05. Różniczka zupełna.pdf

(124 KB) Pobierz
Różniczka zupełna
RÓŻNICZKA ZUPEŁNA
Niech   
X
, Y
,
,
przestrzenie unormowane nad K ,
U
Top
X
,
f
:
U
Y
,
x
0 U
.
Różniczką zupełną ( pochodną zupełną ) odwzorowania f w punkcie x 0 nazywamy
odwzorowanie liniowe i ciągłe 
0
L L( X, Y ) spełniające warunek
f
       
x
0
h
f
x
0
L
x
0
h
o
h
dla
x
0
h
U
lub równoważnie
     
lim
f
x
0
h
f
x
0
L
x
0
h
0
Y
h
h
0
lub
f
       
x
h
f
x
L
h
r
h
,
gdzie
lim
r
0
 
h
0
0
0

x
0

x
0
h
h
0
część reszta
liniowa
Zatem funkcja f w punkcie x 0 ma rózniczkę zupełną, jeśli przyrost funkcji można rozłożyć na
część liniową i nieliniową resztę, która jest funkcją typu o ( h ).
Różniczkę odwzorowania f w punkcie x 0 oznaczamy też symbolem   .
d x
0
f
lub
f
'
x
0
Definicja
Jeśli f jest różniczkowalna dla każdego U
x , to odwozorowanie
f
'
:
U
f
x
d
x
L( X,Y )
nazywamy odwzorowaniem pochodnym funkcji f .
1
x
10635271.007.png 10635271.008.png 10635271.009.png 10635271.010.png
 
Przykład
Zbadać różniczkowalność funkcji
f
:
R
2
R
3
,
f
 
x
,
y
xy
,
x
y
,
x
2
y
2
w punkcie
( x 0 , y 0 )=(2, 1) .
Wybieramy wektor h= [ h 1 , h 2 ] i obliczamy przyrost  funkcji f w punkcie ( x 0 , y 0 )
f
f
x
0
h
1
,
y
0
h
2
      
  
f
x
0
,
y
0
f
2
h
1
,
1
h
2
f
2
1
 
2
h
1
h
,
3
h
h
,
   
2
h
2
1
h
2
2
3
5
1
2
1
2
1
2
2
h
h
h
h
,
h
h
,
4
h
2
h
h
2
h
2

2

1
1
2

1
2

1

2
1
2
liniowe
liniowe
liniowe
 
2
h
h
,
h
h
,
4
h
2
h
h
h
,
0
h
2
h
2

2
1
1

2
1
2
1

2

2
część część
liniowa nieliniowa
Musimy pokazać, że część nieliniowa jest typu o ( h ) .
   
h
h
,
0
h
2
h
2
h
h
,
0
h
2
h
2
h
h
  ,
lim
1
2
1
2
lim
1
2
1
2
lim
1
2
,
0
h
2
h
2
0
0
0
h
h
0
1
2
h
0
h
0
2
2
2
1
2
h
h
h
h
1
1
2
2
h
0
2
normy euklidesowej
każdej składowej osobno
liczymy granicę dla
gdzie granicę pierwszej składowej    
lim
h
1
h
2
obliczyliśmy korzystając ze
2
2
h
, 2
h
0
,
0
1
h
h
1
2
współrzędnych biegunowych:
lim
r
cos
r
sin
lim
0
cos
sin
e


r
0
r
r
0
dow
.
ograniczon
dow
.
0
Zatem udowodniliśmy, że część liniowa należy do klasy     .
o
h
f
D
x
0 y
, 0
Część liniowa stanowi różniczkę, czyli
  
d
(
2
,
1
f
h
1
,
h
2
h
1
2
h
2
,
h
1
h
2
,
4
h
1
2
h
2
lub korzystajacąc z macierzowego zapisu odwzorowania liniowego
1
2
    .
d
(
2
,
f
h
1
,
h
2
1
1
h
1
,
h
2
4
2
2
1
skorzystalismy z
r
10635271.001.png
Twierdzenie ( o jednoznaczności różniczki w punkcie )
Jeśli istnieje różniczka ,
d x to jest jedyna.
0 f
Uwaga
Jedyność różniczki odwzorowania określonego w przestrzeni o wymiarze dim X > 1
uzyskujemy dzięki temu, że dziedzina tego odwzorowania jest zbiorem otwartym.
Przykład
Niech  
D
x
,
y
:
0
x
1
0
y
x
2
,
f
:
D
R
,
  .
f
x
,
y
x
3
Dziedzina funkcji nie jest zbiorem otwartym,
D
Top
R
2
.
Wyznaczamy różniczkę w punkcie ( x 0 , y 0 ) = (0, 0), który jest punktem skupienia dziedziny D .
I. Rozłóżmy przyrost w punkcie (0,0) na część liniową i nieliniową
   
