TEMAT:Zbieżność jednostajna cd,przestrzeń Banacha, przestrzeń unitarna
Niech: X-zbiór
(Y,d)-przestrzeń metryczna
B(X,Y)-zbiór funkcji ograniczonych o wartościach w przestrzeni metrycznej
B(X,Y)={ , f - ograniczona}
dc-metryka Czebyszewa dc(f,g) := d(f(x),g(x))
TWIERDZENIE 10.1
Przestrzeń (B(X,Y), dc) jest przestrzenią metryczną.
Dowód:
1) dc(f,g) = d(f(x),g(x)) ,
ponieważ dc(f,g) jest kresem górnym liczb nieujemnych
2) dc(f,g) = d(f(x),g(x)) = {z symetrii d}=
= d(g(x),f(x))= dc(g,f)
3) dc(f,h) = d(f(x),h(x)){z nierówności trójkąta dla d}
[d(f(x),g(x))+d(g(x),h(x))]{kres górny sumy dwóch funkcji sumy kresów}
d(f(x),g(x)) + d(g(x),h(x))= dc(f,g)+ dc(g,h)
4) dc(f,g) =0 d(f(x),g(x)) = 0 d(f(x),g(x))=0
f(x)=g(x) f=g
Pokazaliśmy więc, że przestrzeń (B(X,Y), dc),
gdzie dc -metryka Czebyszewa, jest przestrzenią metryczną.
STWIERDZENIE 10.1
Jeżeli (Y,d) - przestrzeń zupełna to przestrzeń (B(X,Y), dc) jest przestrzenią zupełną.
STWIERDZENIE 10.2
Jeżeli (Y,d) - przestrzeń zupełna i C(X,Y) - zbiór funkcji ciągłych i ograniczonych przeprowadzających
X w Y to wtedy przestrzeń (C(X,Y), dc) jest przestrzenią zupełną.
Następnie pokażemy, że zbieżność jednostajna jest zbieżnością w sensie metryki Czebyszewa..
WNIOSEK 10.1
Niech (fn)n N B(X,Y)
T: fn f dc(fn,f) =0
D: ()
fn f d(fn(x),f(x)) <
d(fn(x),f(x))<
dc(fn,f)<
Pokazaliśmy, że jeżeli ciąg jest zbieżny jednostajnie to jest zbieżny
w sensie metryki Czebyszewa.
()
dc(fn,f) < d(fn(x),f(x)) <
d(fn(x),f(x)) <
A zatem badanie czy ciąg jest zbieżny jednostajnie będzie się ograniczać
...
sebcio97