Wyklad1A.pdf

UDA-PO KL.04.01.01-00-082 / 08-00 Pomorski Port Edukacji i Praktyki - Program Rozwoju

Wy»szej Szkoły Bankowej w Gda«sku

Wykład 1A

KOMBINATORYKA

• Permutacj¡ zbioru sko«czonego nazywamy ka»de ustawienie wszystkich jego elementów

w dowolnej kolejno±ci.

Jest n ! permutacji zbioru n-elementowego.

Dla naturalnych warto±ci n okre±lamy:

1! = 1

2! = 1 · 2 = 2

3! = 1 · 2 · 3 = 6

4! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24

···

n ! = 1 · 2 · ... · n .

Ponadto przyjmujemy 0! = 1

Przykład

1. Na ile sposobów mo»na ustawi¢ w kolejce 5 osób?

Na 5! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 = 120 sposobów.

2. Ile mo»na utworzy¢ liczb czterocyfrowych wykorzystuj¡c wszystkie cyfry liczby 3425?

Takich liczb jest 4! = 24.

3. Czterna±cie osób jadało codziennie obiady przy podłu»nym stole. Wszyscy zajmowali zawsze

te same miejsca. Pewnego dnia najmłodszy z uczestników, wyst¡pił z propozycj¡, aby miejca

zajmowa¢ za ka»dym razem inaczej, a» do wyczerpania wszystkich mo»liwych rozmieszcze«. Jak

s¡dzisz, ile tygodni czy lat b¦dzie trwało wyczerpywanie wszystkich mo»liwo±ci?

• Reguła mno»enia Je»eli pewien wybór zale»y od sko«czenie wielu decyzji, przy czym

podejmuj¡c pierwsz¡ decyzj¦ mamy n 1 mo»liwo±ci, drug¡ - n 2 mo»liwo±ci, ··· , ostatni¡ n k

mo»liwo±ci, to wybór ten mo»e by¢ dokonany na n 1 × n 2 × ... × n k sposobów.

Przykład

1. Na ile sposobów mo»na ustawi¢ w kolejce 5 dziewczyn i 4 chłopaków, je»eli dziewczyny stoj¡

przed chłopakami?

Na 5! × 4! = 120 · 24 = 2880 sposobów.

2. ”Milion zestawów obiadowych” - głosi reklama pewnej restauracji. W rzeczywisto±ci jest tam

tylko 12 zup, 20 drugich da«, 10 przystawek, 20 deserów i 25 gatunków win. Czy masz prawo

czu¢ si¦ oszukany?

————————

• Ka»dy k -wyrazowy ci¡g, utworzony z ró»nych elementów n -elementowego zbioru A , gdzie

k n , nazywamy wariacj¡ bez powtórze« zbioru A .

Liczba wszystkich k -elementowych wariacji bez powtórze« jest równa

n !

( n − k )!

V n = n · ( n − 1) · ... · ( n − k + 1) =

Przykład

1. Pewien kod tworzymy z trzech liter wybranych spo±ród nast¦puj¡cych: A,B,C,D,E,F,G,H,

przy czym litery nie mog¡ si¦ powtarza¢. Ile jest takich kodów?

Na pierwszym miejscu mo»emy wpisa¢ jedn¡ z o±miu liter, na drugim - jedn¡ z pozostałych

siedmiu, a na trzecim jedn¡ z pozostałych sze±ciu. Zatem jest 8 · 7 · 6 = 336 kodów.

2. W sali wykładowej jest 100 miejsc. Na ile sposobów mog¡ zaj¡¢ miejsca 3 słuchacze?

Na 100 · 99 · 98 = 970200 sposoby.

3. Ile mo»na utworzy¢ siedmiocyfrowych numerów telefonicznych rozpoczynaj¡cych si¦ od 701,

w których »adna cyfra nie b¦dzie si¦ powtarzała?

• Ka»dy k -wyrazowy ci¡g, w którym wyrazy mog¡ si¦ powtarza¢, utworzony z elementów

n -elementowego zbioru A , gdzie k n , nazywamy wariacj¡ z powtórzeniami zbioru A .

Liczba wszystkich k -elementowych wariacji z powtórzeniami zbioru n -elementowego jest

równa

W n = n k

Przykład

1. Pewien kod tworzymy z pi¦ciu liter wybranych spo±ród nast¦puj¡cych: A,B,C,D,E,F,G,H,

przy czym litery mog¡ si¦ powtarza¢. Ile jest takich kodów?

Jest 8 5 = 32768 takich kodów.

2. Ile mo»na utworzy¢ sze±ciocyfrowych numerów telefonicznych rozpoczynaj¡cych si¦ od 68, w

których cyfry mog¡ si¦ powtarza¢?

Jest 10 4 = 10000 takich numerów.

3. Ile jest wszystkich siedmiocyfrowych numerów telefonicznych, w których nie wyst¦puje cyfra

• Ka»dy k -elementowy podzbiór zbioru n -elementowego A ( k n ) nazywamy k -elementow¡

kombinacj¡ tego zbioru.

Liczba wszystkich k -elementowych kombinacji zbioru n -elementowego jest równa

n !

k !( n − k )!

C n =

Przykład

1. W turnieju szachowym brało udział pi¦ciu zawodników. Ile partii rozegrano, je»eli ka»dy z

uczestników rozegrał jedn¡ parti¦ z ka»dym z pozostałych?

Rozegrano 2

2! · (5 − 2)!

2! · 3!

4 · 5

2 = 10 partii.

2. Na egzaminie student wybiera 4 pytania spo±ród 6. Na ile sposobów mo»e to zrobi¢?

Mo»e to zrobi¢ na 4

4! · 2!

5 · 6

2 = 15 sposobów.

3. W Du»ym Lotku nale»y skre±li¢ 6 spo±ród 49 liczb.Sprawd¹, czy liczba mo»liwych wyborów

jest wi¦ksza od

10 000 000.

ZADANIA

1. Ile mo»na wykona¢ ró»nych trójkolorowych chor¡giewek w podłu»ne pasy maj¡c do dyspo-

zycji cztery kolory papieru ?

2. Do klubu golfowego nale»y 20 m¦»czyzn i 10 kobiet. Członkowie klubu wybieraj¡ przewod-

nicz¡cego, wiceprzewodnicz¡cego i sekretarza. Na ile sposobów mog¡ to zrobi¢, je±li ma by¢

wybrana przynajmniej jedna kobieta?

Na ile sposobów mo»na podzieli¢ 12-osobowy zast¦p harcerzy na

a) dwie grupy licz¡ce 7 i 5 harcerzy,

b) trzy grupy licz¡ce 5, 4 i 3 harcerzy ?

4. Do windy zatrzymuj¡cej si¦ na 8 pi¦trach wsiadły 3 osoby. Obliczy¢, na ile sposobów osoby

te mog¡

a) opu±ci¢ wind¦,

b) wysi¡±¢ na ró»nych pi¦trach,

Spotyka si¦ 10 osób jednocze±nie i ka»da si¦ z pozostałymi. Ile b¦dzie ró»nych powita« ?

6. Na płaszczy¹nie danych jest 12 punktów, z których »adne trzy nie s¡ współliniowe. Ile

ró»nych prostych mo»na poprowadzi¢ przez te punkty ?

7. Ile ró»nych słów (maj¡cych sens lub nie) mo»na utworzy¢ przestawiaj¡c w dowolny sposób

litery w wyrazie

a) MAMA

b) WARSZAWA ?

8. Na ile sposobów mo»na umie±ci¢ 10 kulek w 10 szuﬂadach tak, aby ka»da szuﬂada była

zaj¦ta (kule i szuﬂady rozró»niamy)?

9. Ilu zawodników brało udział w turnieju szachowym je»eli wiadomo, »e rozegrano 28 partii ?

10.

Ile jest liczb pi¦ciocyfrowych, które nie zmieniaj¡ si¦ czytane od ko«ca?

ZDARZENIA LOSOWE

• Rzut monet¡ czy rzut kostk¡ to przykład do±wiadcze« losowych. Poszczególne wyniki do-

±wiadczenia losowego nazywamy zdarzeniami elementarnymi , a ich zbiór - przestrze-

ni¡ zdarze« elementarnych . Przestrze« zdarze« elementarnych oznaczamy greck¡ liter¡

omega - , a pojedyncze zdarzenia elementarne mał¡ liter¡ ! .

Przykład

1. Przestrze« zdarze« elementarnych rzutu monet¡ = { o,r } , gdzie o - oznacza otrzymanie

orła, a r - reszki.

2. Przestrze« zdarze« elementarnych rzutu kostk¡ = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } .

• Zdarzeniem losowym nazywamy dowolny podzbiór przestrzeni zdarze« elementarnych

Przykład

Do±wiadczenie losowe polega na jednokrotnym rzucie kostk¡.

Przestrze« zdarze« elementarnych = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } .

Niech A b¦dzie zdarzeniem polegaj¡cym na wypadni¦ciu parzystej liczby oczek, a B - liczby

oczek wi¦kszej od 4. Wówczas A = { 2 , 4 , 6 } , B = { 5 , 6 } .

• Zbiór pusty nazywamy zdarzeniem niemo»liwym , cały zbiór nazywamy zdarzeniem

pewnym . Elementy zdarzenia A nazywamy wynikami sprzyjaj¡cymi zdarzeniu A .

Poniewa» zdarzenia to zbiory, wi¦c na zdarzeniach mo»emy wykonywa¢ takie same operacje

jak na zbiorach.

Niech A,B .

• Sum¡ zdarze« A i B nazywamy zdarzenie A [ B , któremu sprzyjaj¡ wszystkie zdarzenia

elementarne sprzyjaj¡ce A lub B .

• Iloczynem zdarze« A i B nazywamy zdarzenie A \ B , któremu sprzyjaj¡ wszystkie zda-

rzenia elementarne sprzyjaj¡ce jednocze±nie A i B .

• Ró»nic¡ zdarze« A i B nazywamy zdarzenie A \ B , któremu sprzyjaj¡ wszystkie zdarzenia

elementarne sprzyjaj¡ce A i niesprzyjaj¡ce B .

• Mówimy, »e zdarzenia A i B s¡ rozł¡czne lub wykluczaj¡ si¦ , je»eli cz¦±¢ wspólna A \ B

tych zdarze« jest zdarzeniem niemo»liwym ( A \ B = ; )

• Zdarzenie A 0 = \ A nazywamy zdarzeniem przeciwnym do zdarzenia A .

• Je±li wszystkie elementy zdarzenia A nale»¡ do zdarzenia B , to mówimy, »e zdarzenie A

zawiera si¦ w zdarzeniu B , co zapisujemy A B .

Przykład

Rzucamy kolejno trzy razy monet¡. Wypisz wyniki sprzyjaj¡ce ka»demu z poni»szych zdarze«:

A - reszka wypadła dokładnie dwa razy,

B - orzeł wypadł co najwy»ej raz,

C - co najmniej raz wypadła reszka,

D - wypadły same orły,

E - wypadło wi¦cej orłów ni» reszek.

Wska» pary zdarze« wykluczaj¡cych si¦ oraz pary zdarze« przeciwnych.

Przykład

Z urny, w której s¡ trzy kule ponumerowane: 12, 13 i 14, losujemy bez zwracania dwie kule.

Które z poni»szych zdarze« jest zdarzeniem pewnym, a które niemo»liwym:

A - dwie z wylosowanych liczb s¡ nieparzyste,

B - suma wylosowanych liczb jest liczb¡ pierwsz¡,

C - suma wylosowanych liczb jest równa co najwy»ej 24,

D - jedna z wylosowanych liczb jest parzysta.

PRAWDOPODOBIESTWO

Prawdopodobie«stwo klasyczne

• Klasyczna deﬁnicja prawdopodobie«stwa .

Załó»my, »e w pewnym do±wiadczeniu losowym jest sko«czona liczba wyników i wszystkie

wyniki s¡ jednakowo prawdopodobne. Wówczas prawdopodobie«stwo zdarzenia A

okre±lamy wzorem:

P ( A ) = liczba wynikw sprzyjajcych A

liczba wynikw moliwych

Przykład

1. Rzucamy symetryczn¡ kostk¡. Jakie jest prawdopodobie«stwo wypadni¦ciaparzystej liczby

oczek, a jakie – liczby oczek wi¦kszej od dwóch?

2. Rzucamy dwukrotnie symetryczn¡ kostk¡. Jakie jest prawdopodobie«stwo otrzymania sumy

oczek mniejszej od 5, a jakie parzystej sumy oczek?

———————————

Prawdopodobie«stwo na przeliczalnej przestrzeni zdarze«.

• Pewn¡ kostk¦ poddano testowi - wykonano dług¡ seri¦ rzutów. Rezultaty testu przedsta-

wiono w tabeli - podano w niej ( wprocentach), jak cz¦sto pojawiał si¦ dany wynik - liczba

oczek.

Liczba oczek

Cz¦sto±¢ wyst¦powania

12,5%

25%

12,5%

25%

Zwró¢ uwag¦, »e nie wszystkie wyniki wyst¦puj¡ równie cz¦sto. Sugeruje to, aby przyj¡¢ dla tej

kostki nast¦puj¡ce prawdopodobie«stwa pojawiania si¦ danej liczby oczek.

Liczba oczek

Cz¦sto±¢ wyst¦powania

W powy»szej tabeli podano rozkład prawdopodobie«stwa pojawienia si¦ danej liczby oczek w

rzucie kostk¡.

• Rozkład prawdopodobie«stwa Niech = { ! 1 ,! 2 ,...,! n ,... } b¦dzie zbiorem wszyst-

kich wyników pewnego do±wiadczenia losowego. Ka»demu wynikowi ! i przypisujemy nie-

ujemn¡ liczb¦ p i tak, aby spełniony był warunek:

p 1 + p 2 + ... + p n + ... = 1 .

Liczb¦ p i nazywamy prawdopodobie«stwem zdarzenia elementarnego ! i oraz mówimy, »e

na przestrzeni został okre±lony rozkład prawdopodobie«stwa .

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: