Matlab - materiały do projektów.pdf - matlab - pomoce - magdal100

MATLAB - materia“y do

¹ -projekt ó w (wersja robocza)

Piotr Jacek Suchomski

3 czerwca 2007

Rozdzia“ 1

Modelowanie uk“ad ó w

dynamicznych

² Prosze zamodelowa¢ wybrany uk“ad dynamiczny, w miarƒ mo»liwo–ci

z“o»ony z kilku element ó w funkcjonalnych (np. silnik steruj¡cy za-

worem, uk“ad napƒdu windy, lokomotywa mozol¡ca siƒ z wagonami

(’a tych wagon ó w jest ze czterdzie–ci...’), sterowanie suwnic¡, zaw ó r

dop“ywu pary do radiatora w komorze termicznej itp).

² Proszƒ pamiƒta¢ tak»e wymuszeniach losowych (zak“ ó ceniach).

² Proszƒ o uwzglƒdnienie obecno–ci element ó w nieliniowych (nasycenia,

strefy martwe, histerezy, nieliniowo–ci charakterystyk statycznych, ste-

rowanie typu przeka„nikowego itp). Pamietajmy, »e w przypadku mod-

eli nieliniowych symulacja powinna siƒ zasadniczo opiera¢ na rozwi¡-

zaniu stosownych nieliniowych r ó wna« r ó »niczkowych.

² Proszƒ wykona¢ stosowne symulacje (wzruszaj¡c przy okazji kol. belfra

perfekcyjn¡ znajomosci¡ MATLABowych narzƒdzi gra cznych!)

² Zadanie dla prymus ó w: proszƒ zaprojektowa¢ uk“ad zamkniƒty, rozwa-

»aj¡c mo»liwo–¢ syntezy sygna“u wymuszaj¡cego (podawanego na mod-

elowany obiekt) w oparciu o dostƒpny sygna“ wyj–ciowy tego obiektu.

W ten spos ó b spe“nia siƒ s“odki sen ka»dego automatyka o (stabilnej)

zamkniƒtej pƒtli sterowania!

² Oczekujƒ te» na rozwi¡zania podanych wcze–niej zagadek (adresowanie,

algebra liniowa, efektywno–¢ w programowaniu, numeryczna dok“ad-

no–¢, ca“kownie, szukanie zer i ekstrem ó w funkcji, i pewnie co– tam

jeszcze).

ROZDZIA Š 1. MODELE UK Š AD Ó W DYNAMICZNYCH (PJS)

² Niezbƒdne jest dostarczenie odpowiedniego raportu z precyzyjnym i

lapidarnym opisem tego, co zosta“o wykonane w ramach projektu (mo-

tywacja, rozwi¡zanie, wnioski).

² Pamiƒtajcie te», »e ka»dy projekt trzeba ’obroni¢’ w trakcie –wiatlej

dyskusji. Aby unikn¡¢ nu»¡cych monolog ó w, dopuszczamy dwuosobowe

grupy projektant ó w.

1.1 Modelowanie element ó w uk“ad ó w sterowania

Przyk“ad 1.1 Okre–l matematyczny model idealnej przek“adni zƒbatej.

Podaj uk“ad elektryczny o analogowym charakterze.

Rozwi¡zanie Modelowana przek“adnia (rys. 1) jest przek“adni¡ ide-

aln¡. Oznacza to, i» nieodkszta“calne ko“a zƒbate tej przek“adni nie maj¡

w“asnej bezw“adno–ci, oraz »e w ruchu przek“adni nie wystƒpuj¡ luzy i po-

–lizgi.

Rys. 1. Schemat idealnej przek“adni

Niech rozwa»ana przek“adnia sk“ada siƒ z dw ó ch k ó “ zƒbatych o pro-

mieniach odpowiednio r 1 oraz r 2 . Konsekwencjami przyjƒtego za“o»enia s¡

nastƒpuj¡ce relacje (proporcje): r 1 # 1 ( t )= r 2 # 2 ( t )oraz ¿ 1 ( t ) =r 1 = ¿ 2 ( t ) =r 2 ,

gdzie przez # 1 ( t )oraz # 2 ( t )oznaczono przemieszczenie k¡towe pierwszego

oraz drugiego ko“a zƒbatego, za– ¿ 1 ( t )oraz ¿ 2 ( t )s¡ stosownymi momentami

obrotowymi zwi¡zanymi z pierwszym oraz drugim ko“em zƒbatym. Pierwsza

z wymienionych relacji opisuje r ó wno–¢ liniowych dr ó g wykonywanych przez

odpowiednie punkty na obwodzie k ó “ zƒbatych, za– relacja druga wynika

z r ó wno–ci si“ wyznaczaj¡cych rozwa»ane momenty. Zak“adaj¡c, »e liczba

zƒb ó w ( N 1 oraz N 2 )ka»dego ko“a zƒbatego przek“adni jest proporcjonalna

do jego promienia, otrzymuje siƒ nastƒpuj¡ce zale»no–ci:

N 1 # 1 ( t )= N 2 # 2 ( t )oraz ¿ 1 ( t )

N 2 : (1.1)

N 1 = ¿ 2 ( t )

1.1. ELEMENTY (PJS)

Oznaczmy przez ! 1 ( t )= ˙ # 1 ( t )oraz ! 2 ( t )= ˙ # 2 ( t )prƒdko–ci k¡towe

odpowiednich k ó “. Jak “atwo zauwa»y¢, prƒdko–ci te powi¡zane s¡ r ó wno–ci¡

N 1 ! 1 ( t )= N 2 ! 2 ( t ).

Analogowym uk“adem elektrycznym jest idealny transformator o prze-

k“adni N 1 : N 2 (rys. 2).

Rys. 2. Schemat idealnego transformatora

Z zasady zachowania mocy chwilowej uzyskuje siƒ r ó wnanie u 1 ( t ) i 1 ( t )=

u 2 ( t ) i 2 ( t ), gdzie u 1 ( t )oraz i 1 ( t )oznacza napiƒcie oraz pr¡d w uzwojeniu

wej–ciowym (pierwotnym), za– u 2 ( t )oraz i 2 ( t ) w uzwojeniu wyj–ciowym

(wt ó rnym). Z zasady zachowania strumienia magnetycznego wynika r ó wno–¢

N 1 i 1 ( t )= N 2 i 2 ( t ). Na tej podstawie wnioskujemy, »e u 1 ( t ) =N 1 = u 2 ( t ) =N 2 .

Jak zatem widzimy, parami wielko–ci analogowych s¡ odpowiednio moment

obrotowy i napiƒcie oraz przemieszczenie k¡towe i pr¡d. Impedancja Z L , ob-

ci¡»aj¡ca wt ó rne uzwojenie idealnego transformatora, jest nastƒpuj¡co trans-

formowana do obwodu uzwojenia pierwotnego:

µ N 1

N 2

¶ 2

Z L 1 =

¢Z L :

Rozwa»aj¡c r ó wnanie ruchu wa“u wt ó rnego J L ¨ # 2 ( t )= ¿ 2 ( t ), po uzglƒd-

nieniu modelu idealnej przek“adni (1.1), swierdzamy, »e( N 1 =N 2 ) J L ¢ ¨ # 1 ( t )=

( N 2 =N 1 ) ¢¿ 1 ( t ). R ó wno–ci tej nada¢ mo»na r ó wnowa»n¡ formƒ

µ N 1

N 2

¶ 2

J L ¢ ¨ # 1 ( t )= ¿ 1 ( t )

z kt ó rej wynika, »e moment bezw“adno–ci J L walu wt ó rnego jest nastƒpuj¡co

transformowany na wa“ pierwotny:

µ N 1

N 2

¶ 2

J L 1 =

¢J L :

ROZDZIA Š 1. MODELE UK Š AD Ó W DYNAMICZNYCH (PJS)

Przyk“ad 1.2 Wyznacz model zaworu hydraulicznego (rys. 3), przyjmuj¡c

jako wielko–¢ wej–ciow¡ zmianƒ ci–nienia p 1 ( t ), za– jako wielko–¢ wyj–ciow¡

zmianƒ natƒ»enia przep“ywu q ( t )nie–ci–liwej cieczy.

Rys. 3. Schematyczne przedstawienie zaworu hydraulicznego

R ó wnanie opisuj¡ce przep“yw cieczy przez dany przekr ó j poprzeczny dane

jest wzorem

q ( t )= k

p 1 ( t ) ¡p 2 ( t ) ; p 1 ( t ) ¸p 2 ( t ) (1.2)

w kt ó rym wsp ó “czynnik k ma warto–¢ sta“¡, wynikaj¡c¡ z konstrukcji zaworu.

Zak“ada siƒ ponadto, »e p 2 ( t )=¯ p 2 , gdzie¯ p 2 odpowiada przyjƒtemu punktowi

pracy (ustalonemu przep“ywowi).

Rozwi¡zanie Charakterystyka zaworu (wz ó r (1.2)) jest nieliniow¡ funkcj¡

argumentu p 1 ( t ). Linearyzuj¡c tƒ funkcjƒ w otoczeniu punktu¯ p 1 , dla p 1 ( t )=

¯ p 1 +¢ p 1 ( t )uzyskujemy formu“ƒ

¯ p 1 +¢ p 1 ( t ) ¡ ¯ p 2 ¼k p ¯ p 1 ¡ ¯ p 2 ¢

1+ ¢ p 1 ( t )

2(¯ p 1 ¡ ¯ p 2 )

=¯ q +¢ q ( t )

gdzie¯ q = k p ¯ p 1 ¡ ¯ p 2 odpowiada natƒ»eniu przep“ywu dla punktu¯ p 1 , za–

¢ q ( t )= k

2 p ¯ p 1 ¡ ¯ p 2 ¢ ¢ p 1 ( t )

jest zmian¡ tego natƒ»enia wywo“an¡ przez zmianƒ¢ p 1 ( t )ci–nienia p 1 ( t ).

2 p ¯ p 1 ¡ ¯ p 2 :

Liczbƒ R =2 p ¯ p 1 ¡ ¯ p 2 =k , zale»n¡ od punktu linearyzacji czyli od

warunk ó w ustalonego przep“ywu cieczy przez dany przekr ó j nazywamy

rezystancj¡ hydrauliczn¡ tego przekroju.

¢ P 1 ( s ) = k

¢ Q ( s )

Matlab - materiały do projektów.pdf

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: