rzadmacierzy.pdf

(54 KB) Pobierz
113552033 UNPDF
Obliczanierz , edumacierzy
Zadanie1.Nad cialem liczb rzeczywistych oblicz rz , ad macierzy
2
3
377 259 481 407
19 133 247 209
25 175 325 275
A=
4
5 .
Rozwi , azanie.Stosujemy operacje elementarne:
2
377 259 481 407
1
3
377 259 481 407
1
= 7·
r(A)
1
25 w 3 , 1 19 w 2
= r
4
7 13 11
5 =r
= 2, bo
377 259
1
7 13 11
7
1
7 13 11
377−259 6= 0.
Odp. Rz , ad macierzyAjest rowny 2.
Zadanie2.Nad cialem liczb rzeczywistych oblicz rz , ad macierzy
2
3
1241
381
273−165
A=
4
134−987
562
213
5 .
702
225−1111
49
Rozwi , azanie. Poniewaz macierzAma tylko 3 wiersze, wi , ecr(A)3. Ale jej minorem jest
381
273
1241 381
134−987
702
134−987
562
=
702
225−1111
225
1241·987·1111 + 381·562·702 + 273·134·225 + 702·987·273−225·562·1241 + 1111·134·381>0,
wi , ec ostatecznier(A) = 3.
Zadanie3.Nad cialem liczb rzeczywistych oblicz rz , ad macierzy
A=
2
6 6 4
3−1 3 2 5
5−3 2 3 4
1−3−5 0−7
7−5
3
7 7 5 .
1 4
1
Rozwi , azanie.Stosujemy operacje elementarne:
2
3−1 3 2 5
0−2−1 1−1
1−3−5 0−7
1−3−5 0−9
3
2
3 3 5 0 7
0−2−1 1−1
1−3−5 0−7
1−3−5 0−9
3
2
3
5 w 2 +w 1
3 3 5 7
1−3−5−7
1−3−5−9
r(A) w 2 − w 1 ,w 4 − 2w = r
6 6 4
7 7 5
w 1 − 2w = r
6 6 4
7 7 5 = 1+r
4
=
2
3
3 3 5 7
4 0 0 0
1−3−5−9
3 5 7
−3−5−9
w 2 +w = 2 +r
3 5 7
0 0−2
1 +r
4
5 = 2 +r
= 3 +r 3 5 =
3 + 1 = 4.
Odp.Rz , ad macierzyAjest rowny 4.
Zadanie4.Nad cialem liczb rzeczywistych oblicz rz , ad macierzy
2
2 5−1
4
3
3
A=
6 6 4
−3 1
2
0
1
7 7 5 .
4 1
6−1−1
−2 3
0
4−9
1
1241
 
Rozwi , azanie.Stosujemy operacje elementarne:
2
6 6 4
3
7 7 5 = 1 +r
2
3
5 w 2 − 16w 1 ,w 3 +2w 1
2 5−1 4
3
1 11 8 7
16 31 23 17
−2 3 4−9
r(A) w 2 +2w 1 ,w 3 +6w = r
1 11
0 8
7
4
=
1 +
16 31
0 23 17
−2 3
0 4−9
2
4
3
5 = 2 +r
r
1 11 8 7
0−145−105−95
0
−145−105−95
25
20
5
w 1 +19w 2
=
2 +r
349 624 0
25 20 5
= 3 +
25
20
5
r 349 624 = 3 + 1 = 4.
Odp.Rz , ad macierzyAjest rowny 4.
Zadanie5.Nad cialem liczb rzeczywistych oblicz rz , ad macierzy
A=
2
6 6 4
3 1 1 4
0 4 10 1
1 7 17 3
2 2 4 3
3
7 7 5 .
Rozwi , azanie.Stosujemy operacje elementarne:
2
0−20−50−5
0 4 10 1
1 7 17 3
0−12−30−3
3
2
3
5 w 1 +5w 2 ,w 3 +3w 2
2
3
−20−50−5
4 10 1
−12−30−3
0 0 0
4 10 1
0 0 0
r(A) w 1 − 3w 3 ,w 4 − 2w = r
6 6 4
7 7 5 = 1+r
4
=
1+r
4
5 =
1 +r 4 10 1 = 1 + 1 = 2.
Odp.Rz , ad macierzyAjest rowny 2.
Zadanie6.Nad cialem liczb rzeczywistych oblicz rz , ad macierzy
2
6 6 6 6 6 4
3
7 7 7 7 7 5
A=
4 3−5 2 3
8 6−7 4 2
4 3−8 2 7
4 3 1 2−5
8 6−1 4−6
.
Rozwi , azanie.Stosujemy operacje elementarne:
2
3
2
3
1 1−5 1 3
2 2−7 2 2
1 1−8 1 7
1 1 1 1−5
2 2−1 2−6
1 0 0 0 0
2 0 3 0 −4
1 0−3 0
r(A)
1
4 k 1 , 1 3 k 2 , 1 2 k 4
6 6 6 6 6 4
7 7 7 7 7 5
k 2 − k 1 ,k 3 +5k 1 ,k 4 − k 1 ,k 5 − 3k = r
6 6 6 6 6 4
4
7 7 7 7 7 5
= 1 +
1 0
6 0 −8
2
3
2
3
2
3
2 0
9 0−12
0 3 0 −4
0−3 0
3 −4
−3 4
6 −8
9−12
3 0
−3 0
6 0
9 0
r
6 6 4
4
7 7 5 = 1 +r
6 6 4
7 7 5
k 2 + 4 3 k 1
= 1 +r
6 6 4
7 7 5 = 1 + 1 = 2.
0
6 0 −8
0
9 0−12
Odp.Rz , ad macierzyAjest rowny 2.
Zadanie7.W zaleznosci od wartosci parametrua2 R oblicz nad cialem R rz , ad macierzy
2
3 + 2a 1 + 3aaa−1
3a 3 + 2aaa−1
3a 3a 3 a−1
3a 3aaa−1
3
A=
6 6 4
7 7 5 .
2
= r
 
Rozwi , azanie.Stosujemy operacje elementarne:
2
6 6 4
3
7 7 5 .
3−a 1 0 0
0 3−a 0 0
0 0 3−a 0
3a 3a aa−1
r(A) w 1 − w 4 ,w 2 − w 4 ,w 3 − w = r
Mozliwe s , a teraz tylko nast , epuj , ace przypadki:
2
0 1 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
9 9 3 2
3
1.a= 3. Wowczasr(A) =r
6 6 4
7 7 5 =r
0 1 0 0
9 9 3 2
= 1 +r 1 0 0 = 1 + 1 = 2.
2
3
2 1 0
0 2 0
0 0 2
2.a6= 1 ia6= 3. Wtedyr(A) = 1 +r
4
5 = 1 + 3 = 4.
2
3
2
3
2 1 0 0
0 2 0 0
0 0 2 0
3 3 1 0
2 1 0
0 2 0
0 0 2
3 3 1
3.a= 1. Wtedyr(A) =r
6 6 4
7 7 5 =r
6 6 4
7 7 5 = 3, bo otrzymana macierz ma tylko 3
kolumny i posiada niezerowy minor stopnia 3.
Odp.Dlaa= 3 rz , ad macierzyAjest rowny 2, dlaa= 1r(A) = 3, zas dlaa6= 1 ia6= 3r(A) = 4.
Zadanie8.W zaleznosci od wartosci parametrua2 R oblicz nad cialem R rz , ad macierzy
2
3
a+ 1 a 2 + 1 a 2
3a−1 3a 2 −1 a 2 + 2a
a−1 a 2 −1 a
A=
4
5 .
Rozwi , azanie.Stosujemy operacje elementarne:
2
2 2 a 2 −a
2 2 a 2 −a
a−1 a 2 −1 a
3
2 2 a 2 −a
a−1 a 2 −1 a
k 2 − k 1
r(A) w 1 − w 3 ,w 2 − 3w = r
4
5 =r
=
2 0 a 2 −a
a−1 a 2 −a a
r
.
Mozliwe s , a tylko nast , epuj , ace przypadki:
1.a= 0. Wtedyr(A) =r
2 0 0
−1 0 0
=r
2
−1
= 1.
2 0 0
0 0 1
2 0
0 1
= 2.
3.a6= 0 ia6= 1. Wtedya 2 −a6= 0, wi , ecr(A) = 1 +r 2 a 2 −a = 1 + 1 = 2.
Odp.Dlaa= 1 rz , ad macierzyAjest rowny 1, zas dla pozostalycha,r(A) = 2.
=r
3
2.a= 1. Wtedyr(A) =r

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin