09 - badanie_zmienno_ci.pdf - Wykłady - Matematyka podstawowa - aneciakurczaczek

przygotowala Joanna Grabowska na podstawie Szymanski, Drobka “Ma

tematyka w szkole sredniej. Powtorzenie i zbior zadan” oraz Leksinski, Na

bialek,

1 Badanie przebiegu zmiennosci funckji

1.1 Algorytm badania wykresu funkcji

1) Wyznaczamy dziedzine funkcji f;

2) wyznaczamy granice funkcji na koncach przedzialow, z ktorych sklada sie

dziedzina;

3) znajdujemy miejsca zerowe funkcji f i punkt, w ktorym wykres przecina

os y;

4) wyznaczamy pochodna funkcji f i znajdujemy miejsca zerowe pochodnej;

5) znajdujemy przedzialy monotonicznosci funkcji i jej ekstrema (jesli ist

nieja);

6) badamy, czy istnieja asymptoty wykresu funkcji i znajdujemy ich ronania;

7) wykorzystujac dane zebrane w pkt 16 budujemy tabele zmiennosci i szki

cujemy wykresy funkcji f

1.2 Asymptoty wykresu funkcji

Jesli funkcja f jest okreslona w przedziale ( , +∞) i istnieje skonczone gra

nica lim x→+ f (x) = b, to prosta o rownianiu y = b nazywamy asymp

tota pozioma wykresu funkcji f w plus nieskonczonosci. Podobnie jesli

funkcja f jest okreslona w przedzxiale (−∞, ) i istnieje skonczona gra

nica lim x→− f (x) = b to prosta o rownaniu y = b nazywamy asymptota

pozioma funkcji f w minus nieskonczonosci. Jesli prosta o rownaniu y = b

jest asymptota pozioma wykresu funkcji f zarowno w plus, jak i w minus

niekonczonosci, to nazywamy ja asymptota pozioma obustronna. Jesli pro

sta o rownaniu y = b jest asymptota pionowa wykresu funkcji f, to wykres

funkcji zbiliza sie do tej prostej, gdy x dazy do nieskonczonosci.

Jesli funkcja f jest okreslona w przedziale ( , +∞) i istnieje skonczone

granica lim x→a + f (x) = b, lub lim x→a + f (x) =−∞to prosta o rownianiu

x = a nazywamy asymptota prawostronna pionowa wykresu funkcji f w plus

nieskonczonosci. Podobnie okreslamy asymptote lewostronna. Jesli prosta

jest jednoczesnie asymptota pionowaprawo i lewostronnato jest asymptota

pionowa obustronna.

1.3 Monotonicznosc funkcji

Jesli funkcja f jest okreslona i rozniczkowalna w przedziale (a,b) i przy tym

jest funkcja rosnaca w tym przedziale, to jej pochodna f’ jest w kazdym

Zakowski “Matematyka, deﬁnicje, twierdzenia, przyklady, zadania”

punkcie przedzialu (a,b) nieujemna.

Jesli funkcja f jest okreslona i rozniczkowalna w przedziale (a,b) i przy

tym jest funkcja malejaca w tym przedziale, to jej pochodna f’ jest w kazdym

punkcie przedzialu (a,b) niedodatnia.

Jesli funkcja f jest okreslona i rozniczkowalna w przedziale (a,b), a jej

pochodna f’ przyjmuje co najwyzej skonczonej liczbie punktow przedzialu

wartosc zero, a we wszystkich pozostalych punktach przedzialu jest dodat

nia, to funkcja f jest w przedziale (a,b) rosnaca.

Jesli funkcja f jest okreslona i rozniczkowalna w przedziale (a,b), a jej

pochodna f’ przyjmuje co najwyzej skonczonej liczbie punktow przedzialu

wartosc zero, a we wszystkich pozostalych punktach przedzialu jest ujemna,

to funkcja f jest w przedziale (a,b) malejaca.

1.4 Ekstremum funkcji

Zalozmy, ze funkcja f jest okreslona w przedziale (a, b) i x 0 ∈(a, b). Mowimy,

ze funkcja f osiaga w punkcie x 0 maksimum, jesli istnieje taki przedzial

(a 1 , b ) ⊂(a, b) o srodku w punkcie x 0 to dla kazdego x∈(a 1 , b ) ix = x 0 za

chodzi nierownosc f (x) < f (x 0 ). Analogicznie okreslamy minimum funkcji.

Ekstrema funkcji to minimum lub maksimum funkcji.

2 Przyklad badania zmiennosci funkcji

2.1 Zadanie 1

Zbadamy przebieg zmiennoscio funkcji f okreslanej wzorem f (x) =

x 3 +4

x 2

1) df = (−∞, 0) i (0, +∞) 2) lim x→+∞ ( x 3 +4

x 2 ) = lim x→+∞ (x +

x 2 ) = +∞

lim x→−∞ ( x 3 +4

x 2 ) =−∞

lim x→0 + ( x 3 +4

x 2 ) lim x→0 − ( x 3 +4

x 2 ) = lim x→+∞ (x +

x 2 ) = +∞

3) f (x) = 0⇔x 3 + 4 = 0 i X 2

= 0⇔x =− √

3 4, a poniewaz 0 /∈Df ,

wiec wykres funkcji nei przecina osi y;

4) f ′ (x) =

(x 3 +4) ′ x 2 −(x 3 +4)(x 2 ) ′

x 4

x 4 −8x

x 4

f ′ (x) = 0⇔x 4 −8x = 0 i x 4

= 0⇔x = 2

5) przedzialy monotonicznosci funkcji f:

f ′ (x) > 0⇔x(x−2) > 2 i x = 0

f ′ (x) < 0⇔x(x−2) < 2 i x = 0

stad otrzymujemy:

f ′ (x) > 0⇔x∈(−∞, 0) i x∈(2,∞)

f ′ (x) < 0⇔x∈(0, 2)

Zatem funkcja rosnie w przedzialach (−∞, 0) i (2,∞) i maleje w prze

dziale (0, 2). W takim razie wynika,ze f osiaga maksimum w punkcie x 0 = 2

i f min = 3

6) Poniewqaz nie istnieje skonczona granica funkcji w nieskonczonosci ani

granica w minus nieskonczonosci, to nie istnieje pozioma asymptota wykresu

funkcji f.

Istnieje natomiast asymptota pionowa, jest nia prosta o rownaniu x = 0.

x 3 . Granica ta istnieje i wynosi

1. Znaczy to, ze wspolczynnik kierunkowy ewentualnej asymptoty jest rowny

1. Teraz badamy istnienie granicy lim x→−∞ ( f(x 3 +4)

, czyli lim x→−∞ f(x 3 +4)

−x). Granica ta wy

nosi zero. W takim razie asymptota pochyla jest prosta o rownianiu x=y.

x 2

7) Wykorzystujac zebrane o funkcji wiadomosci, budujemy tabele zmiennosci

funkcji, a nastepnie szkicujemy wykres.

|x (−∞, 0) 0 (0, 2) 2 (2,∞)

f ′ (x)

(+)

x (−) 0 (+)

f ′ (x)

(↑)

x (↓) 3 (↑)

2.2 Zadanie 2

Zbadac funkcje: y =

x−1

e x

Rozwiazanie: Dziedzina funkcji: Df = (−∞, 0) i (0.∞) Mamy nastepnie

y→1, gdy x→−∞lub x→∞, y→−∞, gdy x→0 − oraz

lim x→0 + y = lim x→0 + x−1

e x

lim u→∞ 1−u

= H lim u→∞ −1

= 0

e u

, gdzie u =

Z przeprowadzonych obliczen granic wynika, ze wykres funkcji ma lewo

stronna asymptote pionowa o rownaniu x= 0, oraz obustronna asymptote

pozioma y = 1. Wynika stad, ze nie istnieje zadna asymptota ukosna.

Obliczamy pierwsza pochodna y ′ =

2x−1

x 3 e − x . Poniewaz Df ′ = Df ,

y ′ = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy x =

oraz pochodna zmienia znak w punkcie

x =

2 z ujemnego na dodatni, wiec funkcja w tym punkcie ma ekstremum,

Aby zbadac istnienie asymptoty pochylej, najpierw badamy istnbienie

granicy lim x→−∞ f(x)

e 2 . Poniewaz y ′ > 0 na przedziale (−∞, 0) i na

przedziale ( 2 ,∞), wiec funkcja jest na tych przedzialach rosnaca. Poniewaz

y ′ < 0 na przedziale (0, 2 ), wiec funkcja jest malejaca na tym przedziale.

na podstawie uzyskanych informacji sporzadzamy tabelke zmiennosci

funkcjii sporzadzamy wykres.

|x (−∞, 0) 0 (0, 2 ) ( 2 ) ( 2 ,∞)

f ′ (x)

(+)

x (−)

(+)

f ′ (x)

(↑)

x (↓) ( −1

e 2 )

(↑)

minimum; y m in = y( 2 ) = −1

09 - badanie_zmienno_ci.pdf

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: