Powierzchnię zakreśloną przez półokrąg obracający się dookoła średnicy, która nie zmienia swego położenia, nazywamy powierzchnią kulistą lub powierzchnią kuli.
Z definicji wynika, że powierzchnia kulista jest powierzchnią obrotową. Jest ona ponadto krzywokreślna i nierozwijalna.
Bryłę ograniczoną powierzchnią kulistą nazywamy kulą. Promień obracającego się półokręgu nazywa się promieniem kuli (powierzchni kulistej).
Rzutem poziomym i pionowym kuli, są okręgi o promieniach równych promieniowi kuli.
Rzut kuli.
Przekroje powierzchni kuli.
Każda płaszczyzna sieczna przecina powierzchnię kuli w okręgu. Płaszczyzna ta dzieli kulę na dwie części zwane odcinkami kuli, a jej powierzchnię na dwie czasze kuliste. Jeżeli płaszczyzna sieczna przechodzi przez środek kuli, to otrzymane przecięcie nazywamy okręgiem wielkim. Przecięciem kuli płaszczyzną poziomą jest okrąg o promieniu równym połowie długości cięciwy w rzucie pionowym. Gdy płaszczyzna sieczna w rzucie pionowym przyjmuje położenie inne niż poziome to rzutem poziomym krawędzi przecięcia jest elipsa.
a)
b)
Przecięcie kuli płaszczyzną:
a) płaszczyzną poziomą, b) płaszczyzną dowolną.
Powierzchnia walcowa
Załóżmy, że dana jest jakakolwiek krzywa K (niekoniecznie płaska i niekoniecznie zamknięta) oraz prosta l przecinająca się z tą krzywą w punkcie A. Jeżeli prosta l będzie się poruszać pozostając stale równoległą do pierwotnego położenia oraz przecinać się z krzywą K, to zakreśli wówczas powierzchnię zwaną powierzchnią walcową.
Powierzchnia walcowa.
Krzywa K nazywa się kierownicą powierzchni walcowej, a prosta l - tworzącą tej powierzchni. Powierzchnia walcowa jest powierzchnią prosto-kreślną i rozwijalną.
Szczególne znaczenie posiada powierzchnia walcowa obrotowa. Tę powierzchnię można zdefiniować jako powierzchnię walcową, której kierownicą jest okrąg, a tworząca jest prostopadła do płaszczyzny kierowniczej.
Oprócz powierzchni walcowych obrotowych, spotykane są w praktyce również inne rodzaje powierzchni walcowych. W szczególności, gdy kierownicą powierzchni jest elipsa, a tworząca jest prostopadła do płaszczyzny kierowniczej, otrzymana powierzchnia nazywa się powierzchnią walcową eliptyczną.
Przekroje walca obrotowego
Jeżeli płaszczyzna sieczna jest prostopadła do osi powierzchni walcowej obrotowej, to przecięciem jest okrąg, jeżeli zaś przechodzi przez oś lub jest do niej równoległa, to przecięciem są dwie tworzące. Natomiast gdy płaszczyzna sieczna jest nachylona do osi powierzchni walcowej obrotowej pod kątem różnym od 90°, to przecięciem tej powierzchni jest elipsa.
Rozwinięcie powierzchni walca obrotowego
Siatka walca obrotowego składa się z prostokątnej pobocznicy oraz dwóch przystających kół. Przy ustawieniu walca, jak na rysunku poniżej, promienie tych kół oraz wysokość pobocznicy otrzymujemy bezpośrednio z rzutów. Długość pobocznicy znajdujemy przez wyprostowanie okręgu podstawy walca metodą Kochańskiego.
Rozwinięcie powierzchni walca obrotowego.
Powierzchnia stożkowa
Niech będzie dana dowolna krzywa K oraz punkt W leżący dowolnie w przestrzeni. Jeżeli przez ten punkt przeprowadzimy prostą l przecinającą się z krzywą K i prostą tę będziemy następnie poruszać tak, aby przechodziła stale przez punkt W oraz przecinała się z krzywą K, to prosta l zakreśli powierzchnię zwaną powierzchnię stożkową .
Szczególnym rodzajem powierzchni stożkowej jest powierzchnia stożkowa obrotowa, którą zakreśla prosta przecinająca się z osią obrotu pod kątem różnym od 90°. Kierownicą tej powierzchni może być okrąg, jeżeli prosta przechodząca przez środek tego okręgu i przez wierzchołek powierzchni jest prostopadła do płaszczyzny kierowniczej.
Powierzchnia stożkowa.
Przekroje stożka obrotowego.
Przekrojami powierzchni stożkowych obrotowych płaszczyznami nie przechodzącymi przez wierzchołek powierzchni stożkowej są krzywe stożkowe: elipsy, parabole lub hiperbole, a w szczególnym przypadku okręgi.
Rozpatrzmy powierzchnię stożka obrotowego o tworzących nachylonych do osi l pod kątem φ oraz płaszczyznę nachyloną do osi stożka pod kątem ψ.
Jeśli:
Φ< ψ - to krzywa jest elipsą,
Φ= ψ- krzywa jest parabolą,
Φ> ψ- krzywa jest hiperbolą.
a) b) c)
Tworzenie krzywych stożkowych:
a) elipsy, b) paraboli, c) hiperboli.
Konstrukcja elipsy, paraboli i hiperboli
Elipsa
Elipsą nazywamy miejscem geometryczne punktów płaszczyzny, dla których suma odległości od dwóch punktów stałych f1 i F2 jest wielkością stałą, większą niż odległość punktów f1 i F2 (rys. 2.58.).
Punkty f1 i F2 nazywamy ogniskami elipsy, odcinek F1F2 - ogniskową, a środek S ogniskowej - środkiem elipsy.
Oś wielka AB jest to najdłuższa średnica; na niej leżą ogniska elipsy. Średnica CD prostopadła do AB nazywa się osią małą; Osie elipsy są osiami symetrii, środek elipsy - środkiem symetrii.
Średnice sprzężone elipsy są to dwie jej średnice, z których każda połowi cięciwy równoległe do drugiej.
Parabola
Parabola jest miejscem geometrycznym punktów płaszczyzny równo odległych od danego punktu F (zwanego ogniskiem) i od danej prostej k (zwanej kierownicą),.
Hiperbola
Hiperbola jest miejscem geometrycznym punktów płaszczyzny, dla których bezwzględna wartość różnicy odległości od dwóch punktów stałych F1 i F2 jest wielkością stałą mniejszą niż odległość punktów F1 i F2. Punkty F1 i F2 nazywają się ogniskami, odcinek F1 F2 - ...
mala-ka