Tutorial_MATLAB_06(1).pdf

Materiały do Laboratorium Informatyki

Rok akademicki: 2006/07

Semestr: letni

MATLAB – cz. 6 – Obliczenia

symboliczne

Środowisko MATLAB’a oferuje szereg bibliotek funkcji (tzn. toolbox’ów). Jednym z nich

jest toolbox „Symbolic Math” służący do przeprowadzana obliczeń symbolicznych. Toolbox

ten może być niedostępnych we wszystkich wersjach MATLAB’a.

Pierwszym krokiem jest zdefiniowanie zmiennych symbolicznych w następujący sposób:

x = sym('x')

x =

a = sym('alpha')

a =

alpha

Polecenia te tworzą dwie zmienne symboliczne:

- zmienną x, która wypisywana na ekran jest pod nazwą x,

- zmienną a, która wypisywana na ekran jest pod nazwą alpha.

Jak widać, jeśli zmienna jest zmienną symboliczną to wynik wypisywany jest bez wcięcia

(tzn. wartość zmiennej a, czyli ‘alpha’, pojawia się na ekranie dokładnie pod „a =”). Dla

porównania, wpisanie zwykłej wartości liczbowej do zmiennej, jak np.:

b = 8

b =

Powoduje wyświetlenie wyniku (8) z wcięciem (jak wyżej).

Przykłady prostego użycia:

sym(2)/sym(5)

ans =

2/5

Wynikiem jest „2/5”. Widzimy, że nie jest obliczana wartość wyrażenia 5

2 , a jedynie jego

postać. Ponadto:

Opracowali: dr inż. Witold Nocoń na podstawie MATLAB help.

Materiały do Laboratorium Informatyki

Rok akademicki: 2006/07

Semestr: letni

sym(2)/sym(5) + sym(1)/sym(3)

ans =

11/15

W tym wypadku następuje sprowadzenie do wspólnego mianownika.

x = sym('x')

a = sym('alpha')

rho = sym('(1 + sqrt(5))/2')

a więc definiujemy

, co daje wynik:

rho =

(1 + sqrt(5))/2

Policzmy teraz wyrażenie:

= ρ

−

f = rho^2 - rho – 1

otrzymujemy:

f =

(1/2+1/2*5^(1/2))^2-3/2-1/2*5^(1/2)

Otrzymujemy dosyć skomplikowane wyrażenie. Możemy je uprościć wykorzystując funkcję

simplify :

simplify(f)

ans =

Widzimy, że w tym przypadku wyrażenie to redukuje się do zera.

Więcej możliwości:

Załóżmy, że chcemy badać funkcję kwadratową. aby możliwe było dokonywanie operacji

symbolicznych (różniczkowanie, całkowanie itp.), musimy zdefiniować tą funkcję w

następujący sposób:

a = sym('a')

b = sym('b')

c = sym('c')

x = sym('x')

Opracowali: dr inż. Witold Nocoń na podstawie MATLAB help.

Materiały do Laboratorium Informatyki

Rok akademicki: 2006/07

Semestr: letni

lub prościej:

syms a b c x

a następnie zdefiniować funkcję:

f = sym('a*x^2 + b*x + c')

Funkcja findsym pozwala na znalezienie zmiennych symbolicznych znajdujących się w

wyrażeniu, a więc:

findsym(f)

ans =

a, b, c, x

Aby podstawić wartości liczbowe do zmiennych symbolicznych, posługujemy się funkcję

subs . Np.:

syms x

f = 2*x^2 - 3*x + 1

subs(f,2)

ans =

a więc do wyrażenia f wstawiono x=2 i obliczono wynik. Jeśli w wyrażeniu występuje więcej

zmiennych symbolicznych, należy podać nazwę zmienne której wartość wstawiamy, np:

syms x y

f = x^2*y + 5*x*sqrt(y)

g = subs(f, x, 3)

a więc w wyrażeniu f, podstawiamy x=3, ciągle pozostaje zmienna symboliczna y, więc nie

można obliczyć wartości liczbowej wyrażenia f. otrzymujemy więc następujący wynik:

ans =

9*y+15*y^(1/2)

Podstawiając natomiast y=2, czyli:

subs(g,2)

otrzymujemy:

ans =

39.2132

Opracowali: dr inż. Witold Nocoń na podstawie MATLAB help.

Materiały do Laboratorium Informatyki

Rok akademicki: 2006/07

Semestr: letni

Operacje na wyrażeniach symbolicznych:

1) Obliczanie pochodnej:

syms x

f = sin(5*x)

diff(f)

ans =

5*cos(5*x) - obliczona pochodna funkcji f

diff(f,2)

ans =

-25*sin(5*x) - obliczona druga pochodna funkcji f

2) Pochodna cząstkowa (pochodna funkcji posiadającej więcej zmiennych):

syms s t

f = sin(s*t)

diff(f,t) - obliczanie pochodnej „f po t” czyli

∂

ans =

cos(s*t)*s

diff(f,s) - obliczanie pochodnej „f po t” czyli

∂

ans =

cos(s*t)*t

diff(f,t,2) - obliczanie drugiej pochodnej „f po t” czyli

∂

ans =

-sin(s*t)*s^2

3) Obliczanie granic

syms h n x

limit( (cos(x+h) - cos(x))/h,h,0 )

ans =

-sin(x)

Jak nietrudno zauważyć policzyliśmy pochodną funkcji cos(x), licząc granicę ilorazu

różnicowego, czyli:

Opracowali: dr inż. Witold Nocoń na podstawie MATLAB help.

∂

Materiały do Laboratorium Informatyki

Rok akademicki: 2006/07

Semestr: letni

()

lim

⎜

⎝

( ) ( ) ⎠

−

⎞

h 0

→

3) Całkowanie:

Jeśli:

f =

sin(s*t)

to int(f) daje następujący wynik:

ans =

-1/s*cos(s*t)

Jest to więc całka funkcji f.

Aby obliczyć całkę oznaczoną, należy określić przedział:

int(sin(2*x),0,pi/2)

Liczymy więc całkę:

∫

sin dx

()

, co daje wynik:

ans =

4) Algebra liniowa:

syms t;

G = [cos(t) sin(t); -sin(t) cos(t)]

G =

[ cos(t), sin(t)]

[ -sin(t), cos(t)]

Możemy obliczyć macierz A=G*G:

A=G*G

A =

[ cos(t)^2-sin(t)^2, 2*cos(t)*sin(t)]

[ -2*cos(t)*sin(t), cos(t)^2-sin(t)^2]

Opracowali: dr inż. Witold Nocoń na podstawie MATLAB help.

⎛

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: