Sozański - Paradoksy preferencji grupowych, Twierdzenia Arrowa i Sena.pdf

(156 KB) Pobierz
241677714 UNPDF
Tadeusz Sozañski
Paradoksy preferencji grupowych: twierdzenia Arrowa i Sena
Notatka dla s³uchaczy kursu
Teoria gier i decyzji z elementami teorii wyboru spo³ecznego
Maj 1993 – Maj 2004
Profile preferencji
Niech X ={ x ,…, x } oznacza zbiór opcji (zwanych te¿ ‘alternatywami spo³ecznymi'), zaœ N ={1,…, n }
zbiór decydentów (lub, przy drugiej interpretacji, zbiór kryteriów, które jeden decydent stosuje do
oceny opcji). Zbiór relacji preferencji na X oznaczmy R ; R 0 R wtedy i tylko wtedy, z definicji, gdy
relacja R jest zwrotna ( xRx ), przechodnia ( xRy i yRz poci¹ga za sob¹ xRz ) i spójna ( xRy lub yRx ).
Niech P i I oznaczaj¹ odpowiednio podyktowane przez R relacje preferencji œcis³ej ( xPy wtedy i tylko
wtedy gdy xRy i - yRx ) i indyferencji ( xIy wtedy i tylko wtedy gdy xRy i yRx ).
1
m
Przyk³ad . Niech X = { x , y , z }. Zbiór R ma wtedy 13 elementów. S¹ to relacje, które mo¿na
zanotowaæ nastêpuj¹co
RRRRRR
R
R
8
R
9
R
10
R
11
R
12
R
13
x x y y z z
x
y
z
x-y
x-z
y-z
x-y-z
y z x z x y
y-z
x-z
x-y
z
y
x
zyzxyx
Dla R mamy xP y , yP z (opcja x jest przedk³adana ponad y , a y ponad z ), a z przechodnioœci
1
1
1
xP z . Relacja indyferencji I zachodzi tylko miêdzy elementami identycznymi. W R mamy xP y i xP z
7
1
1
7
7
7
( x jest lepsze od y i z ) oraz yI z (opcje y i z s¹ jednakowo dobre).
zbiorze N nazywamy ka¿d¹ uporz¹dkowan¹ n -tkê ( R ,…, R ) elementów R . Relacjê R (nie myliæ z
oznaczeniami zastosowanymi w przyk³adzie) interpretujemy jako relacjê preferencji, któr¹ pos³uguje
siê i -ty decydent porównuj¹c opcje ze zbioru X (lub relacjê odpowiadaj¹c¹ i -temu kryterium oceny
opcji stosowanemu przez jednego decydenta). Zbiór profili oznaczmy R . Dla n =2 zbiór ten liczy wiêc
Za³ó¿my, ¿e zbiór N ma conajmniej dwa elementy ( n $2). Profilem preferencji indywidualnych w
1
n
n
n
te które teoretycznie mog¹ pojawiæ siê w grupie N . Zbiór D mo¿e zawieraæ profile, w których
wystêpuje konflikt preferencji. Dla przyk³adu za³ó¿my, ¿e N ={1,2,3}, X ={ x , y , z }. Rozwa¿my nastêpuj¹cy
profil.
RRR
xyz
yzx
zxy
Mamy zatem trzy osoby, z których ka¿da na pierwszym miejscu stawia inn¹ opcjê. Powstaje pytanie
jak skonstruowaæ wspóln¹ dla trójosobowej grupy relacjê opisuj¹c¹ kompromisowy sposób
123456
7
13A13=169 elementów.
Niech zbiór D oznacza niepusty podzbiór R z³o¿ony z profili okreœlonych jako dopuszczalne , czyli
123
wartoœciowania tych opcji przez grupê jako ca³oœæ, umo¿liwiaj¹cy te¿ grupie wybranie najlepszego
elementu spoœród elementów danego podzbioru Y zbioru X . Z pozoru najw³aœciwszym rozwi¹zaniem
wydaje siê zastosowanie regu³y zwyk³ej wiêkszoœci do porównywania opcji parami. Zauwa¿my, ¿e
dwie osoby (1 i 3) wol¹ x od y , jak równie¿ dwie osoby (1 i 2) wol¹ y od z , a zatem grupa powinna
przedk³adaæ opcjê x nad y , a y nad z . Jeœli okreœlona w ten sposób relacja mia³aby byæ przechodnia,
wówczas trójka powinna przedk³adaæ x nad z . Tymczasem jest odwrotnie, bo dwie osoby (2 i 3) wol¹
z od x . Fakt ten pierwszy zauwa¿y³ markiz Antoine de Condorcet (odkry³by mo¿e jeszcze inne fakty,
lecz w 1794 roku pad³ ofiar¹ jakobiñskiego terroru).
Funkcja spo³ecznego dobrobytu
Jeœli relacja preferencji przypisana grupie ma mieæ te same w³asnoœci co relacja wyra¿aj¹ca
wartoœciowanie jednostki, a wiêc w szczególnoœci ma byæ przechodnia, wówczas regu³a zwyk³ej
wiêkszoœci nie spe³nia swojego zadania. Kenneth Arrow, autor Social Choice and Individual Values
(1951), uzna³, ¿e wartoœciowanie grupowe powinno byæ przechodnie, co oznacza, ¿e rozwi¹zaniem
problemu mo¿e byæ jedynie funkcja, która ka¿demu dopuszczalnemu profilowi przypisuje jak¹œ relacjê
preferencji na zbiorze X , a wiêc z za³o¿enia relacjê przechodni¹.
Funkcjê postaci F : D ) < R Arrow nazwa³ funkcj¹ spo³ecznego dobrobytu ( social welfare function ).
1
n
1
n
oceniaj¹ opcje pos³uguj¹c siê odpowiednio relacjami R ,…, R . Przedmiotem badañ Arrowa by³y
warunki, jakie powinny spe³niaæ ka¿da ‘demokratyczna' funkcja spo³ecznego dobrobytu. G³ówne
twierdzenie, które zostanie ni¿ej przedstawione, stwierdza niemo¿noœæ pogodzenia ze sob¹ kilku
postulatów, które z osobna wziête wydaj¹ siê ‘rozs¹dne'. Pierwszym takim postulatem jest ¿¹danie,
by regu³a wyznaczania preferencji grupowej mia³a najszerszy mo¿liwy zakres stosowalnoœci. Postulat
ten oznaczymy numerem 0, gdy¿ jest najbardziej elementarny; wyznacza on jedynie dziedzinê funkcji
F i nie przes¹dza sposobu jej okreœlenia.
n
Postulat 0 (nieograniczonoϾ dziedziny).
D = R .
Postulat ten g³osi, ¿e dopuszczalny jest ka¿dy profil preferencji indywidualnych.
Niezale¿noœæ od alternatyw nieistotnych
Do sformu³owania nastêpnych postulatów bêd¹ potrzebne dalsze definicje. Niech Y bêdzie niepustym
podzbiorem zbioru opcji X (i Y d X ) in niech R i R ' bêd¹ dwoma relacjami preferencji na X ( R , R '0 R ).
Definicja 1 (zgodnoœci relacji i profili na podzbiorze opcji)
R i R ' s¹ zgodne na Y wtedy i tylko wtedy, gdy
x,y 0 Y
: xRy ] xR'y
Dwa profile ( R ,…, R ), ( R' ,…, R' ) s¹ zgodne na Y wtedy i tylko wtedy, gdy R i R' s¹ zgodne na
Y dla i =1,…, n .
1
n
1
Przypuœmy np. ¿e dwa profile opisuj¹ oceny poszczególnych cz³onków grupy w wyra¿one w dwu
kolejnych badaniach. Zgodnoœæ na Y oznacza, ¿e ka¿dy cz³onek grupy zachowa³ swoje poprzednie
uporz¹dkowamie elementów zbioru Y . Ewentualne ró¿nice mog³y siê pojawiæ jedynie przy
porównywaniu opcji nale¿¹cych do zbioru Y z pozosta³ymi opcjami (elementami X - Y ) oraz przy
porównywaniu miêdzy sob¹ opcji spoza Y . Wydaje siê naturalne ¿¹daæ, by w takiej sytuacji grupa jako
2
Relacja R = F ( R ,…, R ) przyporz¹dkowana dopuszczalnemu profilowi ( R ,…, R ) interpretowana jest
jako sposób wartoœciowania opcji, który powinna zastosowaæ grupa, jeœli jej cz³onkowie indywidualnie
1
n
n
ca³oœæ zachowa³a siê tak jak poszczególni cz³onkowie, tzn. nie zmienia³a wartoœciowania elementów
Y .
Postulat 1 (niezale¿noœæ od alternatyw nieistotnych).
Dla dowolnego niepustego podzbioru Y zbioru X , jeœli dowolne dwa dopuszczalne profile
( R ,…, R ), ( R' ,…, R' ) s¹ zgodne na Y to odpowiadaj¹ce im relacje grupowe R = F ( R ,…, R ) i
1
1
n
1
n
1
n
n
W szczególnoœci zbiór Y mo¿e mieæ postaæ { x , y }. Postulat niezale¿noœci od alternatyw
nieistotnych (mówi siê te¿ ‘niezwi¹zanych', ang. independence of irrelevant alternatives ) oznacza
wówczas, ¿e dla dowolnych dwu ró¿nych opcji x i y to, czy grupa woli x od y, zale¿y wy³¹cznie od
tego, jak wygl¹daj¹ preferencje poszczególnych cz³onków grupy w odniesieniu do tych dwu
elementów bez wzglêdu na kontekst. Nieistotne jest zatem jak dane dwa elementy mieszcz¹ siê w
ogólnej hierarchii wartoœci danego decydenta, lecz jedynie to, która z nich dwu jest dlañ lepsza.
Demokracja
Kolejny postulat uwa¿any jest równie¿ za ‘rozs¹dny'. Idzie w nim o to, by ‘demokratycznie'
uzgodniona preferencja grupy maksymalnie wyra¿a³a preferencje indywiduów i by³a wra¿liwa na
zmianê ‘uk³adu si³', tzn. jeœli wiêcej osób indywidualnie opowie siê za jak¹œ opcj¹ przeciw innej opcji
to opinia grupy jako ca³oœci powinna ‘przechyliæ siê' w tê sam¹ stronê. Jeœli przy pewnym profilu
preferencji indywidualnych grupa woli x od y , to preferencja grupowa dla tej pary opcji nie ulegnie
odwróceniu, gdy wzroœnie poparcie dla x , tzn. gdy profil ten zmieni tak, ¿e wiêcej osób bêdzie wola³o
x od y . Bardziej formalnie wyra¿a to nastêpuj¹ca definicja. Niech R , R '0 R .
Definicja 2 (demokratycznego poparcia)
W R' jest nie mniejsze poparcie dla x przeciw y ni¿ w R wtedy i tylko wtedy, gdy zachodz¹ dwie
implikacje
xPy Y xP'y
xIy Y( xI'y lub xP'y )
Jeœli zatem wed³ug relacji R opcja x jest lepsza od y , to tak¿e wed³ug relacji R ' opcja x jest lepsza
od y . Jeœli zaœ wed³ug relacji R opcje x i y s¹ jednakowo dobre, to wed³ug relacji R ' jest tak samo lub
opcja x jest uwa¿ana za lepsz¹ od y . Zauwa¿my, ¿e jeœli wed³ug relacji R opcja y jest gorsza od x
( yPx ), to poprzednik obu implikacji jest fa³szywy, a zatem bez wzglêdu na to jak wartoœciowane s¹
opcje x i y wed³ug relacji R ', w R ' jest nie mniejsze poparcie dla x przeciw y ni¿ w R .
Jeœli relacje R i R ' przypisane s¹ jednej osobie, wówczas stosunek miêdzy nimi opisuje
ewentualn¹ zmianê pogl¹dów jednostki id¹c¹ w okreœlonym kierunku. Jeœli dana osoba wola³a x od
y , to zmiany nie ma, musi nadal przedk³adaæ x nad y . Jeœli osoba ta by³a pocz¹tkowo indyferentna,
mo¿e pozostaæ taka, jeœli jednak zmieni zdanie, to bêdzie to uznanie x za opcjê lepsza od y . Jeœli
wola³a y od x , wszelka zmiana (na indyferencjê lub przeciwn¹ preferencjê) daje przewagê x . Kolejny
postulat powiada, ¿e jeœli zmiana w tym samym kierunku zachodzi u ka¿dej osoby (niekoniecznie
zmiana musi byæ jednakowo radykalna u wszystkich), wówczas preferencja grupowa odpowiadaj¹ca
nowemu profilowi powinna to odzwierciedlaæ.
Postulat 2 (demokratyczne okreœlanie preferencji zbiorowych)
Dla ka¿dej uporz¹dkowanej pary opcji ( x,y ): jeœli dla ka¿dego i poparcie dla x przeciw y w R' jest
i
3
'= F ( R' ,…, R' ) s¹ tak¿e zgodne na Y .
nie mniejsze ni¿ w R , to w R' = F ( R' ,…, R' ) jest nie mniejsze poparcie dla x przeciw y ni¿ w
1
1
n
n
Postulat ten formalnie oddaje istotn¹ cechê ³adu demokratycznego. Grupa powinna iœæ za g³osem
swoich cz³onków, czy jednak mo¿e uchwaliæ dowoln¹ hierarchiê wartoœci, jeœi tylko znajdzie siê dla
niej wystarczaj¹ce ‘spo³eczne poparcie'?
SuwerennoϾ grupy
Zasadê ‘suwerennoœci ludu' tak¿e uwa¿a siê za istotny sk³adnik demokracji. Aby nadaæ formalny sens
pojêciu ‘suwerennoœci' w kontekœcie teorii Arrowa, musimy podaæ dalsze definicje. Niech M bêdzie
podzbiorem zbioru decydentów N (niekoniecznie niepustym). a ( x , y ) uporz¹dkowan¹ par¹ ró¿nych
opcji.
Definicja 3 (zbioru rozstrzygaj¹cego)
M nazywa siê zbiorem rozstrzygaj¹cym dla x przeciw y ze wzglêdu na funkcjê spo³ecznego
( R1 ,…, Rn ) 0 D
(
i 0 N
( i 0 M Y xP y )Y xPy ), gdzie P odpowiada
F(R ,…,R )
1
n
Definicja ta oznacza, ¿e jeœli wszyscy cz³onkowie zbioru M wol¹ x od y , to s¹ w stanie narzuciæ
grupie N jako ca³oœci swój wybór. Tak¿e wtedy, gdy pozostali decydenci maj¹ wszyscy dok³adnie
i
odwrotne preferencje, tzn. jeœli mamy do czynienia z profilem takim, ¿e xP y dla i 0 M i yP x dla i 0 N - M .
Dla regu³y F wra¿liwej na preferencje indywidualne (czyli spe³niaj¹cej postulat 2), aby sprawdziæ, czy
jakiœ zbiór jest rozstrzygaj¹cy dla x przeciw y , wystarczy sprawdziæ tylko profile o takiej
spolaryzowanej postaci.
W definicji 3 dopuszczamy tak¿e przypadek, gdy zbiór rozstrzygaj¹cy dla x przeciw y jest pusty.
Mamy wówczas xPy dla ka¿dego dopuszczalnego profilu, a jeœli przyjmiemy postulat 0 dopuszczaj¹cy
wszystkie mo¿liwe profile, to wybór grupowy xPy musia³by mieæ miejsce tak¿e wtedy, gdy dla ka¿dego
i
Postulat 3 (nieograniczona suwerennoϾ grupy)
Dla ka¿dych ró¿nych x , y 0 X istnieje profil ( R ,…, R )0 D taki, ¿e xPy , gdzie P odpowiada
1
1
n
F(R ,…,R )
n
Postulat ten g³osi, ¿e dla dowolnych dwu ró¿nych opcji istnieje dopuszczalny profil taki, ¿e
odpowiadaj¹ca mu relacja grupowa uznaje pierwsz¹ opcjê za lepsz¹ od drugiej. Równowa¿nie: nie
istniej¹ ró¿ne opcje x i y takie, ¿e zbiór pusty jest rozstrzygaj¹cy dla x przeciw y , czyli x by³oby
zawsze przedk³adane nad y niezale¿nie od zró¿nicowania pogl¹dów w grupie. Suwerennoœæ
scharakteryzowana za pomoc¹ postulatu 3 nie jest niczym ograniczona, grupa mo¿e uznaæ, ¿e x jest
lepsze od y lub y jest lepsze od y . ¯adne rozwi¹zanie nie mo¿e byæ grupie narzucone z góry (przez
wolê jednostkow¹ lub jak¹œ normê moraln¹). Aby zosta³o wybrane, wystarczy jedynie wytworzenie
siê odpowiedniego profilu preferencji indywidualnych.
Jeœli funkcja F spe³nia postulaty 2 i 3, wówczas ca³a grupa jest zbiorem rozstrzygaj¹cym dla
ka¿dej opcji x przeciw ka¿dej innej opcji y . Wniosek ten, formu³owany czêsto jako osobny postulat,
zwany postulatem albo warunkiem Pareto, uwa¿a siê tak¿e za fundamentalny dla rozumienia
demokracji.
4
( R ,…, R ).
dobrobytu F wtedy i tylko wtedy, gdy
i 0 N mamy yP x . Jeœli chcemy unikn¹æ takiej sytuacji ( x zostaje uznane za lepsze od y , np. ze
wzglêdów etycznych, chocia¿ wszyscy wol¹ y od x ) musimy na³o¿yæ na funkcjê F dodatkowe
ograniczenie.
Postulat demokracji Pareto (poszanowanie jednomyœlnoœci)
Dla ka¿dych dwu ró¿nych x , y 0 X i ka¿dego ( R ,…, R )0 D , ( xP y dla i =1,…, n Y xPy )
1
n
Inaczej mówi¹c, jeœli ka¿dy cz³onek grupy woli x od y , to grupa jako ca³oœæ musi respektowaæ tê
powszechn¹ zgodê.
Udowodnimy teraz, ¿e warunek Pareto rzeczywiœcie wynika z postulatów 2 i 3. Niech x i y bêd¹
1
n
ma tê w³asnoœæ, ¿e dla ka¿dego profilu ( R' ,…, R' ) y ma przeciw x w ka¿dej relacji R' niemniejsze
i
n
poparcie ni¿ w relacji R . Postulat 2 implikuje zatem, ¿e w R '= F ( R' ,…, R' ) jest nie mniejsze poparcie
1
1
n
dla y przeciw x ni¿ w R = F ( R ,…, R ). Mamy wykazaæ, ¿e xPy . Dla dowodu nie wprost przypuœæmy
najpierw, ¿e yPx . Poniewa¿ w R' jest niemniejsze poparcie dla y przeciw x ni¿ w R , wiêc musi byæ
yP'x . Profil, któremu funkcja F przypisuje relacjê R', by³ jednak dowolnie dobranym profilem
dopuszczalnym, a wiêc konkludujemy, ¿e yP'x dla ka¿dego profilu w D , co jest sprzeczne z
postulatem 3. Z kolei przypuœæmy, ¿e yIx (przypomnijmy, ¿e s¹ trzy mo¿liwoœci: xPy, xP y , czyli yPx ,
n
*
oraz xIy równowa¿ne yIx ; aby udowodniæ, ¿e zachodzi pierwsza mo¿liwoœæ, musimy wykazaæ, ¿e
pozosta³e dwie prowadz¹ do sprzecznoœci). Wynika st¹d (w zwi¹zku z niemniejszym poparciem dla
y przeciw x w R' ni¿ w R ), ¿e yI'x lub yP'x . Nie ma wiêc takiego profilu, dla którego xP'y wbrew
postulatowi 3.
Zauwa¿my jeszcze, ¿e postulat nieograniczonej suwerennoœci grupy daje siê wyprowadziæ z
postulatu Pareto i postulatu niegraniczonoœci dziedziny. Istotnie, nieograniczonoœæ dziedziny oznacza,
i
¿e profil preferencji taki ¿e xP y dla i =1,…, n jest dopuszczalny, a postulat Pareto implikuje z kolei, ¿e
dla tego profilu musi byæ xPy .
Paradoks Arrowa
Wszystkie cztery postulaty (0-3) wydaj¹ siê ‘rozs¹dne' jako formalne wymogi, jakie powinna spe³niaæ
‘demokratyczna' procedura wyprowadzania wartoœciowania spo³ecznego z indywidualnych ocen.
Rzecz w tym, ¿e ³¹cznie implikuj¹ one zaprzeczenie demokracji, czyli dyktaturê, jeœli tylko zbiór opcji
ma co najmniej 3 elementy. Na tym w³asnie polega s³ynny paradoks odkryty przez Arrowa.
Dyktator to jednoelementowy zbiór rozstrzygaj¹cy dla ka¿dej uporz¹dkowanej pary opcji.
Formalna definicja wygl¹da nastêpuj¹co.
Definicja 4 (dyktatury)
Osoba i nazywa siê dyktatorem ze wzglêdu na F wtedy i tylko wtedy, gdy { i } jest zbiorem
rozstrzygaj¹cym dla ka¿dej opcji x przeciw ka¿dej innej opcji y .
Funkcja spo³ecznego dobrobytu F nazywa siê dyktatorsk¹ wtedy i tylko wtedy, gdy w grupie N
istnieje osoba i bêd¹ca dyktatorem ze wzglêdu na F .
Tak wiêc, jeœli i jest dyktatorem, to dla dowolnych dwu ró¿nych opcji x i y i dowolnego profilu
( R ,…, R ) st¹d, ¿e xP y , wynika, ¿e xPy , gdzie P pochodzi od R = F ( R ,…, R ). Dyktatura oznacza, ¿e
niezale¿nie od zapatrywañ wszystkich osób wyj¹wszy i -t¹, grupa zawsze (przy porównaniu ka¿dej
pary opcji) zmuszona jest moc¹ regu³y przyj¹æ punkt widzenia jednej i zawsze tej samej osoby. £atwo
wykazaæ, ¿e jeœli grupa ma dyktatora, mo¿e nim byæ tylko jedna osoba. Poniewa¿ osoba ta rozstrzyga
ka¿dy dylemat, dyktatura tak zdefiniowana zas³uguje na miano 'totalitarnej'.
1
n
1
n
Twierdzenie 1 (Arrowa)
Jeœli m $3, wówczas dowolna funkcja spo³ecznego dobrobytu F spe³niaj¹ca postulaty 0, 1,2 i 3 jest
dyktatorska.
5
dwoma ró¿nymi opcjami, zaœ ( R ,…, R ) dowolnym profilem takim, ¿e xP y dla ka¿dego i . Profil ten
1

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin