wzorTaylora.pdf

(91 KB) Pobierz
319544833 UNPDF
TWIERDZENIEROLLE’A
Niech f b¦dziefunkcj¡ci¡gł¡wprzedziale a ¬ x ¬ b iró»niczkowaln¡wewn¡trztegoprzedziału.Je±li f ( a )=
f ( b ),toistniejeconajmniejjedenpunkt c 2 ( a,b )taki,»e
f 0 ( c )=0 .
TWIERDZENIELAGRANGE’AOWARTOCIREDNIEJ
Je»elifunkcja f jestci¡gławprzedziale a ¬ x ¬ b iró»niczkowalnawewn¡trztegoprzedziału,toistniejeco
najmniejjedenpunkt c 2 ( a,b )taki,»e
f ( b ) − f ( a )
b − a = f 0 ( c ) .
WZÓRTAYLORA
WzórTaylora-przedstawieniefunkcji( n +1)-razyró»niczkowalnejprzypomocywielomianuzale»negood
kolejnychjejpochodnychorazdostateczniemałejreszty.
Je»elifunkcja f maci¡głepochodnedorz¦du n wł¡czniewprzedzialedomkni¦tymoko«cach x 0 i x orazma
pochodn¡rz¦du( n +1)wewn¡trztegoprzedziału,toistniejetakipunkt c le»¡cypomi¦dzy x 0 i x ,»efunkcj¦ f
mo»naprzedstawi¢wpostaci
1! ( x − x 0 )+ f 00 ( x 0 )
2! ( x − x 0 ) 2 + ... + f ( n ) ( x 0 )
n ! ( x − x 0 ) n + R n ( x,c ) ,
gdzie
( n +1)! ( x − x 0 ) n +1 .
R n ( x,c )nazywamyreszt¡wzoruTaylorawpostaciLagrange’a, c za±punktempo±rednimi
R n ( x,c )= f ( n +1) ( c )
c = x 0 + ( x − x 0 ) , 0 < < 1 .
Je»eli x 0 =0,towzórTayloranazywamywzoremMaclaurina
f ( x )= f (0)+ f 0 (0)
1! x + f 00 (0)
2! x 2 + ... + f ( n ) (0)
n ! x n + R n ( x,c ) ,
oraz
R n ( x,c )= f ( n +1) ( c )
( n +1)! x n +1 , c = x, 2 (0 , 1) .
1
f ( x )= f ( x 0 )+ f 0 ( x 0 )
Zadanie1. Sprawdzi¢,czypodanefunkcjespełniaj¡zało»eniatwierdzeniaRolle’awpodanychprzedziałach:
a) f ( x )= x 3 +4 x 2 − 7 x − 10, − 1 ¬ x ¬ 2
b) f ( x )= 4 − tg | x | , − 1 ¬ x ¬ 1
Ad.a) 1 Funkcja f jestci¡głana R ,zatemwszczególno±cijestci¡głanaprzedziale[ − 1 , 2]
2 Funkcja f jestró»niczkowalnanaprzedziale( − 1 , 2)oraz
f 0 ( x )=3 x 2 +8 x − 7
3 f ( − 1)=0= f (2)
Spełniones¡wszystkiezało»eniatwierdzeniaRolle’a,wi¦cistniejepunkt c 2 ( − 1 , 2)taki,»e f 0 ( c )=0.
Ponadto
3 _ c = − 4 −
p
37
37
3 2 ( − 1 , 2) .
p
3 .
Ad.b) Funkcja f maposta¢:
f ( x )=
4 +tg x, − 1 ¬ x < 0
4 − tg x, 0 ¬ x ¬ 1
1 Łatwopokaza¢,»efunkcja f jestci¡głanaprzedziale[ − 1 , 1]
2 Funkcja f jestró»niczkowalnana( − 1 , 0) [ (0 , 1).Nale»ysprawdzi¢ró»niczkowalno±¢funkcji f w
punkcie x 0 =0:
f 0 − (0)=lim
h ! 0 −
f ( h ) − f (0)
h =lim
h ! 0 −
4 +tg h − 4
h =lim
h ! 0 −
sin h
h · cos h =1
− sin h
h · cos h = − 1
Poniewa» f 0 − (0) 6 = f 0 + (0),zatem f niejestró»niczkowalnawpunkcie x 0 =0,wi¦c f niejestró»nicz-
kowalnanaprzedziale( − 1 , 1).Zało»eniatwierdzeniaRolle’anies¡spełnione.
f 0 + (0)=lim
h ! 0 +
f ( h ) − f (0)
h =lim
4 − tg h − 4
h =lim
h ! 0 +
h ! 0 +
Zadanie2. Sprawdzi¢,czypodanefunkcjespełniaj¡zało»eniatwierdzeniaLagrange’awpodanychprzedziałach:
a) f ( x )= x − x 2 , − 2 ¬ x ¬ 1
b) f ( x )=arctg x , 0 ¬ x ¬ 1
Ad.a) 1 Funkcja f jestci¡głana R ,zatemwszczególno±cijestci¡głanaprzedziale[ − 2 , 1]
2 Funkcja f jestró»niczkowalnanaprzedziale( − 2 , 1)oraz
f 0 ( x )=1 − 2 x
Spełniones¡wszystkiezało»eniatwierdzeniaLagrange’a,wi¦cistniejepunkt c 2 ( − 2 , 1)taki,»e
f 0 ( c )= f (1) − f ( − 2)
1 − ( − 2) ,
gdzie f (1)=0i f ( − 2)= − 6.
Zatem
1 − 2 c = 6
3 , 1 − 2 c =2 , c = − 1
2 .
St¡d c = − 1 2 .
Ad.b) 1 Funkcja f jestci¡głana R ,zatemwszczególno±cijestci¡głanaprzedziale[0 , 1]
2
f 0 ( c )=0 , 3 c 2 +8 c − 7=0 , c = − 4+
St¡d c = − 4+ p 37
319544833.010.png 319544833.011.png 319544833.012.png 319544833.013.png 319544833.001.png 319544833.002.png
 
2 Funkcja f jestró»niczkowalnanaprzedziale(0 , 1)oraz
f 0 ( x )= 1
1+ x 2
Spełniones¡wszystkiezało»eniatwierdzeniaLagrange’a,wi¦cistniejepunkt c 2 (0 , 1)taki,»e
f 0 ( c )= f (1) − f (0)
1 − 0 ,
gdzie f (1)=arctg1= 4 i f (0)=arctg0=0.
Zatem
1+ c 2 =
q 4 (1 − 4 ) _ c = −
q 4 (1 − 4 ) 2 (0 , 1)
4 , c =
q 4 (1 − 4 ).
St¡d c =
Zadanie3. Napisa¢wzórTaylorarz¦du n dlafunkcji f wotoczeniu x 0 ,je±li
a) f ( x )=arcsin x , n =1, x 0 =0
b) f ( x )= x cos x , n =3, x 0 =0
c) f ( x )= x 3 ln x , n =3, x 0 =1
Ad.a) 1 D f =[ − 1 , 1]
ZewzoruTayloradla n =1i x 0 =0mamy
f ( x )=arcsin x = f (0)+ f 0 (0)
1! x + R 1 ,
gdzie
R 1 = f 00 ( x )
2! x 2
oraz
p 1 − x 2 , f 0 (0)=1
f 00 ( x )= x
p (1 − x 2 ) 3 .
Zatemdla | x | < 1
arcsin x =0+1 · x + x
2! p (1 − ( x ) 2 ) 3 · x 2 , 2 (0 , 1) .
Ad.b) 1 D f = R
ZewzoruTayloradla n =3i x 0 =0mamy
f ( x )= x cos x = f (0)+ f 0 (0)
1! x + f 00 (0)
2! x 2 + f (3) (0)
3! x 3 + R 3 ,
gdzie
R 3 = f (4) ( x )
4! x 4
oraz
f (0)=0
f 0 ( x )=cos x − x sin x, f 0 (0)=1
f 00 ( x )= − sin x − sin x − x cos x = − 2sin x − x cos x, f 00 (0)=0
f (3) ( x )= − 2cos x − cos x + x sin x = − 3cos x + x sin x, f (3) (0)= − 3
f (4) ( x )=3sin x +sin x + x cos x =4sin x + x cos x
Zatemdla x 2 R
x cos x =0+1 · x +0 · x 2 + − 3
3! x 3 + 4sin x + x cos x
4!
x 4 , 2 (0 , 1) .
3
1
f (0)=arcsin0=0
f 0 ( x )= 1
319544833.003.png 319544833.004.png
Ad.c) 1 D f =(0 , 1 )
ZewzoruTayloradla n =3i x 0 =1mamy
f ( x )= f (1)+ f 0 (1)
1! ( x − 1)+ f 00 (1)
2! ( x − 1) 2 + f (3) (1)
3! ( x − 1) 3 + R 3 ,
gdzie
R 3 = f (4) ( c )
4! ( x − 1) 4 , c =1+ ( x − 1) , 2 (0 , 1)
oraz
f (1)=0
f 0 ( x )=3 x 2 · ln x + x 3 · 1 x =3 x 2 · ln x + x 2 , f 0 (1)=1
f 00 ( x )=6 x · ln x +3 x 2 · 1 x +2 x =6 x · ln x +5 x, f 00 (1)=5
f (3) ( x )=6 · ln x +6 x · 1 x +5=6 · ln x +11 , f (3) (1)=11
f (4) ( x )= 6
x
Zatemdla x 2 D f
x 3 · ln x =0+( x − 1)+ 5
2! ( x − 1) 2 + 11
3! ( x − 1) 3 + 6
4! c ( x − 1) 4 .
Zadanie4. Napisa¢wzórMaclaurinadlafunkcji f ( x )= e − 2 x .
Rozwi¡zanie: 1 D f = R
f ( x )= f (0)+ f 0 (0)
1! x + f 00 (0)
2! x 2 + ... + f ( n ) (0)
n ! x n + R n ( x,c ) ,
i
R n ( x,c )= f ( n +1) ( x )
( n +1)! x n +1 .
Obliczamy
f (0)=1
f 0 ( x )= − 2 e − 2 x =( − 2) e − 2 x , f 0 (0)= − 2
f 00 ( x )=4 e − 2 x =( − 2) 2 e − 2 x , f 00 (0)=4
f (3) ( x )= − 8 e − 2 x =( − 2) 3 e − 2 x , f (3) (0)= − 8
...
f ( n ) ( x )=( − 2) n e − 2 x , f ( n ) (0)=( − 2) n
f ( n +1) ( x )=( − 2) ( n +1) e − 2 x
Zatemdla x 2 R
f ( x )=1 − 2 x + 4
2! x 2 − 8
3! x 3 + ... + ( − 2) n
n ! x n + ( − 2) ( n +1) e − 2 x
( n +1)! x ( n +1) , 2 (0 , 1) .
Zadanie5. Wielomian f ( x )= x 4 − 5 x 3 + x 2 − 3 x +4przedstawi¢jakosum¦pot¦gdwumianu x − 4.
Rozwi¡zanie: Ztre±cizadaniawynika,»e x 0 =4.
Obliczamy
f (4)= − 56
f 0 ( x )=4 x 3 − 15 x 2 +2 x − 3 , f 0 (4)=21
f 00 ( x )=12 x 2 − 30 x +2 , f 00 (4)=74
f (3) ( x )=24 x − 30 , f (3) (4)=66
f (4) ( x )=24 , f (4) (4)=24
4
319544833.005.png 319544833.006.png
8 n ­ 5 8 x 2 R f ( n ) ( x )=0 ) R 4 =0 .
Zatem
x 4 − 5 x 3 + x 2 − 3 x +4= − 56+21( x − 4)+ 74
2 ( x − 4) 2 + 66
3! ( x − 4) 3 + 24
4! ( x − 4) 4 .
Zadanie6. Oszacowa¢bł¦dywzorówprzybli»onych
a) e x 1+ x + x 2
p
2! + x 3
3! + x 4
4! + x 5
5! , 0 ¬ x ¬ 1
8 , | x |¬ 1 4
Ad.a) Niech f ( x )= e x , D f = R .
ZewzoruMaclaurina
f ( x )= f (0)+ f 0 (0)
1+ x 1+ x 2 − x 2
1! x + f 00 (0)
2! x 2 + f (3) (0)
3! x 3 + f (4) (0)
4! x 4 + f (5) (0)
5! x 5 + R 5 ,
gdzie
R 5 = f (6) ( c )
6! x 6 , c = x, 2 (0 , 1) .
Zatem
e x =1+ x + x 2
2! + x 3
3! + x 4
4! + x 5
5! + R 5 ,
oraz
R 5 = e x
6! x 6 , x 2 (0 , 1) .
Bł¡dprzybli»eniaszacujemynast¦puj¡co
6! x 6 = 1 6! ·| e x |·| x | 6 ¬ 1 6! · e 1 · 1 6 = e 6! ,
poniewa»0 ¬ x ¬ 1, x 2 (0 , 1)oraz e x jestfunkcj¡rosn¡c¡.
Ad.b) Niech f ( x )=
e x
| e x − (1+ x + x 2
2 + x 3
6 + x 4
24 + x 5
5! ) | = | R 5 | =
1+ x, D f =[ − 1 , 1 ).
ZewzoruMaclaurina
p
f ( x )= f (0)+ f 0 (0)
1! x + f 00 (0)
2! x 2 + R 2 ,
gdzie
R 2 = f (3) ( c )
3! x 3 , c = x, 2 (0 , 1) .
Obliczamy
f (0)=1
f 0 ( x )= 1
2 p x +1 , f 0 (0)= 1
2
f 00 ( x )= − 1
4 p (1+ x ) 3 , f 00 (0)= − 1
4
f (3) ( x )= 3
8 p ( x +1) 5 ,
Zatem
p
2 − x 2
1+ x =1+ x
8 + R 2 ,
oraz
R 2 = 3
8 · 3! · p ( x +1) 5 x 3 , x 2 − 1 4 , 1 4
.
Bł¡dprzybli»eniaszacujemynast¦puj¡co
1+ x −
1+ x
2 − x 2
= | R 2 | =
3
8 · 3! · p (1+ x ) 5 x 3
= 1
1
p (1+ x ) 5
·| x | 3 ¬ 1
16 · 1
1
4
! 3
16 ·
q
(1 − 1 4 ) 5
·
,
8
poniewa» | x |¬ 1 4 , x 2 − 1 4 , 1 4
.
5
b)
p
319544833.007.png 319544833.008.png 319544833.009.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin