Równania całkowe w fizyce i technice.pdf

S.B. Leble

Równania całkowe w ﬁzyce i

technice.

Skrypt dla studentów Wydziału FTiMS PG

10pa¹dziernika2010

PolitechnikaGda«ska

Gda«sk2006

Spis tre±ci

1 Niektóre równania całkowe w ﬁzyce i technice. . . . . . . . . . . . . 1

1.1 Wst¦p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Równanie struny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2.1 Statyka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2.2 Dynamika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2.3 Zwi¡zek z równaniem ró»niczkowym . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Fotograﬁa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4 Zdj¦cia uszkodzone, „zmaz”. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.5 Uszkodzenie zdj¦cia pszez dyfrakcj¡ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Tomograﬁa komputerowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.1 Równania całkowe w tomograﬁi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3 Teoria Fredholma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.1 Klasyﬁkacja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.2 Jednorodne równania całkowe o ci¡głym j¡drze. Widmo

operatora całkowego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.3 Równania całkowe z j¡drem zdegenerowanym . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.4 Równania całkowe niejednorodne. Alternatywa Fredholma . . . . 16

3.5 Równanie całkowe dla równania ró»niczkowego zwyczajnego . . . 19

3.6 Równanie całkowe: aproxymacja ro»nicami sko«czonymi . . . . . . 20

4 Rozwi¡zanie zagadnie« odwrotnych. Metody regularyzacji. 21

4.1 Analiza signałów jako problem ¹le uwarunkowany.

Monitorowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4.2 Przykłady kłasyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4.2.1 Metoda Gaussa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

5 Algorytm aproksymacji całkowej, metoda regularyzacji

Tikhonowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

5.1 Metoda Regularyzacji Tichonowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Spis tre±ci

5.1.1 Regularyzacja metody Fouriera. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

5.1.2 Methoda Moore-Penrose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

5.1.3 Pzykład regularyzacji Tikhonova w L 2 . . . . . . . . . . . . . . . 28

5.1.4 Warunki brzegowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

5.1.5 Nast¦pny przykład - przestrze« Soboleva . . . . . . . . . . . . 30

5.2 Przykłady. Równanie dyfuzji. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

5.2.1 Zagadnienie dla równania dyfuzji ¹ odwrotnym czasem”. 32

5.2.2 Zagadnienie dla równania dyfuzji: funkcja »ródła. . . . . . 32

5.2.3 Wygenerowanie testowych wartosci temperatury. . . . . . . 33

5.2.4 Sformulowanie zagadnienia odwrotnego. . . . . . . . . . . . . . . 34

5.2.5 Rozwia zanie zagadnienia odwrotnego. . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Literatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

6 Zał¡cznuk 1. Uwagi matematyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

6.1 Uwagi matematyczne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

6.1.1 Podstawowe poj¦cza [4] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

6.1.2 Regularyzacja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

6.1.3 Liniowe zle uwarunkowane zagadnienia. . . . . . . . . . . . . . . 44

Niektóre równania całkowe w ﬁzyce i technice.

1.1 Wst¦p

Równanie całkowe to takie równananie o funkcji niewiadomej ' ( x ), »e po-

jawia si¦ całka, w której funkcja podcałkowa zale»y od ' ( x ). W równaniu

takim mog¡ te» wyst¦powa¢ inne składniki - niekoniecznie w postaci całki -

zale»ne bezpo±rednio od ' ( x ). Je»eli w równaniu całkowym funkcja niewia-

doma wyst¦puje liniowo, to takie równanie nazywamy równaniemcałkowym

liniowym . Przykład:

Z x

( x − s ) ' ( s ) d s = f ( x ); f ( a ) = f 0 ( a ) = 0; = > ' ( x ) = f 00 ( x ) . (1.1)

1.2 Równanie struny

1.2.1 Statyka

tg a = h

s , tg b =

l − s ;

tg a a sin a, tg b b sin b. (1.2)

Rzut warunku równowagi

T 1 + T 2 + P = 0

na o± y:

T (sin a + sin b ) = p.

(1.3)

Przybli»one wg. (1.2)

s +

l − s = p

daje

h = p ( l − s ) s

(1.4)

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: