analiza matematyczna.pdf
(
113 KB
)
Pobierz
440809697 UNPDF
ANALIZAMATEMATYCZNAAdlaIroku,2004/2005
9-10.Funkcje:granica,ci¡gło±¢,
własno±¢Darboux,twierdzenieWeierstrassa.
Wykład:2,6,9,13.12.2004
wiczenia:9,16.12.2004
Kolokwiumnr8:13.12.2004(jednozadaniezfunkcjiijednopowtórzeniowe)
Kolokwiumnr9:20.12.2004(jednozadaniezfunkcjiijednopowtórzeniowe)
Kolokwiumnr10:3.01.2005(powtórzeniowe)
Zadania(dosamodzielnegorozwi¡zaniaiomówieniana¢wi-
czeniach)
Dopodanych
f
,
x
0
i
"
dobra´ctakie
,aby
8
x
2
(
x
0
−
,x
0
+
)
|
f
(
x
)
−
f
(
x
0
)
|
<"
393.
f
(
x
)=2
x
,
x
0
=5,
"
=1
/
10
394.
f
(
x
)=1
/x
,
x
0
=4,
"
=1
/
100
395.
f
(
x
)=
x
2
,
x
0
=1,
"
=1
/
50
396.
f
(
x
)=
x
3
,
x
0
=0,
"
=1
/
1000
397.
f
(
x
)=
p
x
,
x
0
=30,
"
=1
/
10
398.
f
(
x
)=
x
4
,
x
0
=10,
"
=10
−
10
Postarajsi¦zrozumie¢sensponi»szychwarunków(niektóreniemaj¡
zbytgł¦bokiegosensu),gdzie
f
jestfunkcj¡,a
"
,
x
,
y
i
z
przebiegaj¡
liczbyrzeczywiste,natyle,abystwierdzi¢,czyfunkcjedanewzorami
x
2
,
sin
x
,
x
+7,
x
4
+16,2
x
jespełniaj¡.
399.
9
x
f
(
x
)
>x
400.
8
x
9
y
8
z
f
(
x
)+
f
(
y
)=
z
401.
8
x
8
z
9
y
f
(
x
)+
f
(
y
)=
z
402.
8
x
9
">
0
8
x
f
(
x
)
>"
404.
9
x
8
">
0
f
(
x
)
>"
">
0
9
x
f
(
x
)
>"
406.
8
">
0
9
x
|
f
(
x
)
|
<"
407.
9
">
0
9
x
f
(
x
)=
"
">
0
9
x
8
y
f
(
x
)+
f
(
y
)
6
=
"
409.
8
>
0
8
x>
f
(
x
)=
+
"
Oszustwo
410.
(przykładfunkcjinieci¡głej):Funkcja
f
(
x
)=
x
2
jest
nieci¡gła.
37
">
0
f
(
x
)
>"
403.
9
405.
8
408.
8
">
0
9
JarosławWróblewski
Dowód:
Przeprowadzimydowódniewprost.Zakładaj¡c,»efunkcja
f
jestci¡gła,we¹mywdefinicjiCauchy’egoci¡gło±ci
"
=1.Wtedyistnieje
takie
>
0,»edla
y
spełniaj¡cychnierówno±¢
|
y
−
x
|
<
zachodzi
|
x
2
−
y
2
|
<
1.
Jednaktaostatnianierówno±¢niezawszejestprawdziwa,gdy»dla
x>
1
i
y
=
x
+
2
otrzymujemy
|
x
2
−
y
2
|
=
x
+
2
4
>
1.
2
Oszustwo
411.
(przykładfunkcjici¡głej):Funkcja
sin
1
x
dla
x
6
=0
0dla
x
=0
f
(
x
)=
jestci¡gła.
Dowód:
Oczywi±cie
f
jestci¡gławka»dympunkcieoprócz0,po-
zostajewi¦cwykaza¢ci¡gło±¢w0.Przeprowadzimydowódniewprost.
Zakładaj¡c,»e
f
jestnieci¡gław0,we¹my
"
=
1
2
.Wtedyistniejetakie
>
0,»edla
x
spełniaj¡cychnierówno±¢
|
x
|
<
zachodzi
|
f
(
x
)
−
0
|
1
2
.
Alebior¡c
x
=
1
n
,gdzie
n>
1
,otrzymujemy
f
(
x
)=0i
|
x
|
<
.Za-
tem
|
f
(
x
)
−
0
|
=0
<
1
2
,sk¡dsprzeczno±¢.
2
Obliczy¢nast¦puj¡cegranice:
412.
lim
x
!
7
(
1
x
−
7
−
8
x
2
−
6
x
−
7
)
413.
lim
x
!
0
x
sin
1
x
414.
lim
x
!
0
e
−
1
/x
2
p
x
−
2
415.
lim
x
!
4
x
−
4
416.
lim
x
−
3
x
+2
x
!
3
417.
lim
x
!
5
x
2
−
6
x
+5
x
−
5
418.
lim
x
!
1
(
1
1
−
x
−
3
1
−
x
3
)
419.
lim
x
!
1
x
10
−
1
420.
lim
x
!
1
/
2
6
x
2
−
5
x
+1
421.
lim
8
x
3
−
1
x
3
+3
x
2
+2
x
x
2
−
x
−
6
x
!−
2
x
−
p
x
(
x
−
1)
p
2
−
x
x
−
p
x
x
+
p
x
422.
lim
x
!
0
p
x
423.
lim
x
!
1
x
2
−
1
424.
lim
x
!
+
1
2
1
/x
+1
2
1
/x
−
1
Znale¹¢dziedzin¦orazpunktyci¡gło±ciinieci¡gło±cifunkcji
f
,je±li
f
(
x
)danejestwzorem:
429.
sgn(sin
x
)
430.
{
x
}−
(
{
x
}
)
2
p
x
2
+1
426.
lim
x
1+
ln
x
427.
lim
ln
x
2
1
/x
−
1
428.
lim
x
!
0+
x
!
0+
x
!
0
−
38
x
1993
−
1
425.
lim
x
!−1
2
1
/x
+1
ANALIZAMATEMATYCZNAAdlaIroku,2004/2005
8
>
>
>
<
0 dla
x<
0
x
dla0
¬
x<
1
−
x
2
+4
x
−
2dla1
¬
x<
3
4
−
x
dla
x
3
431.
f
(
x
)=
>
>
>
:
x
dla
x
6
=2
sgn(
x
)dla
x
=2
432.
f
(
x
)=
x
2
−
1
434.
sgn(
x
3
−
x
)
435.
[
x
]
−
[
3
p
x
]
436.
x
3
sgn(
x
)
437.
1
433.
x
3
−
1
p
x
2
+4
x
+4+1
438.
[
x
]
439.
[
x
2
]
440.
{
log
2
x
}
441.
1
h
x
+
1
2
i
{
x
}
442.
−
x
Oszustwo
443.
Niech
f,g
:[0
,
1]
−!
[0
,
1]b¦d¡takimifunkcjamici¡-
głymi,»e
f
(0)=5,
f
(1)=7,
g
(0)=8,
g
(1)=4.Wtedyistniejetakie
c
2
(0
,
1),»e
f
(
c
)=
g
(
c
).
Dowód:
Zwłasno±ciDarbouxfunkcjici¡głychzastosowanejdofunkcji
f
wynika,»edlapewnego
c
2
(0
,
1)mamy
f
(
c
)=6.Podobniestosuj¡c
własno±¢Darbouxdofunkcji
g
otrzymujemy
g
(
c
)=6.Azatem
f
(
c
)=
g
(
c
),conale»ałodowie±¢.
2
11.Pochodnafunkcji.
Wykład:16,20.12.2004
wiczenia:6.01.2005
Kolokwiumnr11:10.01.2005(tylkopochodne)
444.
Niech
f
(
x
)=
3
p
x
2
.Korzystaj¡c
zdefinicji
pochodnejobliczy¢
f
0
(8).
445.
Niech
f
(
x
)=
x
5
.Korzystaj¡c
zdefinicji
pochodnejwyprowa-
dzi¢wzórna
f
0
(
x
).
Obliczy¢pochodn¡funkcjizmiennej
x
opodanymwzorze.Poda¢,w
jakimzbiorzeistniejepochodna.
446.
3
x
2
−
5
x
+1
447.
(
p
x
+1)(
1
p
x
−
1)
448.
1
−
x
3
1+
x
3
39
JarosławWróblewski
449.
(1+
p
x
)(1+
x
1
/
3
)(1+
x
1
/
4
)
450.
(
x
2
+1)
4
451.
x
+1
x
−
1
452.
x
x
2
+1
453.
(1+2
x
)
30
454.
(
1
1+
x
2
)
1
/
3
p
1
−
x
4
−
x
8
456.
2
x
+3
457.
x
10
x
458.
x
e
x
459.
x
2
(
x
+1)
e
x
460.
e
x
ln
x
461.
ln
x
e
x
462.
e
x
2
463.
x
10
ln
x
464.
e
e
x
465.
lnln
x
466.
log
10
(
x
−
1)
467.
10
2
x
−
3
468.
2
3
x
469.
log
2
|
log
3
(log
5
x
)
|
470.
e
p
x
474.
(ln
x
)
x
475.
e
−
x
2
ln
x
476.
(
p
x
+
1
p
x
)
10
477.
x
5
(
x
6
−
8)
1
/
3
478.
e
2
x
+3
(
x
2
−
x
+
1
2
)
479.
ln
1
e
x
+
e
−
x
481.
|
x
|
482.
sgn(
x
)
483.
0dla
x<
0
,
x
2
dla
x
0
484.
e
−|
x
|
485.
1+
x
480.
e
x
2
q
p
1+
x
2
−
1
486.
{
x
}
487.
x
dla
x<
0,
x
2
dla
x
0
488.
sgn(
x
5
−
x
3
)
489.
10
x
−
e
490.
e
x
dla
x<
0,1+
x
dla
x
0
491.
x
7
+
e
2
492.
(
x
+
e
)
20
493.
e
e
Obliczy¢pochodn¡rz¦du3nast¦puj¡cychfunkcjizmiennej
x
494.
(
x
+1)
6
495.
x
6
−
4
x
3
+4
496.
1
1
−
x
497.
x
3
ln
x
498.
e
2
x
−
1
499.
cos
x
500.
(
x
2
+1)
3
501.
e
x
2
502.
ln(
x
2
)
503.
(
x
−
7)
50
Wyprowadzi¢wzórnapochodn¡rz¦du
n
funkcjidanejwzorem
504.
ln(
x
10
)
505.
x
ln
x
506.
p
x
507.
x
2
sin
x
508.
1
−
x
1+
x
509.
xe
x
510.
sin5
x
511.
x
7
512.
e
4
x
513.
x
+
1
x
514.
x
2
e
−
x
515.
sin
2
x
516.
Dowie±¢,»e(
f
(
x
)
g
(
x
))
(
n
)
=
n
P
n
k
f
(
k
)
(
x
)
g
(
n
−
k
)
(
x
).
k
=0
40
455.
1
p
ln
x
471.
x
x
2
472.
x
x
x
473.
x
Plik z chomika:
krukwik
Inne pliki z tego folderu:
Zarządzanie podstawy zarządzania.pdf
(180 KB)
zadania z matmy.pdf
(298 KB)
zadania matematyka studia.pdf
(533 KB)
Thumbs.db
(5 KB)
taryfy.pdf
(215 KB)
Inne foldery tego chomika:
angielski
Badania Marketingowe
Bankowość
Bankowość(1)
ćwiczenia
Zgłoś jeśli
naruszono regulamin