Matematyka - Transformacje.pdf - Win32Api Direct3D - jacekplacekjacek

Matematyka ▪ Transformacje

Znamy już właściwości wektorów i posiadamy podstawowe informacje o operacjach na macierzach. Czas więc się

dowiedzieć jak to wszystko zastosować w grafice 3D. Z wektorami raczej poradzimy sobie łatwo. Będziemy ich używać do

liczenia odległości pomiędzy punktami, do wyznaczania kierunku, do określania punktów w przestrzeni. Co innego macierze.

Z nimi będziemy mieć o wiele więcej zabawy no a zastosowanie ich w manewrowaniu obiektami na płaszczyźnie czy w

przestrzeni wszystko znacznie nam ułatwi. Powiedzmy sobie zatem o przekształceniach w grafice. Zacznijmy naszą zabawę

może nie od 3D, ale od starego poczciwego 2D. Większość z was zapewne zna doskonale podstawowe przekształcenia jakie

możemy zastosować na naszych obiektach, ale dla porządku i dla nie kumatych przypomnijmy je sobie właśnie teraz.

• Przesunięcie

Załóżmy sobie, że mamy jakiś obiekt na płaszczyźnie zdefiniowany za pomocą kilku punktów. I nagle mamy taką chęć, żeby

sobie ten obiekt na przykład przesunąć. Wiemy wszyscy jak wygląda przesunięcie. Każdy punkt definiujący naszą figurę

przesuwamy o jakiś odcinek ( wektor ), który mówi o ile ten obiekt ma się nam przemieścić. Czyli po prostu do

współrzędnych naszego obiektu dodajemy współrzędne wektora przesunięcia. Myślę, że jest to zupełnie oczywiste. Załóżmy,

że nasz obiekt składa się z jednego punktu, o współrzędnych ( x, y ) i chcemy go przesunąć o wektor o współrzędnych ( dx,

dy ). Matematycznie będzie to wyglądać następująco:

Równania w zasadzie bardzo proste i można by tutaj już skończyć nasze rozważania. No ale ja upierał się będę nadal przy

macierzach. Dlaczego ? Mam nadzieję, że po przeczytaniu całego artykułu wszystko się wam wyjaśni. Zauważmy, że

zarówno z pary współrzędnych punktu jak i wektora przesunięcia możemy sobie zrobić macierze. Więc niech:

Wtedy powyższe równania dwa przekształcają się w jedno równanie z udziałem macierzy:

lub inaczej i bardziej szczegółowo na to patrząc:

Mając funkcję, która dodaje nam macierze, możemy sobie więc przeprowadzić operację przesuwania. Ktoś może wzruszy

ramionami i powie, że to nic niezwykłego bo w tej funkcji mnożącej macierze byłoby dokładnie dokładnie to samo co na

początku naszych rozważań. Będzie miał po trochę racji, ale do czasu. No ale my nie przejmujmy się niedowiarkami, tylko

brnijmy dalej.

• Skalowanie

Następną operacją jaką będzie można wykonać będzie skalowanie punktów. Brzmi to trochę bez sensu, bo punkt jako taki nie

ma wymiarów i nie można go traktować jako obiektu, który można zeskalować, ale nie to miałem na myśli. Skalowanie

punktów polega na mnożeniu ich współrzędnych przez jakąś liczbę. Jeśli mamy więc model złożony z kilu punktów to

pomnożenie współrzędnych punktów go tworzących spowoduje jego powiększenie ( jeśli współczynniki będzie większy niż

1 ) lub zmniejszenie jeśli współczynnik będzie mniejszy przy założeniu że obiekt ten leży w środku układu współrzędnych.

Jeśli ktoś nie wierzy, to niech sprawdzi na zwykłej kartce papieru w kratkę. Warto zauważyć, że każdą współrzędną można

mnożyć przez inną liczbę i osiągać w ten sposób różne ciekawe efekty. Równania dla skalowania można zapisać czysto

matematycznie jako:

A równania macierzowe ? Zauważmy, że będziemy mnożyć teraz macierze, więc czy to będzie takie oczywiste ?

Przypomnijmy sobie za pomocą poprzedniego tutorialu jak mnoży się macierze i poczyńmy tutaj pewne spostrzeżenia. Jak

pamiętamy, aby pomnożyć macierze, jedna powinna mieć taką samą ilość kolumn w pierwszej z mnożonych macierzy jak i

Matematyka ▪ Transformacje

wierszy w drugiej. Jeśli byśmy zaczęli układać równania macierzowe dla naszych powyższych równań to zgodnie z

powyższym założeniem naszych macierzy nie da się przez siebie pomnożyć, ponieważ obie mają po jednej kolumnie i po

dwa wiersze. Aby było to możliwe koniecznym będzie uzupełnienie którejś z macierzy składowych o nowe elementy, jednak

takie, które nie spowodują żadnych zmian w wyniku ! Zastanówmy się którą z macierzy będzie nam wygodniej i bez

komplikacji zmienić. Gdybyśmy chcieli na przykład rozszerzyć macierz zawierającą współrzędne punktu. Pierwsze co się

nasuwa to to, że musielibyśmy to zrobić dla wszystkich punktów naszej bryły, których może być całkiem sporo. Po drugie

nie wiadomo czy nie trzeba by było zacząć przechowywać jakiś dodatkowych informacji dotyczących współrzędnych

wierzchołków. Więc jakby nie patrzeć nie jest to zbyt korzystne. Zwróćmy więc uwagę na naszą macierz skalowania. Od

razu narzuca się jedna, ważna myśl. Ta macierz będzie przecież tylko jedna ! Będziemy ją mogli zastosować do wszystkich

wierzchołków na raz. Jest bardzo ważne dla nas spostrzeżenie i można by rzec, że nawet decydujące. Zajmiemy się więc

uzupełnieniem tej macierzy, aby można ją było pomnożyć przez tę, zawierającą współrzędne punktów. I cóż więc należy

zrobić, żeby móc skalować i jednocześnie zachować zasady mnożenia macierzy ? Całe szczęście już dawno ktoś pomyślał za

nas i teraz my tylko możemy to wykorzystać. Macierz skalowania będzie wyglądać tak:

Jak ktoś nie wierzy, że takie rozszerzenie niczego nie zmieni w macierzy wynikowej dla punktu P1 niech sobie pomnoży

ręcznie nasze macierze a sam się przekona. Mnożenie jest w zasadzie bardzo proste i można je wykonać na kartce z

ołówkiem w ręce. Równania macierzowe będą wyglądać następująco:

• Obracanie

Mieliśmy przesuwanie i skalowanie, czas więc na najbardziej efektowną operację, czyli obracanie. W czasach, kiedy nie było

jeszcze D3D ani OpenGL a świat grafiki komputerowej kręcił się wokół trybu 13h i bezpośredniego dostępu do pamięci

obrót figur w pełnym 3D był czymś, co wywoływało na widzach największe wrażenie. Dzisiaj jest to jedna z podstawowych

operacji i nie sposób już sobie wyobrazić jakiegokolwiek przykładu, w którym coś by się nie obracało. Pamiętam do dziś

optymalizację tablic sinusów i cosinusów, sprytne liczenie wartości kątów i tym podobne sztuczki w asemblerze, ech, gdzie

te czasy... Ale powróćmy może do naszych rozważań. Na początek weźmy łatwiejsze obracanie, wokół środka układu

współrzędnych. Ktoś oczywiście kiedyś za nas pomyślał i wymyślił takie oto równania na obrót i nowe współrzędne:

Jak widać nie jest to podobne ani do przesuwania ani do skalowania. Składników jest więcej niż poprzednio, ale

paradoksalnie nam to tylko ułatwi sprawę ! Nie będziemy musieli już kombinować z naszą macierzą, nie będziemy musieli

jej uzupełniać. Wystarczy odpowiednio zakombinować z ułożeniem czynników równań w macierzach i dostaniemy to co

chcemy, czyli równanie macierzowe. Macierz obrotu będzie wyglądać tak:

Natomiast równania macierzowe dla obrotu wokół środka układu współrzędnych:

Ktoś niewierzący, że tak będzie znowu może sobie sprawdzić mnożąc macierze ręcznie i porównując wynik z równaniami,

które podałem wcześniej. Okaże się, że znowu miałem rację. Wbrew pozorom okazało się, że równania najbardziej

skomplikowane można było przerobić na równania macierzowe w najprostszy sposób.

Matematyka ▪ Transformacje

• Współrzędne jednorodne

Teraz należałoby omówić przekształcenia w przestrzeni 3D, ale zanim to nastąpi powinniśmy sobie powiedzieć o czymś

takim jak układ współrzędnych jednorodnych. Cóż to jest takiego. Jeśli popatrzeć wyżej to da się zauważyć jedną, dosyć

charakterystyczną rzecz. Otóż skalowanie i obracanie punktów polega na mnożeniu odpowiednich macierzy przez siebie,

natomiast przesuwanie to dodawanie macierzy. Stwarza nam to trochę niewygodną sytuację w momencie kiedy przyjdzie

nam ochota na przykład składać przekształcenia w celu przeprowadzenia skomplikowanej operacji. Na czym z kolei polega

składanie przekształceń ? Otóż wyobraźmy sobie, że mamy na naszej scenie punkt, który najpierw chcemy sobie obrócić o

jakiś kąt a potem przesunąć w jakiś punkt na ekranie. Macierzowe postacie naszych równań dają nam do ręki bardzo fajną

rzecz, a mianowicie taką, że macierze kolejnych przekształceń można wymnożyć przez siebie i po zaaplikowaniu tak

stworzonej nowej macierzy naszym danym zostaną one odpowiednio przekształcone. Wiemy, że mnożenie macierzy nie jest

przemienne, czyli A*B to nie to samo co B*A , więc na pewno też obrót i przesunięcie to nie to samo co przesunięcie i obrót.

Tu od razu widzimy jeszcze jedną, bardzo ważną cechę przekształceń - one też nie są przemienne ! Bardzo ważna jest

kolejność ich przeprowadzania o czym nie raz będziemy mieli jeszcze okazję się przekonać. I wszystko byłoby pięknie,

gdyby nie jeden, malutki szkopuł - dodawanie w przypadku macierzy przesunięcia. W takim przypadku nie da się oczywiście

mnożyć macierzy przez siebie bo wyjdą nam bzdury. Trzeba więc zrobić coś, aby macierz przesunięcia można było mnożyć

przez współrzędne punktów i żeby wychodziło wszystko w porządku. Ktoś pewnie pomyśli, że można było to zrobić już na

początku, ale niech spróbuje pokombinować tak, żeby móc pomnożyć macierze w przypadku przesunięcia bez jakiejś

skomplikowanej gimnastyki.

Aby móc traktować przesunięcie jako mnożenie macierzy, punkty powinny więc być przeniesione do układu współrzędnych

jednorodnych. Układ taki charakteryzuje się tym, że do każdej współrzędnej punktu, bez względu czy leży on na

płaszczyźnie czy w przestrzeni dodajemy jeszcze jedną, która umożliwi nam takie przekształcenie punktów, że wszystkie

operacje macierzowe na nich będą mogły być traktowane jako mnożenia macierzy. Cechą charakterystyczną współrzędnych

w układzie jednorodnym jest to, że różne zestawy wartości współrzędnych mogą reprezentować ten sam punkt. Aby to

zrozumieć przyjrzyjmy się może punktom na płaszczyźnie 2D. Normalnie punkt taki ma współrzędne ( x, y ). Jeśli

przeniesiemy go do układu współrzędnych jednorodnych dostaniemy trzy współrzędne ( x, y, w ). Układ jednorodny ma

ograniczenie, polegające na tym, że współrzędna "w" nie może być równa 0. Jeśli przyjmiemy powyższe założenia to przy

współrzędnej "w" różnej od zera możemy współrzędne naszego punktu podzielić przez jej wartość i otrzymamy ( x/w, y/w,

1). Wtedy też wartości x/w i y/w są nazywane współrzędnymi kartezjańskimi i to są te, które my dobrze znamy.

Wspominałem kilka linii wyżej, że różne zestawy współrzędnych jednorodnych mogą reprezentować ten sam punkt we

współrzędnych kartezjańskich, czy już widzicie dlaczego ? Weźmy sobie na przykład punkty ( 2, 3, 6 ) i ( 4, 6, 12 ). Jeśli

podzielimy kolejne współrzędne przez współrzędną "w" to otrzymamy w obu przypadkach punkt ( 1/3, 1/2, 1 ). Zatem

warunkiem tego, że dwa różne punkty w przestrzeni jednorodnej przedstawiają ten sam punkt na płaszczyźnie jest to, że

jeden punkt musi być wielokrotnością drugiego ( mowa oczywiście o poszczególnych współrzędnych ). Warto też dodać, że

większość dzisiejszych pakietów do tworzenia grafiki 3D używa właśnie układu współrzędnych jednorodnych a współrzędna

"w" przyjmuje przeważnie wartość 1, co powoduje to, że współrzędne x i y praktycznie się nie zmieniają.

Wracając do naszego przesunięcia, dodawania i mnożenia macierzy. Ponieważ nasz punkt będzie miał teraz trzy współrzędne

macierze poszczególnych przekształceń zmienią się w znaczący sposób, ale jednocześnie uzyskamy możliwość

przeprowadzenia wszelkich operacji w ten sam sposób. Zacznijmy więc od przesunięcia. Nasze równanie macierzowe

przyjmie postać:

Macierze skalowania i obrotu nie zmienią się tak znacznie jak przesunięcie, bo do nich tylko dodamy wiersze i kolumny,

żeby zgadzał nam się warunek na mnożenie. Poszczególne będą wyglądać następująco:

• Uwaga

Matematyka ▪ Transformacje

Czasem, czytając różne podręczniki spotkacie się z odwrotnym mnożeniem macierzy, czyli współrzędne punktu będą

zapisane jako wiersz a nie jako kolumna macierzy. Jak napisałem mnożenie macierzy nie jest przemienne ( za wyjątkiem

mnożenia macierzy i odwrotnej do niej przez siebie ), więc aby wszystko nam grało w przypadku drugim konieczne będzie

przetransponowanie wszystkich macierzy biorących udział w określonej operacji. A co to transponowanie mam nadzieję, że

już wiecie.

• Składanie przekształceń

Przy omawianiu układu jednorodnego wspomniałem o czymś takim jak składanie przekształceń. Podałem przykład obracania

i przesuwania dokonywanych po sobie. Reprezentacja macierzowa naszych działań umożliwia nam zrobienie pewnej fajnej

rzeczy z naszymi przekształceniami. Otóż, jeśli zapragniemy sobie zrobić to nasze przykładowe przekształcenie ( obrót i

przesunięcie ) to możemy stworzyć sobie macierz, której pomnożenie przez macierz naszych współrzędnych spowoduje to,

że te dwie operacje wykonane zostaną od razu. Cel tego jest oczywisty - zamiast robić poszczególne przekształcenia po kolei

my stworzymy sobie jedną macierz, która będzie robić to, co nam potrzeba a program na pewno zyska na efektywności.

Aby dobrze pokazać składanie przekształceń weźmy sobie problem następujący. Wiemy już jak obracać punkty wokół

środka układu współrzędnych. A teraz chcielibyśmy obrócić nasz punkt wokół dowolnego innego punktu leżącego na

płaszczyźnie. Co w takim wypadku ? Ano pomoże nam w tym właśnie złożenie przekształceń. Rozbijmy sobie nasz problem

niewątpliwie trudny na trzy mniejsze problemy:

• Ponieważ potrafimy sobie obracać punkt wokół środka układu współrzędnych więc pierwszą rzeczą będzie takie

przesunięcie wszystkich punktów naszej bryły i środka obrotu, żeby ten ostatni znalazł się w środku układu

współrzędnych.

• Mając środek obrotu w środku układu współrzędnych bez problemu obrócimy sobie nasz obiekt.

• Przesunięcia z powrotem wszystkich punktów w to samo miejsce, gdzie były przed wykonaniem obrotu.

Jak łatwo sobie wyobrazić po tych kilku operacjach nasz obiekt obróci się wokół punktu, który my obraliśmy sobie za środek

obrotu. Całe to nasze przekształcenie w zapisie macierzowym wyglądać więc będzie następująco:

Zwróćmy uwagę na macierze przesunięcia i na współczynniki przesunięcia. U nas są to po proste współrzędne punktów a

dlaczego powinno być wiadomo od razu po uważnej lekturze lekcji poświęconej wektorom. Wspominałem tam o wektorach,

które określają położenie punktów w przestrzeni. Po prostu wektor łączący środek układu i punkt w przestrzeni lub na

płaszczyźnie będzie miał takie same współrzędne jak punkt, który jest jego końcem. Dlatego właśnie jako wektor

przesunięcia podajemy współrzędne naszego punktu, raz w jedną stronę raz w drugą.

Tę technikę będziemy mogli stosować wszędzie tam, gdzie trzeba będzie wykonać jakieś bardziej złożone operacje typu

obrót czy skalowanie na obiektach nie leżących w środku układu współrzędnych. Jest ona w sumie bardzo prosta i sprowadza

się do podstawowej sekwencji operacji - przesunięcia obiektu, do środka układu współrzędnych, dokonania operacji i

przesunięcia go z powrotem na właściwe miejsce.

• Macierz ortogonalna

Wróćmy na chwilę teraz do naszej macierzy obrotów i przyjrzyjmy się jej bliżej:

W górnej lewej podmacierzy 2 x 2 potraktujmy każdy z dwóch wierszy jako wektor i obliczmy ich długości:

Dla obydwu wierszy jak łatwo zauważyć oczywiście będzie to samo. Z tożsamości geometrycznej znanej ze szkoły nie wiem

czy nie podstawowej wynika, że długość ta wynosi 1. Wektory te więc są jednostkowe. Policzmy też gdzieś na boku ich

iloczyn skalarny, który wyjdzie nam 0. To zaś sugeruje nam prostopadłość obu wektorów ( kąt 90 stopni pomiędzy nimi ),

jeśli ktoś nie wierzy niech natychmiast udaje się do lekcji o wektorach. Macierz, której poszczególne wiersze są jednostkowe

Matematyka ▪ Transformacje

i prostopadłe do siebie ( jako wektory ) będziemy nazywać macierzą ortogonalną. Po cóż nam takie cudo będzie potrzebne ?

Jeśli teraz pomnożymy naszą macierz obrotu przez wektory jednostkowe osi X i Y to otrzymamy te wektory jednostkowe

obrócone o dany kąt. Wektory te oczywiście nadal będą nadal prostopadłe do siebie ( inaczej mówiąc ortogonalne ). I teraz

będziemy mogli zastosować pewną sztuczkę. Jeśli będziemy znali na przykład nasze obrócone wektory jednostkowe a nie

będziemy znali kąta to będziemy mogli nadal stworzyć naszą macierz obrotu ! Tylko, że zamiast sinusów i cosinusów w

naszej macierzy wstawimy sobie teraz poszczególne współrzędne naszych wektorów jednostkowych. A dlaczego ? Ano

pomnóżmy naszą macierz obrotu przez wektory jednostkowe i co otrzymamy ? Jeśli dokładnie policzyliście to składowe

obróconych wektorów jednostkowych przyjmą dokładnie takie same wartości jak poszczególne kolumny macierzy obrotu,

kolejno dla osi x i y, prawda ? Więc jeśli mieliśmy gdzieś obrócone wektory jednostkowe, prostopadłe do siebie a nie

znaliśmy macierzy obrotu to teraz już będziemy potrafili ją zawsze wyznaczyć ! Jakie to będzie miało zastosowanie dobitnie

przekonamy się przy wyznaczaniu macierzy widoku w którejś z kolejnych lekcji. Ale zapamiętajcie to, bo to bardzo ważne.

Wiemy już dużo o przekształceniach na płaszczyźnie 2D czas więc przenieść się w trzeci wymiar i przekonać się jak będzie

się miała sytuacja w takim przypadku. Powiedzieliśmy sobie o układzie jednorodnym i nadal będziemy się go tutaj trzymać.

Przy operacjach 2D, w układzie tym przekształcenia reprezentowaliśmy jako macierze 3 x 3 ( aby można było traktować

przesunięcie jako mnożenie ). Analogicznie w przestrzeni 3D dodamy do naszych współrzędnych czwartą składową "w". Nie

traktujmy tego jak czegoś namacalnego, bo i tak nie damy rady - na razie nie potrafimy sobie wyobrazić geometrycznej,

czwartej składowej obiektu, jej będziemy tylko używać do umożliwienia jednorodności naszego układu współrzędnych. Tak

samo jak na płaszczyźnie dwie czwórki współrzędnych reprezentują ten sam punkt jeśli jeden jest niezerową wielokrotnością

drugiego, więc wartość w = 0 jest absolutnie niedopuszczalna. Ale wracając do naszych prostych przekształceń. Większość

będzie stanowiła niemal dokładnie odwzorowanie tych, znanych nam z układu 2D. Tak więc przesunięcie będzie tylko

uzupełnione o jedną składową "z" i raczej nic wielkiego w naszym równaniu się nie stanie. Macierz naszego przekształcenia

będzie wyglądała następująco:

Skalowanie będzie wyglądało tak:

Z obrotami będzie ciekawiej. Wszyscy chyba potrafimy sobie wyobrazić jak wygląda układ współrzędnych w przestrzeni 3D.

Obrotów będziemy tutaj w przeciwieństwie do 2D dokonywać nie wokół punktów ale wokół osi, które będą się znajdować w

przestrzeni. I tak idąc po kolei najpierw zaczniemy od tego, który może nam się już zacząć nawet kojarzyć. Najczęściej

zdarza się tak, że patrzymy na ekran wzdłuż osi z naszego układu współrzędnych. W 2D obrotu dokonywaliśmy wokół

punktu. Jeśli teraz wyobrazimy sobie taki obrót na ekranie to przy odrobinie wysiłku umysłowego jasne stanie się to, że obrót

ten w przestrzeni 3D dokonywany jest de facto wokół osi z. Macierz przekształcenia, którą trzeba będzie zaaplikować

naszym wierzchołkom wyglądać będzie tak:

Analogicznie postępując i posługując się naszą wyobraźnią dojdziemy do pozostałych macierzy przekształceń, czyli dla osi

Matematyka - Transformacje.pdf

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: