31. Klasyczne wcięcie wstecz NIE Z HAUSBRANDTA
Pojedyncze wcięcie wstecz polega na określeniu współrzędnych punktu wcinanego P na podstawie pomierzonych na nim kątów α β lub (α1, α2) do trzech punktów ABC o znanych współrzędnych. Zadanie to ma jedno rozwiązanie ponieważ dla określenia dwóch niewiadomych Xp Yp niezbędny jest pomiar dwóch kątów (n=u=2). Nazwa wcięcia pochodzi od celowych, które łączą punkt szukany z punkami znanymi, nosząc nazwę celowych wewnętrznych (kierunków wstecz).
Rozwiązując zadanie sposobem klasycznym (Kastnera), rozwiązanie polega na znalezieniu kątów pomocniczych Φ Ψ i sprowadzeniu go do typowego wcięcia w przód, które dla kontroli można dwukrotnie obliczyć z baz AB=a oraz BC=b
Znajomość współrzędnych punktów ABC umożliwia obliczenie kąta ϒ (kątABC) oraz wyznaczenie długości a=AB b=BC i azymutów tych boków. Po wprowadzeniu oznaczeń: φ = kątPBA oraz ψ =kątPCB
na podstawie sumy kątow w czworoboku ABCP
można napisać:
α +β + γ + φ + ψ = 360°
stąd: φ + ψ = 360° − (α+ β + γ)
Połowa sumy kątow pomocniczych wyniesie więc:
Celem dalszego postępowania prowadzącego do określenia wartości kątow φ, ψ,
jest wyznaczenie połowy rożnicy tych kątow.
Na podstawie twierdzenia sinusow w trojkątach ABP i BCP można dwukrotnie
zapisać wzory na długość ich wspolnego boku BP, a następnie zrownać ze sobą prawe
strony obu rownań:
Przekształcenie tej rowności daje następującą proporcję:
Wyrażenie występujące po prawej stronie powyższego rownania jest znaną
wielkością, ktora stanowi tangens pewnego, pomocniczego kąta μ, zaś sposob obliczenia
funkcji tg μ określa wzor:
a więc:
Na podstawie znanych wzorow trygonometrycznych na rożnicę i sumę sinusow
kątow możemy napisać:
Po prostym przekształceniu zapiszemy rownanie na obliczenie tangensa połowy
rożnicy kątow pomocniczych φ, ψ:
Na podstawie wartości połowy sumy i połowy rożnicy kątow φ, ψ możemy teraz
wyznaczyć oba poszukiwane kąty pomocnicze:
Obliczenia tok czynności:
1. Obliczenie azymutów i długości odcinków AB BC
2. Obliczenie kąta ϒ
3. Obliczenie wartości liczbowej połowy sumy kątów pomocniczych Ψ Φ
4. Obliczenie tangensa i kąta pomocniczego μ
5. Obliczenie wartości liczbowej połowy różnicy kątów pomocniczych Φ Ψ
6. Obliczenie kątów pomocniczych Ψ Φ
7. Obliczenie kątów ɛ ɗ do rozwiązania wcięć w przód w trójkątach ABP, BCP
8. Obliczenie współrzędnych punktu P
9. Kontrola obliczenie kata (α+β) ze współrzędnych.
fryderyk78