Podstawy metrologii. Wykład 6 i 7.pdf

Prof.drhab.inŜ.MichałLISOWSKI

michal.lisowski@pwr.wroc.pl

Uwaga:poniŜszemateriałymajacharakterautorskinaprawachrękopisu.Ichudostępnianie

bezzgodyautora,atakŜerozpowszechnianiejestprawniezabronione.

Wykład6i7

Niepewnośćwynikówpomiarów

1.Wprowadzenie

Wynik pomiaru zawsze róŜni się od wartości rzeczywistej. RóŜnicę między wartością

zmierzoną a rzeczywistą nazywa się błędem pomiaru. Z metrologicznego punktu widzenia

wartość rzeczywista nigdy nie moŜe być określona. Zwiększając dokładność pomiarów

moŜna się tylko do niej zbliŜyć. Dlatego w metrologii zamiast określenia „wartość

rzeczywista” uŜywa się pojęcia „wartość prawdziwa”. Wartością prawdziwąX p nazywa się

wartość zbliŜoną do wartości rzeczywistej z takmałym błędem, Ŝe w porównaniu z błędem

pomiaru moŜna go pominąć. Błąd pomiaru ma zawsze konkretną wartość liczbową i znak.

Błąd moŜna wyznaczyć przez porównanie danego wyniku pomiaru ze znacznie

dokładniejszymwynikiempomiaru(wartościąprawdziwą)uzyskanymdokładniejsząmetodą

przyuŜyciudokładniejszejaparaturypomiarowej.PoniewaŜwartośćprawdziwaróŜnisięod

wartości rzeczywistej, zmierzony błąd moŜe równieŜ róŜnić się od błędu rzeczywistego.

Znając wartość błędu pomiaru moŜna go wyeliminować z wyniku pomiaru w postaci

poprawki. Wprowadzenie do wyniku pomiaru poprawki nie eliminuje całkowicie błędu

pomiaru.Zawszepozostaniejakaścząstka,którejwartościniestetynieznamy.MoŜnajedynie

oszacowaćnaodpowiednimpoziomieufnościgranice,wktórychten błądsięmieści.Te

granice błędów określa niepewność wyniku pomiaru. Słowo „niepewność” oznacza

„wątpliwość” i stąd „niepewność pomiaru” oznacza wątpliwość odnośnie wartości wyniku

pomiaru. Definicja formalna niepewności pomiaru podana w międzynarodowym słowniku

podstawowych i ogólnych terminów metrologii [14] i przywołana w międzynarodowym

przewodnikudowyraŜenianiepewnościpomiaru[15]jestnastępująca:

„niepewnośćpomiaru–parametr,związanyzwynikiempomiaru,charakteryzującyrozrzut

wartości,któremoŜnawuzasadnionysposóbprzypisaćwielkościmierzonej”.

Ta definicja niepewności jest mało precyzyjna. Wyjaśnia to w przypisach prof.

J.Jaworski tłumacz polskiego wydania przewodnika do wyraŜenia niepewności pomiaru

[15]. Dla pomiaru obarczonego tylko błędem systematycznym (a takie pomiary są

powszechne)nieotrzymujesięŜadnegorozrzutu.Wrozdziale3.3tegoprzewodnikaczytamy:

„Niepewność pomiaru obrazuje brak dokładnej znajomości wartości wielkości mierzonej.

WynikpomiarupokorekcjirozpoznanychdokładnościsystematycznychpozostajewciąŜtylko

estymatą wartości wielkości mierzonej, a to z powodu niedoskonałości wynikającej z

oddziaływańprzypadkowychiniedoskonałejkorekcjioddziaływańsystematycznych”

Niepewność pomiaru U(X) jest parametrem określającym z załoŜonym

prawdopodobieństwem granice przedziału, w którym znajduje się nieznana wartość

rzeczywista mierzonej wielkości X, czyli wartość prawdziwa

X p

( )

= , gdzie X jest

surowymwynikiempomiaru.Wymaganiepodawaniawynikuwrazzjegoniepewnościąjest

jednym z najistotniejszych wymagań metrologicznych. Wynik pomiaru, dla którego podano

niepewność staje się wynikiem wiarygodnym, gdyŜ informuje on o przedziale wartości

− , w którym z określonym prawdopodobieństwem znajduje się

prawdziwawartośćmierzonejwielkościX p .

WynikpomiaruX,dlaktóregoniesąznanegraniceprzedziałuwartości,wktórychmieści

się wartość rzeczywista, czyli nieznana jest niepewność wyniku pomiaru, jest wynikiem

surowym i nie ma wartości metrologicznej. Na podstawie takiego wyniku nie moŜna

wyciągnąć wniosków o parametrach danego obiektu, właściwościach materiałów, czy

zjawiskachfizycznych.

Wśród technologów moŜna spotkać się z poglądami niedoceniającymi znaczenie

niepewności pomiarów. Wynika ono z faktu, Ŝe dla badań technologicznych często

wystarczające są zmiany danego parametru materiału, a nie jego wartości. Dla porównania

charakteru zmian badanej wielkości w wielu publikacjach zamieszcza się wykresy z

jednostkamiumownymi,nicniewspominająco niepewnościachprzedstawionychwyników.

W badaniach porównawczych błędy systematyczne mogą nie mieć wpływu na przebieg

badanej charakterystyki, ale pod warunkiem, Ŝe wartości tych błędów są stałe w zakresie

mierzonychwartości.Wrzeczywistościtakistały charaktermoŜnemieć tylkoczęśćbłędów

systematycznych np. metody pomiaru. Natomiast błędy systematyczne przyrządów

pomiarowychzmieniająsięwrazzezmianąwskazańizmianąwarunkówśrodowiskowych,w

których znajduje się aparatura pomiarowa. Pogląd, Ŝe w badaniach materiałowych

niepewnośćpomiarujestnieistotnajestzapewneniesłuszny.

W badaniach materiałowych istotny wpływ na wynik pomiarów ma niestabilność

właściwości badanego materiału. Ujawnia się to szczególnie przy badaniach właściwości

elektrycznychdielektryków.Niepewnościpomiarówstądwynikającemogąmiećdecydujący

wpływ na całkowitą niepewność pomiaru. Stosując dokładne przyrządy pomiarowe o duŜej

rozdzielczości obserwuje się duŜą niestabilność wskazań, która decyduje o dokładności

odczytu. Niedokładność odczytu moŜe być więc znacznie większa niŜ niedokładność

podstawowaprzyrządu.

Wspomniany juŜ przewodnik do wyraŜania niepewności wydany przez ISO, a

opracowany przez kilka międzynarodowych organizacji metrologicznych, na czele z

Międzynarodowym Biurem Miar [13], ma charakter ogólny, ale ukierunkowany jest na

pomiary bardzo dokładne, wykonywane najczęściej w urzędach miar. W pomiarach tych

poszczególne składowe niepewności mają niewielkie porównywalne wartości. Obliczanie

niepewności pomiarów w tych warunkach staje się bardzo pracochłonne. Nie stanowi to

jednak problemu, gdyŜ z natury pomiary te są bardzo kosztowne. Natomiast szacowanie

niepewności pomiarów przemysłowych metodami podawanymi we wspomnianym

przewodniku powoduje znaczący wzrost kosztów badań. Ze względu na stosunkowo małą

dokładnośćtychpomiarówmoŜnastosowaćmniejpracochłonneproceduryuproszczone.

Na temat szacowania niepewności pomiarów ukazało się w ostatnich kilku latach wiele

publikacji równieŜ w języku polskim, m.in. [1,2,3,4,11,12,16]. Wszystkie one bazują na

wspomnianym przewodniku wydanym przez ISO i mają charakter ogólny. Cennym

uzupełnieniem tych prac jest ksiąŜka prof. T. Skubisa [10] zawierająca przykłady

opracowywaniawynikówpomiarówwrazzichniepewnością.

Norma PNENISO/IEC 17025:2000 [17] dotycząca kompetencji laboratoriów

badawczychiwzorcującychwymagapodawaniawświadectwachwzorcowanianiepewności

pomiarów, a w sprawozdaniach z badań stwierdzeń, gdy ma to zastosowanie, dotyczących

oszacowanej niepewności pomiarów. Szacowanie niepewności pomiarów jest czynnością

niełatwą, a brak jest przystępnych szczegółowych opracowań literaturowych na ten temat.

Autor tej pracy we wcześniejszych swoich publikacjach starał się przybliŜyć problem

szacowania niepewności w laboratoriach badawczych, zwłaszcza materiałów

elektrotechnicznych [5÷9]. Ten rozdział poświęcony jest równieŜ tej tematyce z

(

)

≤

(

)

ukierunkowaniem na szacowanie niepewności pomiarów rezystywności skrośnej i

powierzchniowejorazprzenikalnościelektrycznejiwspółczynnikastratdielektrycznych.

2.Źródłaniepewnościpomiarów

Niepewność pomiaru ma zawsze charakter losowy. Jest to parametr charakteryzujący

rozrzut wartości, które moŜna przypisać wielkości mierzonej. Takim parametrem moŜe być

odchylenie standardowe lub jego wielokrotność albo połowa szerokości przedziału

odpowiadającaokreślonemupoziomowiufności.Niepewnośćpomiaruzawieranaogółwiele

składników. Niektóre z nich moŜna wyznaczyć na podstawie rozkładu statystycznego

wynikówszeregupomiarów.Inne,któremogąbyćrównieŜscharakteryzowaneodchyleniami

standardowymi, szacuje się na podstawie zakładanych rozkładów prawdopodobieństwa,

opartychnaposiadanymdoświadczeniulubinnychinformacjach.Przyjmujesię,Ŝewszystkie

składniki niepewności włącznie z tymi, które pochodzą od efektów systematycznych

wnosząswójudziałdorozrzutu.

Istniejewieleprzyczynniepewnościpomiarów.NajwaŜniejszeznichto:

a)niepełnadefinicjawielkościmierzonejijejniedoskonałarealizacjawpostaci

uproszczonegomodelu,

b)niewyeliminowaniebłędówsystematycznychzpowodunieznajomościichwartości,

c)sposóbpobieraniapróbekmierzonapróbkamoŜeniereprezentowaćwartościwielkości

mierzonej,

d)niepełnaznajomośćwpływuotoczenianaprocedurępomiarowąlubniedoskonałypomiar

parametrówwarunkówotoczenia,

e)subiektywnybłądodczytywaniawskazaniaprzyrządówanalogowych,

f)błądodczytuwskazańprzyrządówcyfrowychspowodowanyrozdzielczościąlub

niestabilnościąwskazań,adlaukładówrealizującychzerowemetodypomiarowepróg

pobudliwości,

g)wartościprzypisanewzorcomlubmateriałomodniesienia,

h)wartościstałychiinnychparametrówotrzymywanychzeźródełzewnętrznych

istosowanychwalgorytmieprzetwarzaniadanych,

i)przybliŜeniaizałoŜeniawynikającezmetodypomiarowejizprocedurybadawczej,

j)zmianywpowtarzanychobserwacjachwielkościmierzonejwpozornieidentycznych

warunkach.

Parametrem charakteryzującym wartość liczbową niepewności jest odchylenie

standardowe lub jego nieobciąŜony estymator. W przewodniku ISO dotyczącym wyraŜania

niepewnościpomiaru[14,15]rozróŜniasięniepewność:

1)standardową(ang.:standarduncertainty),równąodchyleniustandardowemu,

2) standardowązłoŜoną(ang.:combinedstandarduncertainty)będącąrównieŜparametrem

charakterystycznymrozkładuprawdopodobieństwa,któryjestsplotemrozkładów

składowych,

3) rozszerzoną(ang.:expandeduncertainty),którajestwielokrotnościąniepewności

standardowej.

NiepewnośćstandardowazłoŜonamoŜezawieraćwieleskładowychniepewności.Jednez

nichmoŜnaokreślićnapodstawieotrzymanegorozrzutuwynikówseriipomiarów,obliczając

estymatory odchyleń standardowych. Inne, których nie moŜna ocenić na podstawie rozrzutu

wyników, na przykład wynikające z niedokładności aparatury pomiarowej i stosowanych

metod jak i modeli zastępczych, ocenia się równieŜ za pomocą przewidywanych rozkładów

prawdopodobieństwa.

Przyjmującjakokryteriumpodziałuniepewnościsposóbichwyznaczania,dzielisięje

nadwiekategorie:

•typuAwyznaczanezapomocąmetodstatystycznych,

•typuBwyznaczanezapomocąinnychmetod.

3.NiepewnośćstandardowatypuA

NiepewnośćtypuAmoŜnaoszacować,jeŜelitensampomiarwykonujesięwielokrotnie

wtychsamychwarunkach.OtrzymujesięwówczasnwynikówowartościachX i (i=1,2,....n).

wynikiteukładająsięnajczęściejwrozkładzbliŜonydonormalnegopokazanegonarys.7.1.

Rys.7.1.Rozkładnormalny(Gaussa)gęstościprawdopodobieństwaf(X)wfunkcjizmiennej

losowejciągłejX

Gęstościprawdopodobieństwarozkładunormalnegoopisujefunkcja:

−

( )

exp

−

dla∞<X<+∞,

(1)

wktórejσ odchyleniestandardowezmiennejlosowejciągłej, wartośćoczekiwana.

Pole pod krzywą f(X) jest proporcjonalne do prawdopodobieństwa. Rozkład normalny

Gaussamanastępującecharakterystycznecechy:

• jestsymetrycznywzględemwartościoczekiwanej,

• gęstość prawdopodobieństwa jest największa w najbliŜszym otoczeniu wartości

oczekiwanej,

• prawdopodobieństwowystąpieniazmiennejlosowejwcharakterystycznychprzedziałachw

otoczeniuwartościoczekiwanejwynoszą:

P( σ ≤X≤ +σ)=0,6826 (68,26%)

P( 2σ ≤X≤ +2σ)=0,9544 (95,44%)

P( 3σ ≤X≤ +3σ)=0,9973 (99,73%)

P( 4σ ≤X≤ +4σ)=0,99994 (99,994%).

Wpraktycewynikipomiarówprzyjmująskończonąokreślonąwartośćifunkcjagęstości

rozkładuprawdopodobieństwaprzyjmujewartościzokreślonychprzedziałów(nieciągłe),tak

jakpokazanotonarys.7.2.

Rys.7.2.Empirycznyrozkład(histogram)gęstościprawdopodobieństwaf(X)wfunkcji

zmiennejlosowejnieciągłejX

Wempirycznymrozkładziewartościąoczekiwaną jestwartośćśrednia

∑

Odchylenie standardowe σ zmiennej losowej ciągłej zastąpione jest tu odchyleniem

standardowym wartości średniej s X

A j

∑ =

( )

( 1

−

( )

(

)

(2)

−

wktórymnjestliczbąpowtórzonychpomiarów.

Przy szacowaniu niepewności typu B wykorzystuje się wszystkie dostępne informacje o

czynnikach mogących mieć wpływ na niepewność pomiaru, a więc dane z wcześniejszych

pomiarów,właściwościprzyrządówimateriałów,informacjepodaneprzezproducenta,dane

uzyskane w czasie kalibracji, a takŜe niepewności przypisane danym odniesienia wzięte z

literatury.

JeŜeli błędy systematyczne przyrządów pomiarowych nie zwiększają niepewności

pomiaru ponad dopuszczalne granice, to nie muszą być eliminowane przez wprowadzanie

poprawek. Wówczas naleŜy przyjąć niepewność wskazań przyrządów na podstawie znanej

niedokładności przyrządu, np. klasy lub błędu podstawowego. MoŜna załoŜyć, Ŝe rozkład

moŜliwychbłędówwskazańjestrównomierny(prostokątny)ijeŜeliniedokładnośćgraniczna

4.NiepewnośćstandardowatypuB

( ) . Wartość tego odchylenia jest niepewnością

standardowątypuA,którąobliczasięzewzoru

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: