1. Układy liniowe:
1.1. Rachunek operatorowy Laplace’a :
Transformację Laplace’a wykorzystuje się do rozwiązywania liniowych równań różniczkowych o stałych współczynnikach.
Podstawowe własności transformaty Laplace’a:
1)
2)
uwaga : zatem transformatę pochodnej możemy wyznaczyć na podstawie transformaty funkcji (nie trzeba jej specjalnie liczyć)
3) Ogólnie przy założeniu zerowych warunków początkowych, mamy:
4) Twierdzenie graniczne
5) Transformaty Laplace’a podstawowe funkcji czasu są podane w tabelach ( nie wymaga się stosowania wzoru definicyjnego)
1.2. Podstawowe definicje układów dynamicznych
wejścia u(t) układ dynamiczny wyjścia y(t)
(sterowania) (odpowiedzi)
x(t) - stan układu
Definicja: Układem dynamicznym nazywa się układ fizykalny z wyróżnionymi wejściami u(t) i wyjściami y(t), którego zachowanie się w czasie opisują relacje matematyczne zwane modelem matematycznym układu dynamicznego.
Będziemy się zajmować jedynie liniowymi ciągłymi stacjonarnymi układami dynamicznymi o skalarnym wejściu u(t) i skalarnym wyjściu y(t) (są to najprostsze układy dynamiczne) ; skrót DLSC D-dynamiczne L-liniowe
C-ciągłe S- stałe
L - liniowość modelu matematycznego S - stacjonarność- niezmienność parametru modelu matematycznego w czasie
C - ciągłość- model matematyczny jest równaniem różniczkowym zwyczajnym
Zatem układy DLSC są to układy w których modelem matematycznym są liniowe równania różniczkowe liniowe o stałych współczynnikach.
1.3. Model matematyczny układów DLSC
R ' u(t) układ y(t)ÎR
DLSC
skalarne wejście skalarne wyjście
(sterowanie) (odpowiedź)
Istnieją trzy równoważne modele matematyczne układów DLSC:
1) równania dynamiki
2) transmitancja operatorowa
3) równanie stanu i równanie wyjścia
ad.1. Równanie dynamiki wiąże bezpośrednio wejście układu u(t) z wyjściem układu y(t) i jego pochodnymi y(k)(t) k=1,2,...n
Równanie dynamiki dla układów DLSC jest liniowym równaniem różniczkowym zwyczajnym o stałych współczynnikach.
Uwagi:
1 w praktyce zakłada się zerowe warunki początkowe dla równania dynamicznego i wówczas stosunkowo łatwo jest je rozwiązać wykorzystując rachunek operatorowy Laplace’a
2 równanie dynamiczne, które jest równaniem n- tego rzędu można zastąpić równoważnym układem n równań różniczkowych zwyczajnych pierwszego rzędu liniowych o stałych współczynnikach ( tzw. równania stanu).
1.4. Transmitancja operatorowa
Wyprowadzamy na podstawie równania dynamicznego:
różniczkowe równanie dynamiki ; założenie: wszystkie warunki początkowe są zerowe
Dokonujemy transformacji Laplace’a obu stron równania dynamicznego
k(s) - transmitancja operatorowa ( model matematyczny układu DLSC )
y(s) = k(s) u(s)
Definicja: Transmitancją operatorowa k(s) układu DLSC nazywa się stosunek transformaty Laplace’a wyjścia y(s) do transformaty wejścia u(s) przy zerowych warunkach początkowych.
1.5. Własności transmitancji operatorowej k(s)
1.5.1. Transmitancja operatorowa k(s) jest funkcją wymierną zmiennej zespolonej -s- ( ilorazem dwóch wielomianów zmiennej s)
1.5.2. Za pomocą transmitancji operatorowej k(s) można stosunkowo łatwo wyznaczyć reakcję układu DLSC na zadane sterowanie u(t).
u(t) układ DLSC y(t)=?
u(t) - dane
k(s) u(s) - dane
u(s)=L{u(t)} y(s)=L{y(t)}
ALGORYTM:
1. Na podstawie u(t) ze słownika transformat wyznaczamy u(s) u(s)=L{u(t)}
2. y(s) = k(s) u(s) Þ y(s)=L{y(t)}
3. Na podstawie słownika transformacji y(t)=L -1{y(s)}
KOMENTARZE
Równanie charakterystyczne jest równaniem algebraicznym n-tego stopnia, a zatem posiada dokładnie -n- pierwiastków s1 , s2 , sk , ... , sn . Pierwiastki te noszą nazwę biegunów Transmitancji operatorowej k(s). Bieguny mogą być pojedyncze lub wielokrotne, rzeczywiste lub zespolone.
4. Odpowiedź skokowa
W automatyce istnieją wyróżniane sygnały posiadające istotne znaczenie przy badaniu układów dynamicznych.
Do takich układów należą: a) skok jednostkowy
b) impuls Diraca
c) sinusoida
Odpowiedź skokowa układu DLSC jest sygnałem wyjściowym z tego układu przy sygnale wejściowym będącym skokiem jednostkowym. 1(t) skok jednostkowy
1
0
1 DLSC h(t) odpowiedź skokowa
t k(s) t
Znając transmitancję operatorową k(s) możemy wyznaczyć odpowiedź skokową korzystając ze słownika transmitancji Laplace’a.
5. Odpowiedź impulsowa
d(t)
t
Odpowiedź impulsowa układu DLSC jest to sygnał wyjściowy przy podanym na wejście impulsie Di rac’a
L{d(t)}=1
d(t) impuls Diraca DLSC k(t)
t k(s)
1.Odpowiedź impulsowa jest czasowym przebiegiem transmitancji operatorowej k(s).
2.Pomiędzy odpowiedzią skokową, a impulsową istnieje zależność :
Pochodna odpowiedzi skokowej h(t) jest odpowiedzią impulsową k(t).
6. Współczynnik wzmocnienia
Definicja: Współczynnik wzmocnienia k układu DLSC nazywa się granicę przy t®¥ (o ile istnieje) odpowiedzi skokowej h(t)
t k(s) k t
W praktyce posługujemy się wzorem na wyznaczanie współczynnika wzmocnienia k.
1.6. Charakterystyki częstotliwościowe
Charakterystyki częstotliwościowe układów DLSC związane z są sygnałami sinusoidalnymi.
Definicja: Transmitancją widmową układu DLSC nazywa się wyrażenie:
Dla każdej ustalonej częstotliwości w transmitancja widmowa k(jw) jest liczbą zespoloną.
Definicja: Charakterystyką częstotliwościową układu DLSC nazywa się przebieg w płaszczyźnie zespolonej transmitancji k(jw) przy wÎ[0,¥].
Im [ k(jw)]
Re [ k(jw)] k - współczynnik wzmocnienia
arg [ k(jw)] w=0 Re [ k(jw)]
k(jw)
Charakterystyka częstotliwościowa układu DLSC zaczyna się na osi rzeczywistej (dla wartości k), a kończy się w początku układu współrzędnych.
Transmitancja widmowa k(jw) opisuje własności układu DLSC dla sygnałów sinusoidalnych. Podając na wejście układu DLSC sygnał sinusoidalny uzyskuje się na jego wyjściu w stanie ustalonym również sygnał sinusoidalny, tylko o innych parametrach.
...
WindowsLife