TEMAT:Konstrukcja całki względem miary
(W, U, m) – przestrzeń z miarą
f: W®R
I ETAP KONSTRUKCJI CAŁKI WZGLĘDEM MIAR
DEFINICJA 5.1 (FUNKCJA PROSTA)
f – funkcja prosta :Û jeżeli funkcja przyjmuje skończoną ilość wartości {a1, ..., an}
DEFINICJA 5.2 (FUNKCJA CHARAKTERYSTYCZNA)
WNIOSEK 5.1 (POSTAĆ NORMALNA FUNKCJI PROSTEJ)
f – funkcja prosta (definicja 5.1.)
Objaśnienie: Gdy: xÎEk , to: L=f(x)= ak Þ L=P Każda funkcja prosta jest kombinacją liniową funkcji charakterystycznych.
Istnieje nieskończenie wiele postaci normalnych funkcji prostej.
TWIERDZENIE 5.1 (WŁASNOŚCI FUNKCJI PROSTYCH)
e – zbiór wszystkich funkcji prostych określonych na W
1) "f,gÎ e "a,bÎR (af+bg)Î e
2) " f,gÎ e sup{f,g }Î e Ù inf{f,g}Î e
" xÎW (sup{f,g })(x) = max{f(x),g(x)}
" xÎW (inf{f,g })(x) = min{f(x),g(x)}
3) " fÎ e ½f½Î e
4) " fÎe "EÎU fcEÎ e
5) " f,gÎ e (fg)Î e
Dowód:
x={ EiÇFj: i={0, ..., n}Ù j={0, ..., m}}
Uwaga:
...
kamylll