WSAD(1).pdf

OpracowanezagadnieniazeWst¦pudoStatystycznejAnalizyDanych

napodstawiewykładuprowadzonegoprzezdrahab.Oleksandra

Zaihraieva

MariuszStrzelecki(szczeles@mat.uni.torun.pl)

MichałTydryszewski(mictyd@mat.uni.torun.pl)

ChristophKretschkevonHochenstein(welo@mat.uni.torun.pl)

6czerwca2009

1 Typy zmiennych w analizie danych. Rozkład Cz¦sto±ci. Graﬁczne

przedstawienie danych.

1.1 Typy (poziomy zmiennych):

nominalny - Zmienne przyjmuj¡ warto±ci (etykiety), dla których nie istnieje wynikaj¡ce z natury danego

zjawiska uporz¡dkowanie. Nawet je±li warto±ci zmiennej nominalnej s¡ wyra»ane liczbowo, to liczby te s¡

tylko umowymi identyﬁkatorami. Nie mo»na zatem wykonywa¢ na nich »adnych działa« arytmetycznych,

ani ich porównywa¢.

Przykłady zmiennych nominalnych: płe¢, powiat zamieszkania

Dozwolone operacje statystyczne: zliczanie, moda (najcz¦±ciej spotykana warto±¢), obliczanie frakcji (pro-

cent cało±ci)

porz¡dkowy - zmienne przyjmuj¡ warto±ci, dla których dane jest uporz¡dkowanie, jednak nie da si¦ w

sensowny sposób okre±li¢ ró»nicy oraz ilorazu mi¦dzy dwoma warto±ciami.

Przykłady zmiennych porz¡dkowych: wykształcenie, stopie« zaufania do prezydenta

Dozwolone operacje statystyczne: porównywanie warto±ci, zliczanie, obliczanie frakcji, moda, mediana,

centyle, minimum, maksimum

ilo±ciowy - s¡ to wła±ciwo±ci cechy, któr¡ mo»na zmierzy¢, zwa»y¢, przeliczy¢ itp.

Przykłady zmiennych ilo±ciowych: wiek, waga, pensja

Dozwolone operacje statystyczne: porównywanie warto±ci, zliczanie, obliczanie frakcji, moda, mediana,

centyle, minimum, maksimum, ±rednia arytmetyczna, wariancja, odchylenie standardowe,

1.2 Rozkład Cz¦sto±ci:

Rozkładem cz¦sto±ci jest przyporz¡dkowanie kolejnym warto±ciom zmiennej ( x i ) odpowiadaj¡cych im liczeb-

no±ci ( n i ). Rozkład odzwierciedla struktur¦ badanej zbiorowo±ci z punktu widzenia okre±lonej cechy (pokazuje

jakie warto±ci przyjmuje zmienna i jak cz¦sto).

Czasem wygodnie jest przedstawi¢ rozkład cz¦sto±ci dokonuj¡c grupowania obserwacji (podział na klasy). Warto-

±ci x nale»y wówczas pogrupowa¢ w przedziały wykluczaj¡ce si¦ wzajemnie i pokrywaj¡ce cały zbiór zmienno±ci

x , a ka»demu przedziałowi przyporz¡dkowa¢ cz¦sto±¢ wzgl¦dn¡, z jak¡ warto±ci zmiennej x pojawiaj¡ si¦ w

danym przedziale.

Ogólnie rzecz bior¡c, rozkładem cz¦sto±ci jest ka»de uporz¡dkowanie danych, które pokazuje liczebno±¢ ró»-

nych warto±ci zmiennej lub liczebno±ci warto±ci nale»¡cych do dowolnie okre±lonych grup zmiennej, zwanych

przedziałami klasowymi.

1.3 Graﬁczne przedstawianie danych:

Wykres jest to graﬁczne przedstawienie zbioru danych liczbowych, b¡d¹ pewnego aspektu tego zboiru. Wy-

kresy umo»liwiaj¡ nam spójne my±lenie w kategoriach wzrokowych o problemach zwi¡zanymi z damymi. Zbiory

danych cz¦sto s¡ bardzo zło»one. Celem wykresów jest ich uproszczenie. Stosuje si¦ je nie tylko przy przedsta-

wianiu zbiorów konkretnych danych, lecz tak»e jako wzrokowe modele pomocne w my±leniu, tworzeniu poj¦¢, i

rozwi¡zywaniu problemów statystycznych.

Histogram - to wykres w którym liczebno±ci wyst¦powania badanej cechy przedstawione s¡ w postaci

słupków (prostok¡tów). Prostok¡ty te umieszone s¡ na osi współrz¦dnych, wyznaczone s¡ z jednej strony

przez przedziały klasowe, warto±ci cechy (podstawa słupka), z drugiej za± przez liczebno±¢ elementów

wpadaj¡cych do okre±lonego przedziału klasowego (wysoko±¢ słupka).

Wielobok liczebno±ci - ró»ni si¦ od histogramu tym, »e tamten zakłada, i» wszystkie przypadki w obr¦bie

przedziału klasowego rozkładaj¡ si¦ równomiernie. W wieloboku liczebno±ci natomiast przyjmujemy, »e

wszystkie przypadki w ka»dym przedziale skupiaj¡ si¦ w jego ±rodku. Zamiast rysowa¢ poziom¡ lini¦

równ¡ całkowitej długo±ci przedziału stawiamy kropk¦ nad ±rodkiem ka»dego przedziału na wysoko±ci

odpowiadaj¡cej liczebno±ci. Przyj¦te jest pozostawienie po jednym dodatkowym przedziale na obu ko«cach

osi poziomej, a tak»e ł¡czenie kropek s¡siednich przedziałów.

Wielobok liczebno±ci skumulowanych - od wieloboku liczebno±ci odró»niaj¡ go dwie cechy: Po pierw-

sze zamiast stawiania kropek odpowiadaj¡cych liczebno±ciom surowym stawiamy kropki odpowiadaj¡ce

liczebno±ciom skumulowanym. Po drugie, zamiast stawiania kropek nad ±rodkiem ka»dego przedziału,

stawiamy kropki nad dokładn¡ granic¡ przedziału

2 Miary tendencji centralnej (poło»enia).

Deﬁnicja. Miara rozkładu jest to liczbowa charakterystyka rozkładu cechy, dostarczaj¡ca informacji na temat

wła±ciwo±ci tego rozkładu. Tak¡ charakterystyk¦ okre±la si¦ w zale»no±ci od przedmiotu badania statystycznego

jako:

parametr - je±li badane s¡ dane z pełnej populacji

statystyka - je±li przedmiotem badania s¡ dane z próby losowej

Deﬁnicja. Miar¡ tendencji centralnej rozkładu nazywamy miar¦ rozkładu, która okre±la poło»enie warto±ci cen-

tralnych rozkładu (warto±ci typowych, ±rednich). Miary tendencji centralnej zaliczamy do miar poło»enia.

Deﬁnicja. Miar¡ poło»enia rozkładu nazywamy miar¦ rozkładu, która okre±la relacj¦ mi¦dzy dwoma identycz-

nymi rozkładami, ale przesuni¦tymi wzgl¦dem osi odci¦tych układu współrz¦dnych.

Przejd¹my tymczasem do omówienia najwazniejszych miar tendencji centralnej. S¡ to:

2.1 Mediana

Median¡ lub warto±ci¡ ±rodkow¡ , któr¡ oznaczamy m e - próbki x 1 ,...,x n nazywamy ±rodkow¡ liczb¦ w upo-

rz¡dkowanej niemalej¡co próbce

x (1) ¬ x (2) ¬ ... ¬ x ( n ) ,

gdzie n jest liczb¡ nieparzyst¡, albo ±redni¡ arytmetyczn¡ dwóch ±rodkowych liczb, gdy n jest liczb¡ parzyst¡,

tzn.

x ( n +1) / 2 ,

gdy n nieparzyste

m e =

2 ( x ( n/ 2) + x ( n/ 2+1) ) , gdy n parzyste

2.2 Moda

Warto±ci¡ modaln¡ (mod¡, dominant¡) m 0 próbki x 1 ,...,x n o powtarzaj¡cych si¦ warto±ciach nazywamy naj-

cz¦±ciej powtarzaj¡c¡ si¦ warto±¢ (o ile istnieje!), nie b¦d¡c¡ x min ani te» x max .

2.3 rednia arytmetyczna

redni¡ arytmetyczn¡ liczb x 1 ,...,x n nazywamy liczb¦

x =

x i .

i =1

Je»eli w próbce wynik pomiaru x i wyst¡pił n i razy, i = 1 ,...,k , gdzie

n i = n , to ±redni¡ arytmetyczn¡ oblicza

i =1

si¦ według równowa»nego wzoru:

x =

x i n i .

i =1

rednia ta bywa równie» nazywana ±redni¡ arytmetyczn¡ wa»on¡ . Liczno±ci n i pełni¡ tu rol¦ tzw. wag .

2.4 rednia uci¦ta

redni¡ uci¦t¡ nazywamy ±redni¡ arytmetyczn¡ liczon¡ bez k warto±ci skrajnych:

x ( k +1) + ... + x ( n − k )

n − 2 k

3 Miary rozproszenia, asymetrii, koncentracji.

3.1 Miary rozproszenia.

Miar¡ rozproszenia (zmienno±ci, dyspresji) nazywamy miar¦ rozkładu, która opisuje relacj¦pomi¦dzy rozkładami

ró»ni¡cymi si¦ rozproszeniem warto±ci cechy wokółwarto±ci centralnych. Podstawowe miary rozproszenia to:

Rozst¦p - najprostsza miara rozproszenia. Jest to miara charakteryzuj¡ca empiryczny obszar zmienno±ci

badanej cechy. Wyra»a si¦ wzorem:

R = x max − x min

Rozst¦p jest miar¡, która nie uwzgl¦dnia wszystkich warto±ci. Ponadto jest bardzo podatna na warto±ci

odstaj¡ce.

Rozst¦p ¢wiartkowy - nazywany równie» rozst¦pem kwartylnym to ró»nica Q 3 − Q 1 (mi¦dzy trzecim

a pierwszym kwartylem). Miara ta mówi o rozproszeniu ±rodkowej cz¦±ci rozkładu. Z deﬁnicji w obszarze

mi¦dzykwartylowym znajduje si¦ 50% wszystkich obserwacji, dlatego im wi¦ksza szeroko±¢ rozst¦pu tym

wi¦ksze zró»nicowanie cechy.

Odchylenie przeci¦tne - ±rednia arytmetyczna z odchyle« bezwzgl¦dnych dla wszystkich elementów

zbioru danych statystycznych. Odchyleniem bezwzgl¦dnym nazywamy warto±¢ bezwgl¦dna ró»nicy war-

to±ci dla tego elementu x i i pewnego ustalonego punktu x . Odchylenie przeci¦tne wyra»a si¦ wzorem:

D =

| x i − x | ,

i =1

gdzie x jest pewnym ustalonym punktem, zazwyczaj median¡ lub ±redni¡ arytmetyczn¡.

Wariancja - wariancj¡ zmiennej X nazywamy ±redni¡ arytmetyczn¡ kwadratów odchyle« poszczególnych

warto±ci zmiennej od ±redniej arytmetycznej całej zbiorowo±ci:

s 2 =

( x i − x ) 2

i =1

Odchylenie standardowe - obok ±redniej arytmetycznej najcz¦±ciej stosowane poj¦cie statystyczne.

Odchylenie standardowe mówi jak szeroko warto±ci zmiennej s¡ rozrzucone wokół jej ±redniej. Im zbio-

rowo±¢ jest bardziej zró»nicowana, tym wi¦ksze jest odchylenie standardowe. Miara ta jest pierwiastkiem

kwadratowym z wariancji:

s =

s 1

( x i − x ) 2

i =1

Odchylenie standardowe jest zatem miar¡ rozproszenia o mianie zgodnym z mianem zmiennej.

Współczynniki zmienno±ci - w odró»nieniu od odchylenia standrdowego, które okre±la bezwzgl¦dne

zró»nicowanie cechy, współczynnik zmienno±ci jest miar¡ wzgl¦dn¡, czyli zale»n¡ od wielko±ci ±redniej

arytmetycznej. Deﬁniowany jest wzorem:

V = s

x , x 6 = 0 ,

gdzie:

s - odchylenie standardowe próby

x - ±rednia arytetyczna z próby

3.2 Miary asymetrii.

Miara asymetrii rozkładu to taka miara rozkładu, która dostarcza informacji na temat symetrii rozkładu lub

jej braku.

Współczynnik asymetrii (sko±no±¢) - wyra»a si¦ wzorem:

( x i − x ) 3

( n − 1)( n − 2) s 3 .

A s =

i =1

Na podstawie współczynnika asymetrii okre±lamy:

A s = 0 - rozkład symetryczny,

A s > 0 - asymetria prawostronna (rozkład ma dłu»szy prawy “ogon”),

A s < 0 - asymetria lewostronna (rozkład ma dłu»szy prawy “ogon”).

3.3 Miary koncentracji.

Miary koncentracji opisuj¡ koncentracj¦ warto±ci cechy wokół ±redniej.

Kurtoza - najpopularniejsza miara skupienia obserwacji wokół ±redniej (ozn. K ). Im wy»sza jest warto±¢ K,

tym bardziej wysmukła jest krzywa liczebno±ci, a zatem i wi¦ksza koncentracja cechy wokół ±redniej. Je»eli

K < 0, to rozkład jest bardziej spłaszczony od normalnego, a je»eli K > 0 to rozkład jest bardziej wysmukły

ni» normalny. Kurtoz¦ liczymy ze wzoru:

( x i − x ) 4

i =1

K =

( n − 1)( n − 2)( n − 3) s 4

4 Elementy kombinatoryki

Kombinatoryka to dziedzina zajmuj¡ca si¦ metodami i sposobami obliczania ilo±ci elementów zbiorów sko«czo-

nych posiadaj¡cych okre±lone własno±ci.

Podstawowa zasada w kombinatoryce - zasada mno»enia : mamy wykona¢ k czynno±ci, ka»d¡ czynno±¢ mo-

»emy wykona¢ pewn¡ liczb¡ sposobów: pierwsz¡ - n 1 sposobów, ..., k-t¡ na n k sposobów. Ł¡czna ilo±¢ sposobów

wybrania tych k czynno±ci to n 1 · n 2 · ... · n k .

4.1 Wariancja

Wariancja to liczba podzbiorów zbioru X uporz¡dkowanych (ci¡gów!)

4.1.1 Wariancja z powtórzeniami

Niech A b¦dzie zbiorem n -elementowym. Ka»dy k -wyrazowy ci¡g (mog¡cych si¦ powtarza¢) elementów tego

zbioru nazywamy k -wyrazow¡ wariacj¡ z powtórzeniami zbioru n -elementowego.

Przykład. Ile 7-cyfrowych numerów telefonów mó»na zło»y¢ z 6 ró»nych cyfr?

V n = n k = 6 7

4.1.2 Wariacja bez powtórze«

Niech A b¦dzie zbiorem n ró»nych elementów. Ka»dy k -wyrazowy ci¡g ró»nych elementów z tego zbioru ( k ¬ n )

nazywamy k -wyrazow¡ wariancj¡ bez powtórze« zbioru n -elementowego.

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: