Trójkąt Odległość sferyczną między dwoma punktami A i B leżącymi na sferze nazywamy kąt środkowy ά oparty na łuku koła wielkiego AB przechodzącego przez te punkty
Kąt sferyczny to kąt między stycznymi do łuków kół wielkich w punkcie ich przecięcia się.
Jeżeli 3 dane punkty leżące na sferze połączymy łukami kół wielkich, to część sfery ograniczona tymi łukami będzie my nazywać trójkątem sferycznym.Elementy trójkąta sferycznego to 3 kąty (A,B,C) i 3 boki (a,b,c) takie,że bok a leży naprzeciwko kąta A.Miarą długości boku trójk.sfer.jest odległość sferyczna danych wierzchołków.3 łuki kół wielkich tworzą na sferze 8 trój.sfer.Suma kątów trój.sfer.jest zawsze większa od 180o.
Trójkąt eulerowski jego wszystkie boki i kąty mniejsz od 180o.RYS 1
Trójkąt sferyczny biegunowy RYS 2 to trój.o bokach a’,b’,c’ względem danego trój.ABC jeżeli pkt.A jest biegunem boku a’,pkt.B jest biegunem boku b’,a pkt.C biegunem boku c’.Wierzchołki tego trój.toA’,B’,C’ Każdemu trój. sfer. odpowiada 8 trój. biegunowych .Z def. trój.biegunowego wynika,że A’B=900 i A’C=900 co oznacza,że pkt.A’ jest biegunem boku a. Tak można udowodnić, że trój.ABC jest trój. biegunowym trójkąta .A’,B’,C’,więc trój. ABC i A’,B’,C’ są wzajemnie biegunowe. RYS 3 Związki między ich bokami i kątami: B’C’=B’E+DC’-DE’ ponieważ B’C’=a, B’E=900, DC’=900, DE=A to a’=1800-A, b’=1800-B, c’=1800-C,podobnie a=180o-A’, b=1800-B’, c=1800-C’.
Analogie Nepera są to wzory tg(A+B)/2= [cos(a-b)/2] / [cos (a+b) /2]*ctgC/2 tg(A-B)/2= [sin(a-b)/2] / [sin (a+b) / 2]*ctgC/2 tg(a+b)/2= [cos(A-B)/2] / [cos (A+B) / 2]*tgc/2
tg(a-b)/2= [sin(A-B)/2] / [sin (A+B) / 2]*tgc/2 Podobne wz.można otrzymać dla pozostał. par kątów i boków
Nadmiar sferyczny to suma kątów trój. sfer. pomniejszona o 180o. ε=(A+B+C)-180o. Nadmiar sfer.zawiera się w przedz.(0;360o).Jeżeli kąty wyrażamy w radianach to wzór : ε=(A+B+C)-π W przypadku trój. sferycznych o bokach kilkudziesięciokilometrowych leżących na sferze o prom. R=6371 można stosować wzór uproszczony: ε=ab/2R2*sinC a,b-wyrażone w jednostkach długości. Wzór ten zapewnia dokładność 1”*10-4 dla trójkątów o bokach 30km i 1”*10-3–50km
KULA Najlepiej bryłę ziemską reprezentuje kula o promieniu równym 6371 km. Osią podstawową ukł. wsp. geograficznych jest oś obrotu Ziemi. Oś ta przecina powierzchnię kuli w 2 punktach, zwanych biegunami ziemskimi. Każde połączenie biegunów ziemskich połową łuku koła wielkiego nazywamy południkiem. Południk przechodzący przez określony punkt obserwatorium w Greenwich nosi nazwę południka początkow. Każde koło małe leżące w pł. prostopadłej do osi obrotu jest nazwane równoleżnikiem. Równik jest kołem wielkim, leżącym w pł. prostopadłej do osi obrotu i przechodzącej przez środek kuli. Odległość sferyczna dowolnego punktu równika od bieguna ziemskiego wynosi Π/2. Pozycję punktu leżącego na kuli określamy, podając kąt φ i λ (szer. i długość geograficzna). Szer. geograficzną punktu P leżącego na kuli nazywamy kąt, jaki tworzy normalna do sfery w punkcie P z płaszczyzną równika.
Długością geograficzną punktu P leżącego na kuli nazywamy kąt dwuścienny między płaszczyzną południka punktu P a pł południka początkowego rys
Wsp .prostokątne prostoliniowe Układ wsp. prostokątnych jest zdefiniowany:
-początek układu pokrywa się ze środkiem kuli,
-oś z pokrywa się z osią obrotu,
-oś x pokrywa się z krawędzią przecięcia pł. równika i pł. południka początkowego,
-oś y tworzy z pozostałymi osiami układ prawoskrętny.
Współrzędne x,y,z punktu leżącego na kuli określamy wzorami: x=Rcosφcosλ; y=Rcosφsinλ; z=Rsinφ. Wsp. te spełniają warunek x2+y2+z2=R2. Znając współrzędne prostokątne x, y, z punktu leżącego na kuli można obliczyć jego wsp. geograficzne φ, λ wg wzorσw :tgλ=y/x; tgφ=z/v(x2+y2)RYS 4
WSP. AZYMUTALNE Punktem głównym układu wsp. azymutaln będzie punkt G leżący na kuli i nie będący biegunem ziemskim,o znanych współrzędnych geograficznych(φo,λo) połączymy łukiem koła wielkiego punkt główny G i dowolny punkt P leżący na kuli. Pozycja pkt.P będzie jednoznacz określona względem punktu G, jeżeli podamy azymut α i odległość zenitalną ζ. Azymut α jest kątem dwuściennym między płaszczyzną południka G i płaszczyzną koła wielkiego GP, jest równy kątowi sferycznemu, którego lewym ramieniem jest styczna do południka punktu G, zaś prawym styczna do łuku koła wielkiego GP. Azymut rośnie zgodnie z ruchem wskazówek zegara od północnego kierunku południka punktu G. Wertykał to każde koło wielkie przechodzące przez punkt główny G Almukantarat to koło małe, którego wszystkie pkt. są jednakowo oddalone od pkt. G RYS 5
Związek między wsp. geograficznymi i azymutalnymi Rys. Opiszmy kąty i boki trójkąta sferycz. GBP wsp. azymutalne pkt.P (a,z) są f-cją wsp. gepgraficznych pkt. G (j0,l0) i pkt.P(j,l) cosz=sinj0sinj+cosj0*cosjcos(l-l0) sina=sin(l-l0)cosj/ sinz Wz.te nie dają dokł.wyników,gdy odl. zenitalnaz jest mała. Wtedy stosujem wz. ctgasin(l-l0)= ctg (900-j)sin(900-j0)-cos (l-l0)cos(900-j0) i otrzymujemy tga=sin(l-l0)/ tgj cosj0-cos(l-l0)sinj0 Odl.zenitalną z obl.wg. jednego z wz. sinz=sin(l-l0)cosj / sina sinz=sinjcosj0-cosjsinj0cos(l-l0)/ cosa Wsp.azymutalne a,z można zamienić na wsp.geograficzne j,l wg.wz. sinj=coszsinj0 +sinzcosj0cosa oraz sin(l-l0)=sinasinz/ cosj Azymut odwrotny a, będący kątem dwuściennym między pł.południka pkt. P. I pł.koła wielkiego PG zależy od kąta q(kąt paralaktyczny) a,=3600-q q obl.ze wz. tgq=sin(l-l0)/tgj0* cosj-cos(l-l0)sinj WSP. PROSTOKĄTNE SFERYCZNE Podstawą ukł. tych współrzędnych jest wybrany południk o długości geograficznej λo. Pkt. pomocniczy C powstaje przez przecięcie wybranego południka z kołem wielkim przechodzącym przez dany pkt. P i prostopadłym do wybranego południka. Wsp. prostokątnymi są wielkości g i h wyrażone w mierze kątowej. RYS 6 Wsp.h obl.sinh=sin(l-l0)cosj wsp.g obl.sin(900-j)cos (l-l0)=coshsin(900-g) lubcos(900-j)=cos(900-g)cosh po podzieleniu stronami dwóch ostatnich wyrażeń mamy ctgg=cos(l-l0) ctgj przeliczenia odwrotne wykonujemy wg.sinj=singcosh oraz ctg(l-l0)=cosgctgh Wsp. prostokątnym sferycznym g,h można przyporządkować wsp. płaskie x=gR,y=hR
ELIPSOIDA obrotowa o odpowiednio dobranych parametrach jest znacznie lepszym przybliżeniem kształtu bryły ziemskiej niż kula. Elipsoidą odniesienia nazywamy elips. obrotową o odpowiednio dobranych parametr. i określonym usytuowaniu w bryle ziemskiej, na którą rzutowano punkty danej sieci geodezyjnej. W układzie współrzędnych prostokątnych XYZ umieszcza się elipsoidę obr. w taki sposób, że środek elips. pokrywa się z początkiem ukl. współ.; oś obrotu elipsoidy pokrywa się z osią Z ukl.współ. RYS 7 Wsp. każdego pkt leżącego na pow. elipsoidy obrotowej spełniają równanie X2/a2+Y2/a2+Z2/b2=1 Kształt i wielkość elipsoidy obr. określają parametry: półosie a i b lub półoś a i spłaszczenie a [a=(a-b)/a] Zamiast a można posługiwać się mimośrodem elipsoidy e2=(a2-b2)/a2=a(2-a) II mimośród elips. e’2=(a2-b2)/b2
Współ. elipsoidalne Równoleżnikiem punktu P jest ślad przecięcia pow. elipsoidy pł. przechodząca przez punkt P i równoległą do płaszczyzny równika. Ma kształt okręgu.
Południkiem punktu P jest ślad przecięcia elipsoidy płaszczyzną przechodzącą przez punkt P i oś obrotu elipsoidy.Ma kształt elipsy. Wpowadza się oś U i powstaje nowy, prostokątny układ UZ. RYS 8 Równanie połud. zawierającego pkt P w tym układzie to U2/a2+Z2/b2=1 Normalna n do elipsoidy leży w płaszcz. południka P. Szerok. elipsoidalną B (sz.geodezyjna) punktu P jest kąt miedzy normalną n do powierzchni elipsoidy w punkcie P i płaszczyzną równika Dł elipsoidalną L (dł.geodezyjna) punktu P jest kąt dwuścienny między płaszczyzną południka punktu P i pł. południka początkowego RYS 9 Styczna do pow. elips. w pkt.P tworzy z dodatnim kierunkiem osi U kąt=900+B co pozwala określić zależność pochodnej dZ/dU od szer.elipsoid. B.dZ/dU=tg(900+B)=-ctgB po przekształc. i uwzględnieniu b2/a2=1-e2mamyU2=a2/1+(1-e2) tg2B Dla U³0 mamy : U=(acosB)/Ö(1-e2sin2B), a promień równoleżnika pkt P r=U Współ. X i Y punktu P oblicz. X=UcosL; Y=UsinL, a współ. Z=[a(1-e2)sinB]/ Ö(1-e2sin2B)
Szerokość zredukowana Przyjmujemy, że środek sfery pokrywa się ze środ. elips. obrot. Jeżeli przez pkt P leżący na elips. poprowadzimy prostą równoległą do osi obrotu Z, to punkt P1 będzie rzutem punktu P na sferę. Kąt y zawarty między promieniem OP1 a pł. równika będzie szerokością zredukowaną punktu P. RYS10 tgy=[Ö(1a...
lipton_86