test_t.pdf

Wprowadzenie do testowania hipotez ¤ na przyk“adzie testu

r ó wno–ci –rednich.

1 Przedzia“ ufno–ci dla –redniej.

Podstawow¡ bol¡czk¡ statystyki jest to, »e uzyskane dziƒki niej wynik i jedynie przybli»aj¡ informacje

o badanych zjawiskach. Dla przyk“adu, wyliczaj¡c –redni¡ arytmetyczn¡ x z pr ó bki x 1 ;x 2 ;:::;x n pocho-

dz¡cej z pewnej pr ó by prostej X 1 ;X 2 ;:::X n o rozk“adzie X; jedynie przybli»amy (estymujemy) warto–¢

oczekiwan¡ E X: Robimy to tym lepiej im liczniejsz¡ pr ó b¡ dysponujemy.

W przypadku, gdy zmienna X ma rozk“ad normalny o pewnych (nieznanych) parametrach N ( ¹;¾ )

“atwo mo»na oceni¢ jako–¢ estymacji. Korzystaj¡c z faktu, »e zmienna losowa:

T = X¡¹

S X

p n gdzie S X =

v u u t

n X

( X i ¡X ) 2

n¡ 1

(1)

i =1

ma rozk“ad t -Studenta o n¡ 1stopniach swobody mo»emy, dla zadanego ® (np. ® =0 ; 05) uzyska¢, »e:

³ ®

2 ;n¡ 1

´ S x p n ;x + t

1 ¡ ®

´ S x p n

¸¶

¹2

x + t

2 ;n¡ 1

=1 ¡®:

Przedzia“ w powy»szej r ó wno–ci jest przedzia“em ufno–ci dla –redniej (parametru ¹ ) na poziomie

oznacza kwantyl rzƒdu ® 2 z rozk“adu t -Studenta o n¡ 1stopniach swobody.

2 Testowanie hipotez idea.

Wynik do–wiadczenia statystycznego czƒsto musi by¢ podany w formie –cis“ego stwierdzenia, po-

trzebnego na przyk“ad do podjƒcia jakiej– decyzji, b¡d„ wery kuj¡cego badania z innej dziedziny nauki.

Producenta proszku do prania mo»e interesowa¢ czy wprowadzany na rynek nowy produkt jest lepszy,

czy mo»e taki sam jak produkty konkurencji, za– tw ó rcƒ wykroj ó w ubra« czy przygotowany przeze«

projekt bƒdzie odpowiada“ wymiarom przeciƒtnej klientki. Warto zauwa»y¢, »e odbiorca bada« nie musi

(i najczƒ–ciej nie jest) specjalist¡ w dziedzinie statystyki st¡d podanie wynik ó w w formie np. estyma-

cji przedzia“owej mo»e nie wchodzi¢ w grƒ. Aby udzieli¢ –cis“ej odpowiedzi dokonuje siƒ progowania to

znaczy okre–lenia momentu od kt ó rego dany s¡d siƒ odrzuca. Dopuszczalne jest przy tym pope“nienie

b“ƒdu, cho¢ prawdopodobie«stwo jego pope“nienia staramy siƒ ograniczy¢.

Bardziej precyzyjnie: stawiamy w formie hipotezy podstawowej H pewien –cis“y s¡d (np. E X = ¹ 0 ;

albo zmienna X ma rozk“ad dany dystrybuant¡ F ). Tworzymy hipotezƒ alternatywn¡ K stawiaj¡c

pewien s¡d wykluczaj¡cy H (np. E X>¹ 0 ; albo odpowiednio F nie jest dystrybuant¡ X ). Dla zadanego

(ma“ego) ® okre–lamy poziom istotno–ci1 ¡® na kt ó rym dokonamy wery kacji hipotezy H: Mo»emy

przy tej wery kacji pope“ni¢ b“ƒdy dwojakiego rodzaju:

² b“¡d I-go rodzaju odrzucenie prawdziwej hipotezy H

² b“¡d II-go rodzaju przyjƒcie fa“szywej hipotezy H:

¤ Niniejsze wprowadzenie w »adnym razie nie mo»e zast¡pi¢ wyk“adu ze statystyki ani studiowania powa»niejszych pozycji

statystycznych. Jest jedynie skr ó tow¡ i do–¢ ma“o precyzyjn¡ pr ó b¡ wyja–nienia sedna testowania hipotez statystycznych.

ufno–ci1 ¡®; za– t ¡ ® 2 ;n¡ 1 ¢

Prawdopodobie«stwo pope“nienia b“ƒdu I-go rodzaju jest ograniczone przez ®; za– poprzez procedurƒ

testowania minimalizowany jest b“¡d II-go rodzaju.

Na etapie tworzenia testu konstruowana jest statystyka testowa, czyli pewna funkcja element ó w

pr ó by T = f ( X 1 ;X 2 ;:::X n )oraz wyznaczany jest jej rozk“ad przy za“o»eniu prawdziwo–ci hipotezy

podstawowej. Okre–lany jest te» zbi ó r krytyczny W czyli pewien zbi ó r warto–ci statystyki testowej

o mierze ® (wg rozk“adu statystyki T ). Zbi ó r W wyznaczany jest tak, aby zminimalizowa¢ b“¡d II-go

rodzaju czyli zawiera warto–ci uprawdopodobniaj¡ce prawdziwo–¢ hipotezy konkurencyjnej.

Wery kacja hipotezy H polega na obliczeniu dla pr ó bki warto–ci t statystyki testowej i zbadaniu czy

zachodzi t2W:

² Je»eli t2W to hipotezƒ podstawow¡ H nale»y odrzuci¢. Oznacza to, »e przyjƒcie hipotezy K (jest

to de facto statystyczny dow ó d hipotezy K; gdy» prawdopodobie«stwo jej prawdziwo–ci jest wtedy

co najmniej1 ¡® ).

² Je»eli t62W powiemy, »e nie mamy podstaw by odrzuci¢ hipotezƒ H: By¢ mo»e, cho¢ niekoniecznie,

jest ona prawdziwa.

3 Testowanie warto–ci –rednich w rozk“adzie normalnym.

Gdy badana pr ó ba prosta X 1 ;X 2 ;:::X n ma rozk“ad normalny (o nieznanych parametrach) jednym

z istotnych problem ó w (por. przyk“ad o krojczym powy»ej) jest wery kacja hipotez o warto–ci oczekiwanej

tego rozk“adu.

Dla pewnej (wynikaj¡cej na przyk“ad z rozwa»a« teoretycznych) warto–ci ¹ 0 mo»na postawi¢ hipotezƒ:

²H : E X = ¹ 0 :

Jako hipotezƒ alternatywn¡ (w zale»no–ci od przedmiotu badania) mo»na postawi¢ jedn¡ z trzech hipotez:

²K 1 : E X>¹ 0

²K 2 : E X<¹ 0

²K 3 : E X6 = ¹ 0 :

Zgodnie z tym co podano wcze–niej (por. (1)), gdy prawdziwa jest hipoteza H to statystyka testowa:

T = X¡¹ 0

S X

p n (2)

ma rozk“ad t -Studenta o n¡ 1stopniach swobody.

Z uwagi na hipotezƒ konkurencyjn¡ zbi ó r krytyczny powinien zawiera¢ warto–ci (odpowiednio):

² jak najwiƒksze

² jak najmniejsze

² zar ó wno najwiƒksze jak i najmniejsze.

St¡d ma on posta¢:

²W 1 =[ t (1 ¡®;n¡ 1) ;1 )

²W 2 =( ¡1;t ( ®;n¡ 1)]

²W 3 = ¡ ¡1;t ¡ ® 2 ;n¡ 1 ¢¤ [ £ t ¡ 1 ¡ ® 2 ;n¡ 1 ¢ ;1 ¢ ;

gdzie t ( ®;n¡ 1)oznacza kwantyl rzƒdu ® z rozk“adu t -Studenta o n¡ 1stopniach swobody.

Po wyznaczeniu w oparciu o pr ó bkƒ warto–ci t statystyki testowej dokonujemy wery kacji hipotezy

H sprawdzaj¡c, czy t wpada do zbioru krytycznego.

4 Inne warianty testu r ó wno–ci –rednich

Czƒsto ciekawsze ni» opisane powy»ej jest badanie r ó wno–ci –rednich z dw ó ch pr ó b statystycznych.

Np. wspomniany producent proszku do prania m ó g“by pr ó bowa¢ w ten spos ó b wykaza¢, »e jego produkt

jest statystycznie lepszy ni» produkt konkurencyjny.

Je–li mamy dwie niezale»ne pr ó by proste X 1 ;X 2 ;:::X n oraz Y 1 ;Y 2 ;:::Y k obie w rozk“adzie nor-

malnym o nieznanych parametrach, ale jednakowej (cho¢ nieznanej!) wariancji mo»emy wykona¢ test

r ó wno–ci –rednich dla pr ó b niezale»nych testuj¡c hipotezƒ H : E X =E Y: Jako hipotezƒ alterna-

tywn¡ mo»emy podobnie jak powy»ej postawi¢ jeden z trzech wariant ó w (producent proszku postawi“by

K : E X> E Y ). Test jest w pe“ni analogiczny do opisanego powy»ej z tym, »e statystyka testowa jest

postaci:

T = X¡Y

S XY

gdzie S XY =

( n¡ 1) S 2 X +( k¡ 1) S 2 Y

n + k¡ 2

(3)

i ma rozk“ad t -Studenta o n + k¡ 2stopniach swobody. Odrzucenie (na wybranym poziomie istotno–ci)

hipotezy H by“oby dla producenta proszku statystycznym dowodem przewagi nad konkurencj¡.

Inn¡ odmian¡ opisywanego testu jest test r ó wno–ci –rednich dla pr ó b zale»nych. Maj¡c dwuwy-

miarow¡ pr ó bƒ prost¡( X 1 ;Y 1 ) ; ( X 2 ;Y 2 ) ;:::; ( X n ;Y n )mo»na nim zwery kowa¢ hipotezƒ H : E X =E Y:

Aby wykona¢ test tworzymy now¡ (sztuczn¡) pr ó bƒ k“ad¡c R i = X i ¡Y i i testujemy hipotezƒ H 0 : E R =0

wed“ug schematu z poprzedniego podrozdzia“u. Warunkiem jest oczywi–cie by zmienne R i mia“y rozk“ad

normalny.

Test ten mo»na stosowa¢ tak»e w ó wczas, gdy zmienne X i i Y i s¡ niezale»ne i maj¡ rozk“ad normalny.

Uzyskujemy w ó wczas test dla pr ó b niezale»nych, kt ó ry nie wymaga r ó wno–ci wariancji.

Literatura

[1] L. Gajek, M. Ka“uszka, Wnioskowanie statystyczne. Modele i metody, WNT, Warszawa, 1999.

[2] R. Zieli«ski, Siedem wyk“ad ó w wprowadzaj¡cych do statystyki matematycznej, Warszawa 2009,

http://www.impan.gov.pl/~rziel/7ALL.pdf

q 1 n + 1 k

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: