09(1).pdf

Część 2

9. STATECZNOŚĆ SPRĘŻYSTA UKŁADÓW PRĘTOWYCH

9. 

9. STATECZNOŚĆ SPRĘŻYSTA UKŁADÓW PRĘTOWYCH

9.1. Wstęp

Omówienie zagadnienia stateczności sprężystej układów prętowych należy rozpocząć od przybliżenia

problemu w sensie fizycznym. Z utratą stateczności mamy do czynienia, gdy niewielka zmiana przyczyny

powoduje bardzo dużą zmianę skutku. Idealnie sprężysty pręt przy pewnej wartości siły ściskającej zmienia w

sposób nagły swą prostoliniową postać i przyjmuje położenie wygięte, czyli pręt doznaje wyboczenia

(rys. 9.1).

Rys. 9.1. Postać wyboczenia pod wpływem działania siły osiowej

W środku rozpiętości pręta będzie występował moment jako skutek działania siły ściskającej na

pewnym mimośrodzie, na ramieniu równym wartości ugięcia tego pręta w . Odchodzimy od zasady

zesztywnienia, która zakłada, że ciała przed, jak i po odkształceniu traktowane są jak bryły sztywne,

zajmujące także po obciążeniu konfigurację pierwotną. Utrata stateczności nastąpi po osiągnięciu przez siłę

osiową pewnej wartości krytycznej, której towarzyszą dwa stany równowagi odpowiadające prostoliniowej lub

krzywoliniowej osi pręta. Oznacza to, że dalszy wzrost obciążenia może następować po dwóch ścieżkach

równowagi. Punkt w którym występuje rozdwojenie ścieżki (stanu równowagi) nazywamy punktem bifurkacji.

9.2. Wyznaczanie siły krytycznej

Analizę utraty stateczności (wyboczenia) układów prętowych dokonamy na przykładzie dowolnego

pręta (rys. 9.2), który jest dowolnie zamocowany i obciążony dowolnymi siłami. Do takiego pręta

przykładamy stałą siłę normalną (ściskającą) N .

q(x)

N N

y,w

Rys. 9.2. Pręt dowolnie obciążony poddany działaniu siły osiowej N

Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater

i k

Część 2

9. STATECZNOŚĆ SPRĘŻYSTA UKŁADÓW PRĘTOWYCH

Pod wpływem działania sił układ doznaje pewnego odkształcenia. W stanie odkształconym wycinamy z

układu mały element dx (rys 9.3) na który działają siły zarówno wewnętrzne jak i zewnętrzne.

q(x)

M+dM

N+dN

T+dT

Rys. 9.3. Nieskończenie mały element poddany działaniu sił wewnętrznych i zewnętrznych

Dla elementu dx zapisujemy warunki równowagi:

∑ Y = 0

− T  q  x  dx  T  dT = 0

q  x =− dT

(9.1)

∑ M = 0

M  q  x  dx ⋅ dx

2   T  dT  dx −  M  dM   N ⋅ dw = 0

M  q  x  dx 2

2  T ⋅ dx  dT ⋅ dx − M  dM  N ⋅ dw = 0

pomijając wartości małe wyższego rzędu oraz redukując wyrazy podobne otrzymujemy ostatecznie:

dx = T  N ⋅ dw

dx = T  N ⋅ w'

(9.2)

Ponieważ siła normalna nie ma związku z krzywizną pręta obowiązuje zależność:

EJ ⋅ d 2 w

dx 2 =− M  x 

Po zróżniczkowaniu i podstawieniu wyrażenia (9.2) otrzymujemy równanie różniczkowe osi odkształconej:

EJ ⋅ w III =− dM

dx =− T − N ⋅ w I

(9.3)

Kolejne różniczkowanie i podstawienie zależności (9.1) daje:

EJ ⋅ w IV  N ⋅ w II = q  x 

czyli

Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater

Część 2

9. STATECZNOŚĆ SPRĘŻYSTA UKŁADÓW PRĘTOWYCH

dx 2  N ⋅ d 2 w

dx 2 = q  x 

Aby rozwiązać równanie różniczkowe najpierw zajmujemy się całką ogólną rozwiązania. Rozwiązujemy

przypadek równania jednorodnego (zakładamy q  x = 0 ):

dx 2  2 ⋅ d 2 w

dx 2 = 0

(9.4)

gdzie

 2 = N

Rozwiązanie można przyjąć w postaci wielomianu:

w  x = C 0  C 1 ⋅ x  C 2 ⋅ sin  x  C 3 ⋅ cos  x

(9.5)

Na jego podstawie określimy równanie kąta obrotu

 x = tg  x = dw  x 

dx = C 1 ⋅ C 2 ⋅ cos  x −⋅ C 3 ⋅ sin  x

(9.6)

i równanie momentu zginającego

M  x =− d 2 w

dx 2 ⋅ EJ = EJ [  2 ⋅ C 2 ⋅ sin  x  2 ⋅ C 3 ⋅ cos  x ]

(9.7)

Z warunku (9.3) wyznaczymy równanie siły poprzecznej

T  x = dM  x 

dx = EJ [  3 ⋅ C 2 ⋅ cos  x − 3 ⋅ C 3 ⋅ sin  x ] − N ⋅ [ C 1 ⋅ C 2 ⋅ cos  x −⋅ C 3 ⋅ sin  x ] =

= EJ  3

[ C 2 ⋅ cos  x − C 3 ⋅ sin  x ] − N  [ C 2 ⋅ cos  x − C 3 ⋅ sin  x ] − N ⋅ C 1 =

= [ C 2 ⋅ cos  x − C 3 ⋅ sin  x ] ⋅

(9.8)

 EJ ⋅ EJ ⋅− N   − N ⋅ C 1 =− N ⋅ C 1

Stałe C i trzeba wyznaczyć na podstawie warunków brzegowych. Dalsze rozważania przeprowadzimy dla

prętów o zdefiniowanych podporach.

Przykład 1

Określenie stanu równowagi belki wolnopodpartej o jednorodnych warunkach brzegowych (rys. 9.4)

i k

N N

Rys. 9.4. Belka wolnopodparta poddana działaniu siły osiowej

Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater

EJ ⋅ d 4 w

d 4 w

dx − N ⋅ dw

Część 2

9. STATECZNOŚĆ SPRĘŻYSTA UKŁADÓW PRĘTOWYCH

Najpierw należy określić warunki brzegowe, które posłużą do wyznaczenia stałych ze wzorów (9.5), (9.6),

(9.7), (9.8):

– dla x = 0

w i = 0

M ik = 0

– dla x = l

w k = 0

M ki = 0

Korzystając z równania osi odkształconej w(x) otrzymujemy zależności:

w i  x = 0  = 0  C 0  C 3 = 0

w k  x = l   C 0  C 1 ⋅ l  C 2 ⋅ sin  l  C 3 ⋅ cos  l = 0

natomiast ze wzoru (9.7) otrzymujemy związki:

M ik  x = 0  = 0  EJ ⋅ 2 ⋅ C 3 = 0

M ki  x = l  = 0  EJ [  2 ⋅ C 2 ⋅ sin  l  2 ⋅ C 3 ⋅ cos  l ] = 0

W ten sposób otrzymaliśmy układ równań algebraicznych jednorodnych z czterema niewiadomymi C 0 , C 1 , C 2 ,

C 3 , dla którego nietrywialne rozwiązanie (trywialne rozwiązanie to C 0 = C 1 = C 2 = C 3 = 0 ) uzyskamy, gdy

wyznacznik układu będzie równy zero. Po zredukowaniu równań pierwszego i trzeciego ( C 0 = C 3 = 0 )

{ C 1 ⋅ l  C 2 ⋅ sin  l = 0

det ∣ W ∣ = det

∣ l sin  l

∣ = 0

Z przyrównania wyznacznika do zera otrzymujemy równanie charakterystyczne,

l sin  l = 0

a z niego pierwiastki, czyli wartości własne λ i . Ponieważ funkcja sin x osiąga zero dla x = nπ to:

 l = n = n 

(9.9)

gdzie n określa liczbę naturalną.

Z warunku (9.4) wiemy, że:

=

 EJ

(9.10)

Wobec tego

Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater

EJ  2 ⋅ C 2 ⋅ sin  l = 0

0 sin  l

Część 2

9. STATECZNOŚĆ SPRĘŻYSTA UKŁADÓW PRĘTOWYCH

 EJ = n  l

N =  2 ⋅ EJ

l 2 ⋅ n 2

(9.11)

Wartości własnych jest nieskończenie wiele  1 ,  2 ,... ,  n ∞ z uwagi na postać funkcji sin x a każdej

odpowiada jedna postać wyboczenia. Rozważana belka może doznać wyboczenia po przekroczeniu przez siłę

osiową wartości krytycznej określonej wzorem (9.11).

Przykład 2

Wyznaczenie siły krytycznej dla belki poddanej działaniu sił osiowych N i momentów M (rys. 9.5).

M M

N N

i k

Rys. 9.5. Belka wolnopodparta poddana działaniu momentów i siły osiowej

Z równania pracy wirtualnej wyznaczamy wartość ugięcia w środku rozpiętości belki:



 2  = 8 ⋅ Ml 2

Funkcję linii ugięcia wyrażoną przez zmienną bezwymiarową:

l = (9.12)

przyjmujemy w postaci wielomianu:

w = C 0  C 1  C 2 ⋅ sin  C 3 ⋅ cos  (9.13)

gdzie

=⋅ l  2 = Nl 2

(9.14)

Określamy warunki brzegowe dla analizowanej belki:

– dla x = 0 ,= 0

w  0 = 0

w' '  0 =− M  0 

EJ ⋅ l 2

– dla x = l ,= 1

Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: