1 - Uzupełnienie rachunku różniczkowego funkcji jednej zmiennej.doc

TEMAT:
Uzupełnienie rachunku
różniczkowego funkcji jednej zmiennej

LEMAT 1.1    (Fermata, o zerowaniu się pochodnej )

 
            Z:         

            T:       f'(c) = 0

            D:       Niech dla przykładu:    
 

                        Wiemy wówczas, że:   

                        Stąd dla x<c:             .

                        Natomiast dla x>c:    ,
 

a wobec faktu, że granica przy  x→c istnieje, wnioskujemy, że f'(c) = 0.

             (Dowód dla min jest analogiczny.)

TWIERDZENIE 1.1   (Rolle’a)

             Jeśli funkcja f(x) jest określona i ciągła w przedziale domkniętym [a,b],
             istnieje pochodna skończona przynajmniej w przedziale otwartym ]a,b[ i na
             końcach przedziału funkcja przyjmuje równe wartości, wówczas między a i b 
             można znaleźć taki punkt c, że f'(c) = 0.

             Z:       

                                    f(a) = f(b)

            T:        

            D:        1º  Funkcja jest stała. Wówczas:

                         2º  Funkcja jest różnowartościowa (f(x) ≠ const).

                              Dla dowodu przyjmijmy, że:

                              ,

       a ponieważ funkcja jest ciągła i przyjmuje takie same wartości na
       krańcach przedziałów, wobec tego .

       Stąd na podstawie Lematu 1.1 wnioskujemy, iż

                       ...