f
0
h
,
0
h
f
0
0
h
3
0
h
3
1
2
1
1
Zatem
L
    0
h
,
h
jest różniczką funkcji w punkcie (0, 0), jeżeli
r
h
1 h
,
h
)
3
jest
0
,
0
1
2
2
1
typu h
(
).
Sprawdzamy czy    
r  :
h
o
h
h
3
lim
1
0
2
2
( 2
1
h
,
h
)
(
0
,
0
)
h
h
1
2
ponieważ
r
3
cos
3
lim
lim
0
2
cos
3
 e
r
0
r
r
0
ograniczon
dow
.
dow
.
0
3
(
o
r
10635271.002.png 10635271.003.png
II. Wyznaczamy część liniową w inny sposób
      .
f
h
,
h
f
0
0
h
h
3
h
1
2
2
nieliniowe

1

2
liniowe
Zatem
L
    ,
0
0
h
1
, 2
h
2
jeżeli  
h
r
h
1
,
h
2
h
3
1
h
2
jest
typu
o
  .
h
Sprawdzimy, czy reszta jest typu o ( h ).
h
3
h
Na
podstawie
twierdzen
ia
o
trzech
funkcjach
lim
1
2
0
bo
2
2
( 2
1
h
h
(
0
0
)
h
h
1
2
h
3
1
h
h
3
1
h
2
h
3
1
h
2
h
3
1
h
2
h
2
0
2
h
2
1
1
h
h
,
2
2
2
2
2
2
h
h

1
1
h
h
h
h
h
h
1
1
1
2
1
2
1
2
0
gdzie ostatnia nierówność jest spełniona ponieważ dla   D
h
2
1 ,
h
zachodzi
h
2 h
2
.
1
Z I i II wynika, że funkcja nie ma jednoznacznie określonej różniczki.
Wniosek
Funkcja o dziedzinie nie będącej zbiorem otwartym nie ma jednoznacznie określonej
różniczki.
Twierdzenie ( o liniowości różniczki względem odwzorowań )
Niech X,Y – przestrzenie unormowane nad ciałem K ,
U
Top
X
,
f
,
g
:
U
Y
,
x
0
U
,
 
f
,
g
D
x
0
oraz
niech
α,β
K
.
Wtedy
d x
0 g
(
 
f
)
(istnieje rózniczka kombincji liniowej funkcji f i g )
oraz
d
x
0
(
f
g
)
d
x
0
f
d
x
0
g
.
4
,
,
)
,
10635271.004.png 10635271.005.png
Twierdzenie ( o różniczce iloczynu i ilorazu funkcji )
Jeśli dodatkowo założymy, że Y= K , to
d
0 )
(
fg
d
f
(istnieją rózniczki iloczynu i ilorazu)
x
x
0
g
oraz
d
x
0
(
fg
)
g
    g
x
0
d
x
0
f
f
x
0
d
x
0
i
d
f
g
   
 
x
0
d
x
0
f
f
x
0
d
x
0
g
,
gdy
g
  .
x
0
x
0
g
 
g
x
2
0
0
Twierdzenie ( o różniczce złożenia funkcji )
Niech X,Y,Z – przestrzenie unormowane nad K ,
U
Top
X
,
V
Top
Y
,
f
:
U
V
,
g
:
V
Z
,
x
0
U
,
y
0
f
(
x
0
)
V
.
Jeśli
d
x
f
d
y
g
,
0
0
to
d x
0
 
g
f
i
d
x
0
g
 
f
d
y
g
d
x
f
0
0
Twierdzenie ( o istnieniu pochodnej kierunkowej )
Niech
X
,
Y
przestrzen
ie
unormowane
nad
K
,
U
Top
X
,
f
:
U
Y
,
x
0 U
.
Jeśli
d x
0 f
,
to
h
X
,
h
1
:
).

h
f
(

x
0
)
D
h
f
  
x
0

x
f
(
h
0
pochodna kierunkowa
wartość różniczki
w kierunku
w punkcie x 0
wektora h
na wektorze h
5
D
d
10635271.006.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin