09.1 - Iloczyn mieszanych wektorów.pdf

(65 KB) Pobierz
6395327 UNPDF
1
Wydział: WILi, Budownictwo i Transport, sem.2
dr Jolanta Dymkowska
Iloczynmieszanywektorów
Definicja Iloczynemmieszanym trójki wektorów ~a , ~ b i ~c nazywamy liczb¦
( ~a × ~ b ) ~c.
Uwaga Wektory ~a , ~ b i ~c s¡ liniowo niezale»ne wtedy i tylko wtedy, gdy ( ~a × ~ b ) ~c 6 = 0 .
Zatem, je»eli ( ~a × ~ b ) ~c = 0 , to wektory ~a , ~ b i ~c s¡ liniowo zale»ne. Trójka wektorów
liniowo zale»nych (w R
współpłaszczyznowe.
(Uwaga powy»sza pozwala w szybki i prosty sposób sprawdza¢ liniow¡ niezalezno±¢ trójki wektorów
w R 3 , a tym samym ich współpłaszczyznowo±¢).
Interpretacja geometryczna iloczynu mieszanego
Rozwa»my równoległo±cian zbudowany na wektorach ~a , ~ b i ~c (rys.). Wówczas obj¦to±¢
takiego równoległo±cianu wyra»a si¦ wzorem:
V r = | ( ~a × ~ b ) ~c |
tj. obj¦to±¢ równoległo±cianu zbudowanego na wektorach ~a , ~ b i ~c jest równa warto±ci
bezwzgl¦dnej z iloczynu mieszanego tych wektorów.
Obj¦to±¢ czworo±cianu zbudowanego na wektorach ~a , ~ b i ~c wyra»a si¦ wzorem:
V cz =
6 | ( ~a × ~ b ) ~c |
3 ) le»y w jednej płaszczy¹nie, zatem wektory ~a , ~ b i ~c s¡ wówczas
1
6395327.001.png
2
Własno±ci (iloczynumieszanegowektorów)
( ~a × ~ b ) ~c = − ( ~ b × ~a ) ~c
( ~a × ~ b ) ~c = − ( ~a × ~c ) ~ b
( ~a × ~ b ) ~c = ( ~c × ~a ) ~ b = ( ~ b × ~c ) ~a
Twierdzenie Je»eli ~a = [ a 1 ,a 2 ,a 3 ] , ~ b = [ b 1 ,b 2 ,b 3 ] i ~c = [ c 1 ,c 2 ,c 3 ] , to
( ~a × ~ b ) ~c =
a 1 a 2 a 3
b 1 b 2 b 3
c 1 c 2 c 3
Przykład Oblicz obj¦to±¢ równoległo±cianu zbudowanego na wektorach ~a = [ 1 , 1 , 1] , ~ b =
[ 1 , 1 , − 3] i ~c = [ 2 , − 1 , − 1] .
Rozwi¡zanie
Obj¦to±¢ równoległo±cianu zbudowanego na wektorach ~a , ~ b i ~c jest równa
V r = | ( ~a × ~ b ) ~c |
Zatem obliczmy najpierw iloczyn mieszany wektorów ~a , ~ b i ~c , korzystaj¡c z powy»szego twier-
dzenia:
1 1 1
1 1 − 3
2 − 1 − 1
( ~a × ~ b ) ~c =
= − 1 − 6 − 1 − 2 − 3 + 1 = − 12
V r = | ( ~a × ~ b ) ~c | = |− 12 | = 12
Odpowied¹ Obj¦to±¢ równoległo±cianu zbudowanego na wektorach ~a , ~ b i ~c jest równa 12.
St¡d
6395327.002.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin