Algebra 2-04 pierścienie.pdf

(83 KB) Pobierz
19534968 UNPDF
Wykład4
Pier±cienie
Pier±cieniemnazywamyniepustyzbiór P wrazzdwoma(binarnymi)dzia-
łaniami+i · (b¦dziemycz¦stopisa¢( P, + , · ))wtymzbiorze,którespełniaj¡
nast¦puj¡ceaksjomaty.Dlaka»dych a,b,c 2 P :
(1)Je±li a,b 2 P wtedy a + b,a · b 2 P .
(2) a +( b + c )=( a + b )+ c .
(3) a + b = b + a .
(4)Istniejeelement0 P 2 P ,taki»edlaka»dego a 2 P mamy a +0 P =
0 P + a = a .
(5)Dlaka»degoelementu a 2 P równanie a + x =0 P marozwi¡zaniew P .
(6) a ( bc )=( ab ) c .
(7) a ( b + c )= ab + ac ,( a + b ) c = ac + bc .
Element0 P nazywa¢b¦dziemyelementemneutralnymdodawanialubw
skróciezerempier±cienia.Rozwi¡zanierównania a + x =0 P nazywa¢b¦dzie-
myelementemprzeciwnymdo a izapisywa¢b¦dziemyjewpostaci − a .
Przykładamipier±cienis¡struktury(Z , + , · ),( Z n , + n , · n ).
B¦dziemymówi¢,»epier±cie«( P, + , · )jest przemienny je±li:
(8) ab = ba dlaka»dych a,b 2 P .
B¦dziemymówi¢,»epier±cie«( P, + , · )jestpier±cieniemzjedynk¡je±li
istniejeelement1 P taki,»e:
(9) a · 1 P =1 P · a = a dlaka»dego a 2 P .
Pier±cienie(Z , + , · )i( Z n , + n , · n )s¡przykładamipier±cieniprzemiennych
zjedynk¡.Przykładempier±cieniabezjedynkimo»eby¢(2Z , + , · )czylizbiór
liczbcałkowitychparzystychzezwykłymidziałaniami.
Mówimy,»eniepustypodzbiór S zbioru P jestpodpier±cieniemje±listruk-
tura( S, + , · )jestpier±cieniem,gdziedziałanias¡takiesamejakwpier±cieniu
P .Inaczejmówi¡cdlapier±cienia( S, + , · )musz¡by¢spełnioneaksjomaty
(1) − (7).Nietrudnojestzauwa»y,»e S jestpodpier±cieniempier±cienia P
wtedyitylkowtedygdy:
Je±li a,b 2 S to a + b,a · b 2 S .
0 P 2 S .
Je±li a 2 S torozwi¡zanierównania a + x =0 p te»nale»ydozbioru S .
Przykładamipodpier±cienipier±cienia(Z , + , · )s¡( n Z , + , · ).
Przykład Niech M n (R)oznaczazbiórmacierzy n × n owspółczynnikach
rzeczywistych.Wtedy M n (R)wrazzdziałaniami+dodawaniamacierzyi ·
1
mno»eniamacierzyjestpier±cieniem.Pier±cie«tenposiadaelementneutralny
mno»enia I (awi¦cjesttoprzykładpier±cieniazjedynk¡).Je±li n> 1to
pier±cie«tenjestnieprzemienny.
Podobniemo»narozpatrywa¢pier±cieniemacierzyowspółczynnikachcał-
kowitych( M n (Z)),wymiernych( M n (Q)),lubowspółczynnikachzpier±cienia
Z k czyliopier±cieniu M n ( Z k ).
Przykład Niech C oznaczazbiórfunkcjici¡głych,któreprzekształcaj¡cych
RwR.Wtedyfunkcjemo»nadodawa¢imno»y¢:
( f + g )( x )= f ( x )+ g ( x ) , ( fg )( x )= f ( x ) g ( x )
Mo»naudowodni¢,»esumaiiloczynfunkcjici¡głychjestfunkcj¡ci¡gł¡,
awi¦cstruktura( C , + , · )jestpier±cieniem.Jesttopier±cie«przemiennyz
jedynk¡.Pier±cie«tenjestpodpier±cieniempier±cieniawszystkichfunkcji,
któreprzekształcaj¡RwR.
Mówimy,»eprzemiennypier±cie«zjedynk¡( P, + , · )jest dziedzin¡cał-
kowito±ci lub pier±cieniembezdzielnikówzera je±li0 P 6 =1 P ispełniony
nast¦puj¡cyaksjomat:
(11)Je±lidla a,b 2 P mamy ab =0 P to a =0 P lub b =0 P .
Przykładamipier±cienibezdzielnikówzeras¡(Z , + , · ),(R , + , · )lubpier-
±cie«( Z p , + p , · p ),gdzie p jestliczb¡pierwsz¡.Pier±cieniem,któryniejest
dziedzin¡jest( Z 6 , + 6 , · 6 ),bo2 · 6 3=0.
Element a 2 P pier±cieniazjedynk¡( P, + , · )nazywamy odwracalnym
je±li
(12)Równanie a · x = x · a =1 P marozwi¡zanie.
Element,któryjestrozwi¡zaniemtegorównanianazywamyelementemod-
wrotnymdo a ioznaczamygoprzez a − 1 .
Mówimy,»epier±cie«zjedynk¡( P, + , · )jest pier±cieniemzdzieleniem
je±lika»dyniezerowyelementpier±cienia P jestodwracalny.Naprzykład
(Z , + , · )niejestpier±cieniemzdzieleniem,a(R , + , · )jest.
Przemiennypier±cie«zdzieleniemnazywamy ciałem .
Twierdzenie1 Pier±cie« ( Z p , + p , · p ) jestciałemwtedyitylkowtedygdyp
jestliczb¡pierwsz¡.
Zadanie Udowodni¢,»epodpier±cie«pier±cieniamacierzy M 2 (R),któryskła-
dasi¦zmacierzyopostaci: " ab
− ba
#
jestciałem.
2
Zadanie Udowodni¢,»epodpier±cie«pier±cieniamacierzy M 2 (C),któryskła-
dasi¦zmacierzyopostaci:
"
a + bi c + di
− c + dia − bi
#
jestpier±cieniemzdzielenieminiejestciałem(toznaczyka»dyniezerowy
elementjestodwracalny,alemno»eniejestnieprzemienne).
Poka»emyteraz,»emo»nakonstruowa¢iloczynkartezja«skipier±cieni:
Twierdzenie2 Niech ( R, + , · ) , ( S, + , · ) b¦d¡dwomapier±cieniami.Wtedy
zbiórR × Swrazzdziałaniami:
( r,s )+( r 0 ,s 0 )=( r + r 0 ,s + s 0 )
( r,s ) · ( r 0 ,s 0 )=( r · r 0 ,s · s 0 )
jestpier±cieniem.Je±liRiSs¡pier±cieniamiprzemiennymitoR × Ste»,
je±liobapier±cienieposiadaj¡jedynki 1 R , 1 S toR × Ste»posiadajedynk¦
(1 R , 1 S ) .
Dowód wiczenie.
Zadanie Skonstruowa¢tabelkidodawaniaimno»eniawpier±cieniu Z 2 × Z 3 .
Poka»emyterazkilkawa»nychwłasno±cipier±cieni:
Twierdzenie3 Je±liPjestpier±cieniemtorównaniea + x =0 P mado-
kładniejednorozwi¡zanie.
Dowód Przypu±¢my,»erównanietomadwarozwi¡zanie,nazwijmyje u i v .
Wtedy a + u = u + a =0 P ,a + v = v + a =0 P imamy:
u = u +0 P = u +( a + v )=( u + a )+ v =0 P + v = v.
awi¦cudowodnili±my,»e u równasi¦ v .Tooznacza,»erównaniemadokładnie
jedno(istnienierozwi¡zaniawynikazaksjomatykipier±cieni).
Jakpowiedzieli±myju»wcze±niejelementprzeciwnydo a (czylirozwi¡-
zanierównania a + x =0 P )oznacza¢b¦dziemyprzez − a .Pozwalanamto
nazdefiniowanieodejmowaniawpier±cieniuwnast¦puj¡cysposób: a − b :=
a +( − b ).
Twierdzenie4 Je±liwpier±cieniuspełnionajestrówno±¢a + b = a + cto
b = c.
Dowód wiczenie.
3
Twierdzenie5 Dlaka»dychelementowa,bpier±cieniaPmamy:
(1) a · 0 p =0 P · a =0 P .
(2) a ( − b )=( − a ) b = − ( ab ) .
(3) − ( − a )= a.
(4) − ( a + b )=( − a )+( − b ) .
(5) − ( a − b )= − a + b.
Wdowolnympier±cieniumo»nazdefiniowa¢pot¦gowanieelementówja-
ko a n = a · a · ·· a
.Mo»emyrównie»zdefiniowa¢pot¦g¦ a 0 jako1 P (je±li P
posiadajedynk¦).Dokładnietaksamojakwpier±cieniuliczbcałkowitych
pot¦gowaniemanast¦puj¡cewłasno±ci:
(1) a n + m = a n · a m .
(2) a nm =( a n ) m .
4
| {z }
n ×

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin