Algebra 0-19 geometria analityczna.pdf

(68 KB) Pobierz
19538065 UNPDF
Wykład19
Geometriaanalitycznacd.
Równaniepłaszczyzny
Niech P 0 ( x 0 ,y 0 ,z 0 )b¦dziepunktemwprzestrzeniiniech −! n =[ A,B,C ]b¦-
dziedowolnymwektorem.Wtedypłaszczyzn¦okre±lamyjakozbiórwszyst-
P 0 Q jestprostopadłydowekto-
ra −! n .Ztegookre±leniapłaszczyznymo»emywyprowadzi¢równanieogólne
płaszczyzny.Poniewa»wektor −−!
do −! n =[ A,B,C ]tomamy:
P 0 Q =[ x − x 0 ,y − y 0 ,z − z 0 ]jestprostopadły
[ x − x 0 ,y − y 0 ,z − z 0 ] [ A,B,C ]=0
st¡dmamy:
A ( x − x 0 )+ B ( y − y 0 )+ C ( z − z 0 )=0
je±liprzyjmiemy D = − Ax 0 − By 0 − Cz 0 todostajemyrównanie:
Ax + By + Cz + D =0
wektorowspółrz¦dnych[ A,B,C ]jestprostopadłydopłaszczyzny.Wektor
tennazywamywektoremnormalnympłaszczyzny.
Zadanie Wyznaczy¢równaniepłaszczyznyprzechodz¡cejprzezpunkty P 1 (1 , − 1 , 2),
P 2 (2 , 2 , 0), P 3 (1 , − 2 , 3).
Rozwi¡zanie Abywyznaczy¢równaniepłaszczyznytrzebawyznaczy¢wek-
tornormalnydopłaszczyzny.Mo»nazauwa»y¢,»ewektortenjestprostopa-
dłydowektorów −−!
P 1 P 3 zatemmo»emyprzyj¡¢:
−! n = −−!
P 1 P 2 × −−!
P 1 P 3
St¡dłatwoju»otrzyma¢równaniepłaszczyzny.
Odległo±¢punktuodpłaszczyzny
Niech Ax + By + Cz + D =0b¦dziedowoln¡płaszczyzn¡iniech P 0 ( x 0 ,y 0 ,z 0 )
b¦dziedowolnympunktem.Wtedyodległo±¢ d tegopunktuodpłaszczyzny
wyra»asi¦wzorem:
d = | Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D |
p
A 2 + B 2 + C 2
Wzajemnepoło»eniedwóchpłaszczyzn
Wzajemnepoło»eniedwóchpłaszczyzn:
A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 =0
A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 =0
1
kichpunktów Q ( x,y,z )takich,»ewektor −−!
P 1 P 2 i −−!
badaj¡cwzajemnepoło»eniewektorównormalnych.
Płaszczyznytes¡równoległewtedyitylkowtedygdywektorynormalne
[ A 1 ,B 1 ,C 1 ]i[ A 2 ,B 2 ,C 2 ]czyli
A 2 = B 1
B 2 = C 1
C 2
Płaszczyznypokrywaj¡si¦gdy:
A 2 = B 1
B 2 = C 1
C 2 = D 1
D 2
wynikatobezpo±rednioztwierdzeniaKroneckera-Capellego.
Je±liwektorynormalnedopłaszczyznnies¡równoległetopłaszczyznyprze-
cinaj¡si¦wzdłu»prostej:
(
A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 =0
A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 =0
takieprzedstawienieprostejwprzestrzeninazywamy równaniemkraw¦-
dziowymprostej .
P¦kpłaszczyzn
Je±liprosta l jestdanawpostacikraw¦dziowej:
(
A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 =0
A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 =0
to:
( A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 )+ ( A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 )=0
dlaró»nychwarto±ciparametrów i przedstawiazbiórpłaszczyznprze-
chodz¡cychprzezprost¡ l ,zbiórtennazywamy p¦kiempłaszczyzn wyzna-
czonychprzezprost¡ l .
Zadanie Znale¹¢równaniepłaszczyznyprzechodz¡cejprzezpunkt P (3 , 2 , 1)
izawieraj¡cejprost¡: ( x +2 y − 3 z +4=0
x − 3 y +2 z − 1=0
Równanieparametryczneprostej
Prost¡b¦dziemytutajprzedstawia¢wnast¦puj¡cysposób.Wybieramy
wektor a =[ x a ,y a ,z a ]ipunkt P ( x 0 ,y 0 ,z 0 ).Zbiórpunktów Q ( x,y,z )takich,
x a = y − y 0
y a = z − z 0
z a
2
A 1
A 1
»ewektor −! PQ jestrównoległydo a tworzyprost¡wprzystrzeni.Wektor −! PQ
mawspółrz¦dne( x − x 0 ,y − y 0 ,z − z 0 ),aprostamawzór:
x − x 0
 
Równanietonazywamyrównaniemkierunkowymprostej,awektor a nazy-
wamywektoremkierunkowym.Je±liwprowadzimydodatkowoparametr t ,
taki»e:
x − x 0
x a = y − y 0
y a = z − z 0
z a = t
iwyznaczymy x,y,z tootrzymamynast¦puj¡cyukładrówna«:
8
> <
x = x 0 + x a t
y = y 0 + y a t
z = z 0 + z a t
> :
Układtenokre±lazbiórpunktówle»¡cychnaprostej,dlaró»nychwarto±ci
parametru t otrzymujemyró»nepunktyle»¡cenaprostej.Takieprzedstawie-
nieprostejnazywamyrównaniemparametrycznymprostej.Wartozauwa»y¢,
»erównanieparametrycznezawierawswoimwzorzewspółrz¦dnepunktu
przezktórytaprostaprzechodziorazwspółrz¦dnewektorakierunkowegotej
prostej.
Przykład Zapisa¢wpostaciparametrycznejprost¡:
(
x +2 y − 3 z +1=0
2 x + y +3 z − 4=0
Przykład Wyznaczy¢odległo±¢punktu P (1 , 2 , 3)odprostej
8
> <
x =1+ t
y = − 1+2 t
z =2+ t
> :
Przykład Sprawdzi¢,czyproste
8
> <
x =1+ t
y = − 1+2 t
z =2+ t
8
> <
x =2 − t
y = − 1+2 t
z = t
> :
> :
s¡sko±neiznale¹¢odległo±¢mi¦dzynimi.
Powierzchniestopniadrugiego
Podobniejaknapłaszczy¹niemo»nasklasyfikowa¢powierzchniestopnia
2wprzestrzeni.
(1)Sferao±rodkuwpunkcie S ( x 0 ,y 0 ,z 0 )iopromieniu R marównanie:
( x − x 0 ) 2 +( y − y 0 ) 2 +( z − z 0 ) 2 = R 2 ,
(2)Elipsoida x 2
b 2 + z 2
c 2 =1,
3
a 2 + y 2
(3)Hiperboloidajednopowłokowa x 2
a 2 + y 2
b 2 − z 2
c 2 =1,
(4)Hiperboloidadwupowłokowa x 2
a 2 − y 2
b 2 − z 2
c 2 =1,
(5)Paraboloidaeliptyczna x 2
a 2 + y 2
b 2 =2 z ,
(6)Paraboloidahiperboliczna x 2
a 2 − y 2
b 2 =2 z .
Walce :
Walcemlubpowierzchni¡walcow¡nazywamypowierzchni¦,którajest
utworzonaprzezukładprostychrównoległychprzecinaj¡cychpewn¡krzyw¡
np.równania: x 2
a 2 + y 2
b 2 =1, x 2
a 2 − y 2
b 2 =1, y 2 =2 px przedstawiaj¡walcew
przestrzeni.
c 2 =0.
Powierzchnieprostokre±lne
Powierzchnieutworzoneprzezukładyliniinazywamypowierzchniamipro-
stokre±lnymi.Oczywi±ciewalceisto»kis¡prostokre±lne.
Hiperboloidajednopowłokowaiparaboloidahiperbolicznas¡powierzchniami
prostokre±lnymi.Rzeczywi±cierównanie x 2
a 2 + y 2
b 2 − z 2
a 2 + y 2
b 2 − z 2
c 2 =1mo»nazapisa¢w
postaci:
a 2 − z 2
c 2 =1 − y 2
b 2
ikorzystaj¡czewzoruskróconegomno»enia:
x
a − z
x
a + z
=
1 − y
b
1+ y
b
c
c
1
t
codlaró»nychwarto±ciparametru t dajeprost¡całkowiciezawart¡wpo-
wierzchni.
Powierzchnieobrotowe
Je±lipowierzchniajestutworzonaprzezobrótpewnejkrzywejdookoła
pewnejositopowierzchni¦tak¡nazywamypowierzchni¡obrotow¡.Naprzy-
kładje±lielips¦: x 2
a − z
=
1 − y
b
t,
x
a + z
=
1 − y
b
c
c
a 2 + y 2
b 2 =1napłaszczy¹nie xy obrócimydookołaosi Oy to
4
Sto»ki :
Sto»kiemlubpowierzchni¡sto»kow¡nazywamypowierzchni¦,którajest
utworzonaprzezukładprostychprzechodz¡cychprzezustalonypunktwprze-
strzeniiprzecinaj¡cychkrzyw¡.Walcemjestnaprzykładpowierzchniao
równaniu: x 2
x 2
mo»emywprowadzi¢parametr t iotrzymujemy:
x
wefecieotrzymamywprzestrzenielipsoid¦obrotow¡owzorze:
a 2 + y 2
b 2 + z 2
a 2 =1
5
x 2

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin