wartosc_wlasna.pdf

Wektory w“asne i warto–ci w“asne macierzy

Niech dana bƒdzie macierz kwadratowa A =[ a ij ]stopnia n .

De nicja 1 Jednokolumnow¡ macierz

X =

6 6 6 4

x 1

x 2

x n

7 7 7 5 6 =0

spe“niaj¡c¡ r ó wnanie

AX = ¸X

nazywamy wektorem w“asnym macierzy A , a odpowiadaj¡c¡ jej liczbƒ ¸ warto–-

ci¡ w“asn¡ tej macierzy.

Aby znale„¢ wszystkie wektory w“asne i warto–ci w“asne macierzy rozwi¡zu-

jemy nastƒpuj¡ce r ó wnanie macierzowe:

( A¡¸E ) X =0 :

De nicja 2 Macierz A¡¸E nazywamy macierz¡ charakterystyczn¡ macierzy

A .

De nicja 3 R ó wnaniedet( A¡¸E )=0nazywamy r ó wnaniem charakterysty-

cznym i zapisujemy w postaci

¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯

=0 :

Przyk“ad 1 Znale„¢ warto–ci w“asne i wektory w“asne macierzy

· 22

A =

Przyk“ad 2 Znale„¢ warto–ci w“asne i wektory w“asne macierzy

· 31

A =

Aby obliczy¢ pierwiastki charakterystyczne rozwi¡»emy r ó wnanie charakterysty-

czne: ¯ ¯ ¯ ¯

3 ¡¸ 1

2 4 ¡¸

¯ ¯ ¯ ¯ =0 :

Obliczaj¡c wyznacznik otrzymujemy r ó wnanie:

(3 ¡¸ )(4 ¡¸ ) ¡ 2=0 ;

a 11 ¡¸ a 12 ::: a 1 n

a 21 a 22 ¡¸ ::: a 2 n

::::::::: ::::::::: ::: :::::::::

a n 1 a n 2 ::: a nn ¡¸

¸ 2 ¡ 7 ¸ +10=0 :

Zatem pierwiastkami charakterystycznymi s¡:

¸ 1 =2 i ¸ 2 =5 :

Znajdziemy teraz wektory w“asne odpowiadaj¡ce tym warto–ciom w“asnym.

· x 1

x 2

²¸ =2. Poniewa» X =

, wiƒc r ó wnanie AX = ¸ 1 X mo»emy zapisa¢

w postaci: · 31

· x 1

x 2

· x 1

x 2

Wykonuj¡c mno»enia mamy

· 3 x 1 +2 x 2

x 1 +4 x 2

· 2 x 1

2 x 2

;

sk¡d otrzymujemy uk“ad r ó wna«:

½ 3 x 1 +2 x 2 =2 x 1

x 1 +4 x 2 =2 x 2 :

Przenosimy wszystkie niewiadome na lew¡ stronƒ, sk¡d

½ x 1 +2 x 2 =0

x 1 +2 x 2 =0 :

Poniewa» obydwa r ó wnania s¡ takie same, wiƒc uk“ad r ó wna« sprowadza

siƒ do r ó wnania

x 1 +2 x 2 =0 :

Przyjmijmy parametr, »e x 2 jest parametrem, czyli t = x 2 . Skoro X jest

wektorem niezerowym, wiƒc zak“adamy,»e t 6 =0. Zatem rozwi¡zaniem

uk“adu jest 8

x 1 = ¡ 2 t

x 2 = t

t jest parametrem r ó »nym od zera

Wobec tego

· ¡ 2 t

X =

;

dla t6 =0lub

· ¡ 2

X = t

;

dla t 6 =0. Podsumowuj¡c otrzymali–my rodzinƒ wektor ó w w“asnych

postaci X = t

· ¡ 2

dla t6 =0odpowiadaj¡cych warto–ci w“asnej ¸ =2.

sk¡d

²¸ =5. Postƒpujemy tak jak w poprzednim punkcie, wiƒc rozwi¡zujemy

r ó wnanie AX =5 X , gdy X =

· x 1

x 2

, zatem:

· 31

· x 1

x 2

· x 1

x 2

Po wykonaniu odpowiednich mno»e« mamy

· 3 x 1 +2 x 2

x 1 +4 x 2

· 5 x 1

5 x 2

;

sk¡d otrzymujemy nastƒpuj¡cy uk“ad r ó wna«:

½ 3 x 1 +2 x 2 =5 x 1

x 1 +4 x 2 =5 x 2 :

Przenosimy wszystkie niewiadome na lew¡ stronƒ, wiƒc

½ ¡ 2 x 1 +2 x 2 =0

x 1 ¡x 2 =0 :

Podzielmy pierwsze r ó wnanie przez ¡ 2:

½ x 1 ¡x 2 =0

x 1 ¡x 2 =0 ;

wtedy oczywi–cie obydwa r ó wnania s¡ takie same, wiƒc uk“ad r ó wna«

sprowadza siƒ do r ó wnania

x 1 ¡x 2 =0 :

Przyjmijmy, »e x 2 jest parametrem, czyli t = x 2 . Skoro X jest wektorem

niezerowym, wiƒc zak“adamy, »e t6 =0. Zatem rozwi¡zaniem uk“adu jest

x 1 = t

x 2 = t

t jest parametrem r ó »nym od zera

Wobec tego

· t

X =

;

dla t6 =0lub

· 1

X = t

;

dla t6 =0. Wobec tego otrzymali–my rodzinƒ wektor ó w w“asnych postaci

· 1

X = t

dla t6 =0odpowiadaj¡cych warto–ci w“asnej ¸ =5.

· 1

· 3

Sprawdzimy, »e je–li przyjmiemy t =3, to wektor X =3

jest

wektorem w“asnym odpowiadaj¡cym warto–ci w“asnej ¸ =5. Istotnie,

· 32

· 3

· 9+6

3+12

· 15

AX =

oraz

· 3

· 15

5 X =5

;

wiƒc

· 3

AX =5 X;

a zatem wektor X =

jest wektorem w“asnym odpowiadaj¡cym warto–ci

w“asnej ¸ =5.

Przyk“ad 3 Znale„¢ warto–ci w“asne i wektory w“asne macierzy

2 ¡ 1 ¡ 2

¡ 1 5 1

¡ 2 1 2

A =

5 :

Korzystaj¡c z w“asno–ci wyznacznika

¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯

a 11 ¡¸ a 12 ::: a 1 n

a 21 a 22 ¡¸ ::: a 2 n

::::::::: ::::::::: ::: :::::::::

a n 1 a n 2 ::: a nn ¡¸

¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯

ostatnie r ó wnanie mo»na zapisa¢ nastƒpuj¡co:

( ¡ 1) n ( ¸ n ¡p 1 ¸ n¡ 1 + p 2 ¸ n¡ 2 ¡::: +( ¡ 1) n p n )=0 :

Twierdzenie 1 (wz ó r Hamiltona-Cayley’a) Ka»da macierz jest pierwiastkiem

swojego wielomianu charakterystycznego:

A n ¡p 1 A n¡ 1 + p 2 A n¡ 2 ¡::: +( ¡ 1) n p n E =0 :

Twierdzenie 2 Je–li jAj6 =0, to

A ¡ 1 =( ¡ 1) n¡ 1 1

p n

( A n¡ 1 ¡p 1 A n¡ 2 + ::: +( ¡ 1) n¡ 1 p n¡ 1 E )=0 :

· 2 1

1 ¡ 1

Przyk“ad 4 Maj¡c dan¡ macierz A =

sprawdzi¢ s“uszno–¢ Twierdzenia 1

dla tej macierzy.

Przyk“ad 5 Wyznaczy¢ macierz odwrotn¡ do macierzy A z poprzedniego przyk“adu.

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: