może być on pełen lub wydrążony

(cienkościenna rura).

rys. 5.3.14.

5.3.15. Na krześle mogącym obracać się swobodnie wokół osi pionowej siedzi student i

trzyma w wyprostowanych rękach odważniki po m = 5 kg każdy. Odległość każdego

odważnika od osi obrotu wynosi l 1 = 80 cm . Krzesło wiruje wykonując n 1 = 1 obr/sek . Jak

zmieni się szybkość wirowania studenta, jeśli zegnie on ręce tak, że odważniki będą w

odległości l 2 = 20 cm od osi obrotu? Moment bezwładności studenta i krzesła (całkowity)

względem osi obrotu wynosi I 0 = 3 kgm 2 .

5.3.16.* Belka o długości l i masie M może swobodnie obracać się

wokół poziomej osi przechodzącej przez jeden z jej końców. W

drugi koniec belki uderza kula o masie m mająca poziomą prędkość

v 0 (rys. 5.3.16.). Kula grzęźnie w belce. Znajdź prędkość kątową

belki tuż po uderzeniu kuli. W jakie miejsce belki powinna uderzyć

kula, aby składowa pozioma siły reakcji osi w chwili uderzenia

wynosiła zero?

v r

rys. 5.3.16.

5.3.17.* Na brzegu poziomej, okrągłej platformy o masie M i promieniu R stoi student o

masie m . Platforma może obracać się bez tarcia wokół pionowej osi. Jaka będzie prędkość

kątowa platformy ω, jeżeli student zacznie chodzić wzdłuż jej brzegu ze stałą względem niej

prędkością v . Jaką drogę przebędzie student względem platformy w czasie jej jednego

pełnego obrotu?

5.3.18.* Samolot sportowy z jednym śmigłem lecący z prędkością v = 360 km/h wykonuje

zakręt o promieniu r = 800 m . Oblicz moment sił wywierany przez śmigło na samolot, jeżeli

moment bezwładności śmigła wykonującego n = 2400 obr/min wynosi I = 15 kgm 2 .

-1 wokół osi, która tworzy kąt 30 0 względem pionu. Środek masy

bąka znajduje się w odległości l = 10 cm od punktu podparcia. Oblicz wartość prędkości

kątowej precesji osi bąka.

⋅

−

wiruje z

prędkością kątową ω = 80 s

5.3.19.* Bąk o masie m = 0,4 kg i momencie bezwładności

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: