AMI 14. Nierówności. Twierdzenie Lagrange'a.pdf

Nierówno±ci

Zadanie1. Stosuj¡ctwierdzenieLagrange’a:dlaf :[ a,b ] ! R ci¡głegona [ a,b ] iró»-

niczkowalnegona ( a,b ) zachodzi

9 c 2 ( a,b ) f ( b ) − f ( a )

b − a = f 0 ( c ) ,

n ( x − 1) ,dlax> 1 ;

2.e 2 x − 1 > 2 x,dlax> 0 ;

2 − 1

sin x <

x −

,dla

4 <x<

2 ;

4.x 2 x − 2 > 4( x − 1) ,dlax> 1 ;

5.x 2 x − 2 < 2 x (1+ x )(1 − x ) ,dlax> 1 ;

6. ln(1+3ln x ) < 3( x − 1) ,dlax> 1 .

Zadanie2. Standardowametodadowodzenianierówno±ci:f ( x ) ¬ g ( x ) dlax 2 [ a,b ] .

Dlafunkcjih ( x ):= g ( x ) − f ( x ) metodamirachunkuró»niczkowegopokazujesi¦,»e

min x 2 [ a,b ] h ( x ) 0 .Udowodnijnierówno±ci:

1. ln x< 3 p

x 2 ,dlax> 0;

2. ln(1+ x ) > arctg x

1+ x ,dlax> 0;

p 2

3.xe − x 2 ¬

2 e − 1 2 ,dlax> 0;

x 2 > 4ln x,dlax> 1;

5.x | ln x | < 1

5 e ,dla> 0 ,x 2 (0 , 1);

6. ln x ¬ p x,dlax> 0;

7. ln(1+

1+ x 2 ) < 1

x +ln x,dlax> 0;

8. ln x

x − 1 ¬ 1 p x ,dlax> 0 ,x 6 =1 .

udowodnijnierówno±ci:

1. n p x − 1 < 1

4.x 2 − 1