Całkowanie              - jest to działanie odwrotne do liczenia pochodnej.

Wzory:

1.             

2.   

       

3.           

4.           

5.   

      

Przykład:

Przykład:

Przykład:

Przykład:

Przykład:

Przykład:

Przykład:

Uproszczenia możliwe w obliczeniach:

Uproszczenie 1.             

Wyprowadzenie:

Rozwiążmy poniższy przykład:

Uproszczenie 1.             

Końcowy wzór:

Jeżeli w mianowniku jest funkcja a w liczniku jest pochodna tej funkcji to całka jest równa:

              Przykład1:             

              Przykład2:              

Uproszczenie 2.                           

Wyprowadzenie:

Rozwiążmy następujący przykład:                      

Nie możemy zastosować poznanych wcześniej wzorów. Stosujemy metodę rozkładu na ułamki proste.

Sprowadzamy mianownik do postaci rozłożonej.

Gdyby wyrażenie:               

można było przedstawić jako sumę dwu wyrażeń              

to można by było zastosować znane już wzory.

Zakładamy, że są takie wartości A i B które spełniają te wyrażenia. Dokonajmy więc przekształcenia takiej sumy wyrażeń:

czyli:

Jeżeli strony równania są równe przy jednakowych mianownikach, więc liczniki są też równe. Możemy więc napisać:

Obliczamy wartość A i B dla których równanie będzie prawdziwe. Aby „x” nie miał wpływu na wyrażenie musi być spełniony warunek :                             x(A+B) = 0

będzie to zawsze spełnione gdy:              A + B = 0

Przy takim warunku całe wyrażenie będzie prawdziwe gdy  2A+3B = 1

Możemy napisać układ równań z których wyliczymy wartość A i B :

Całe nasze wyrażenie przybierze postać:

Uproszczenie 2.             

Końcowy wzór:

Temat:              Pojęcia całki              - część dalsza

Wzory:

Przykład:

Przykład:

Przykład:

Przykład:

                                                        Wzór do zapamiętania!

Co to jest arctg?             

              ...