Wykład 04 - Rachunek wariacyjny.pdf

(160 KB) Pobierz
Wprowadzenie do MES
Rachunek wariacyjny
Metody aproksymacyjnego rozwiĢzywania równaı róŇniczkowych
980511507.026.png
Przykładowe zagadnienia
•
Zagadnienie brachistochrony (J. Bernoulli 1696)
Dane sĢ ustalone punkty A, B nie leŇĢce na pionowej prostej.
Wyznaczyę liniħ-drogħ, po której punkt materialny zsunie siħ
od A do B w najkrótszym czasie pod wpływem siły ciĢŇenia.
PrħdkoĻę poczĢtkowa w punkcie A jest równa 0.
•
Powierzchnia obrotowa o minimalnym polu
Dane sĢ ustalone punkty A, B nie leŇĢce na pionowej prostej.
Dane sĢ ustalone punkty A, B nie leŇĢce na pionowej prostej.
Wyznaczyę liniħ, która po obrocie wokół osi utworzy
powierzchniħ o najmniejszym polu
•
Powierzchnia o minimalnym polu przechodz Ģ ca przez dan Ģ krzyw Ģ
Dana jest krzywa G w przestrzeni R 3 . Poszukujemy
powierzchni S, której brzegiem jest G , i której pole jest
minimalne
2
980511507.027.png 980511507.028.png 980511507.029.png 980511507.001.png
Powierzchnia obrotowa o minimalnym polu
a
b
x
u(x)
b
2
p
S
=
2
u
( )
x
1
+
[
u
'
( )
x
]
d
x
®
min
u
(
x
)
a
3
980511507.002.png 980511507.003.png 980511507.004.png 980511507.005.png 980511507.006.png 980511507.007.png 980511507.008.png 980511507.009.png 980511507.010.png 980511507.011.png 980511507.012.png 980511507.013.png
 
Warunek konieczny istnienia ekstremum funkcjonału
b
Ð
J
( )
u
=
F
(
x
,
u
,
u
'
)
d
x
®
min;
u
( )
a
=
u
,
u
( )
b
=
u
a
b
a
D
J
=
J
( )
u
−
J
(
u
+
h
)
,
h
( )
a
=
h
( )
b
=
0
b
Ð
D
J
=
[
F
(
x
,
u
+
h
,
u
'
+
h
'
)
−
F
(
x
,
u
,
u
'
)
]
d
x
a
F
F
F
(
x
,
u
+
h
,
u
'
+
h
'
)
−
F
(
x
,
u
,
u
'
)
»
F
+
h
+
h
'
+
u
u
'
2
2
2
1
F
F
1
F
2
2
2
h
+
hh
'
+
h
'
+
−
F
2
2
2
u
u
u
'
2
u
'
b
F
F
Ç
×
Ð
D
J
=
h
+
h
'
d
x
+
a
(
u
,
h
) h
É
Ù
u
u
'
&
)
'
)
(
a
d
J
h
Ä
Ô
4
Æ
Ö
980511507.014.png 980511507.015.png 980511507.016.png 980511507.017.png 980511507.018.png
Warunek konieczny istnienia ekstremum funkcjonału
JeŇeli funkcjonał J(u) posiada ekstremum dla u=u 0 to d J= 0 dla u=u 0
b
F
F
Ç
×
Ð
d
( )
h
=
h
+
h
'
d
x
=
0
É
Ù
u
u
'
a
b
b
b
F
F
d
F
Ç
×
Ð
Ð
h
'
d
x
=
h
−
h
d
x
É
Ù
u
'
u
'
d
x
u
'
Ð
u
'
&
u
'
Ð
d
x
É
u
'
Ù
a
a
a
=
0
b
d
Ç
×
Ð
d
J
( )
h
=
h
F
−
F
d
x
=
0
É
Ù
u
u
'
d
x
a
d
F
−
F
=
0
Równanie Eulera
u
u
'
d
x
5
980511507.019.png 980511507.020.png 980511507.021.png 980511507.022.png 980511507.023.png 980511507.024.png 980511507.025.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin