wnioskowanie statystyczne.doc

WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE:

Jest to uogólnienie wyników otrzymanych w próbie na populacje generalną.

ESTYMACJA – próba losowa prosta

x – zmienna losowa określona w populacji generalnej

DEFINICJA 1: (x1, x2, ..., xn)

xi – zmienne niezależne, mają ten sam rozkład co zmienna losowa x

(x1, x2, ..., xn)® (x1, x2, ..., xn) – realizuje próby losowej prostej

DEFINICJA 2: przestrzeń prób

KI={(x1, x2, ..., xn)}  i = 1, 2, ..., n

DEFINICJA 3:

Statystyką nazywamy funkcje określoną na próbie losowej prostej.

U = f(x1, x2, ..., xn)

U – statystyka z próby

np. (x1, x2, ..., xn)

U = f(x1, x2, ..., xn) = xi

UWAGA:

Rozkład statystyk z próby zależy od:

§         rozkładu zmiennej losowej

§         liczebności z próby

PRZYKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK:

1.      Rozkład średniej arytmetycznej z próby:

a). x: N(m,s)

(x1, x2, ..., xn) – próba losowa prosta

                               m                    x

statystyka

b).    s - nieznane

statystyka

ma rozkład studenta o (n-1) stopniach swobody

S – odchylenie standardowe z próby losowej prostej

(n ®a) Þ Tn-1 » N(0,1)

2.      Rozkład wariancji z próby:

x: N(m,s)

statystyka ma rozkład

UWAGA:

WNIOSEK:

n > 30

ESTYMACJA – szacowanie parametrów lub rozkłądów populacji generalnej na podstawie wyników zaobserwowanych w próbie

§         estymacja parametryczna (określenie parametrów rozkładu)

§         estymacja nieparametryczna (typ funkcji gestości lub funkcji rozkłądu prawdopod. określ.)

ESTYMACJA PARAMETRYCZNA:

§         estymacja punktowa polega na oszacowaniu parametru podając jego wartość

§         estymacja przedziałowa podaje przedział, w którym ten parametr się znajduje

Estymatorem parametru Q nazywamy statystykę

zn = f(x1, x2, ..., xn), której rozkład zależy od szacowanego parametru.

Estymator jest zmienną losową.

Rozkład zn zalezy od szacowanego parametru.

zn = f(x1, x2, ..., xn) – ocena parametru Q

Wartość estymatora dla dowolnego elementu przestrzeni prób jest to ocena param. Q.

d = zn – Q  – błąd estymatora

D = E(zn – Q)2 – miara błędu estymatora

UWAGA:

Ezn = 0 Þ D = D2zn

Dzn – średni błąd szacunku param. Q

WŁASNOŚCI ESTYMATORÓW:

§         nieobciążność

§         zgodność

§         efektywność

§         dostateczność

Estymator param. Q jest nieobciążony jeśli Ezn = Q

Ezn – Q = s (2n)   s (2n) – obciążoność estymatora

PRZYKŁAD 1:

x – zmienna losowa o nieznanym rozkładzie

(x1, x2, ..., xn) – próba losowa prosta

Q = EX

zn :

zn = xi   EXi = EX

PRZYKŁAD 2: (wariancja estymatora)

D2X = Q

S2 =

DEFINICJA 1:

- estymator asymptotycznie nieobciążony

DEFINICJA 2:

Estymator param. Q jest zgodny jeśli: ;

e - dowolne

UWAGA:

Jeżeli zn jest estymatorem zgodnym to jest estymatorem nieobciążonym. Jeżeli zn jest nieobciążony i to zn jest estymatorem zgodnym

EFEKTYWNOŚĆ:

Niech {zn1, zn2, ..., znk}; Ezni = Q

l = 1, ..., k

DEFINICJA 1:

Estymator zn* spełniający warunek: min{D2(znl)} = D2(zn*) ; 1 £ i k

zn* - najefektywniejszy estymator param. Q

NIERÓWNOŚĆ RAO – GAMERA:

f – funkcja gęstości zm. los. x

efektywność zni

e (.) Î (0,1>

zn asymptotycznie najefektywniejszy

DEFINICJA 2:

Zn  - dostateczna, jeżeli zawiera wszystkie informacje dotyczące parametru Q wystepującego w próbie losowej prostej

ESTYMACJA PRZEDZIAŁOWA:

DEFINICJA 1:

Przedziałem ufności  param.Q nazywamy przedział spełniający nastepujący warunek:

P{g1(zn) < Q < g2(zn)} = 1- a

[g1(zn) ; g2(zn)] – przedział ufności

1 - a  - współczynnik ufności

(1 - a = 0,90 Ú 0,95 Ú 0,99)

Przedział ufności dla średniej w populacji normalnej.

A:   x: N(m,s)  m=?  s - znane

(x1, x2, ..., xn) – próba losowa prosta

1 - a  - zadany

Zn:

P{-za < z < za} = 1 - a

                                  f(x)

                    1 - a         

         - za                          za          z

() – przedział ufności dla EX

UWAGA:

(x1, x2, ..., xn) Î kl Þ

- liczbowy przedział ufności

       f(x)                        xn

                                           xn

                                                     xn

                                   xn

                                     xn

                             m                      x

WZGLĄDNA PRECYZJA SZACUNKU:

5%< £ 10% - uogólnianie wyników z próby na populacje; dobrac ostroznie

> 10% - nie przeprowadzać uogólnień