lista12alg08.pdf

(62 KB) Pobierz
406204609 UNPDF
Algebraliniowazgeometri¸aanalityczn¸a
Lista12:Macierz przeksztalcenia liniowego. Macierz przejscia z bazy do bazy.
1. Znalezc z definicji macierz przeksztalcenia liniowego ' w podanych bazach
(B - baza dziedziny, C - baza przeciwdziedziny):
a) ' : R 2 ! R 3 , '(x,y) = (x + 2y, 2x + y, x−y),
B ={(2, 1), (3, 2)}, C ={(5, 1, 1), (6, 4, 1), (0, 1, 0)};
b) ' : R 3 ! R 2 , '(x,y,z) = (x−z,−x + y + 2z),
B ={(2, 1, 3), (2, 0, 1), (3, 2, 6)}, C ={(−2, 3), (3,−5)};
c) ' : R 3 [x]! R 3 , '(W) = (W(0), 2W 0 (0),W 00 (1)),
B ={x 2 + x + 2, 2x 3 + 2,x 3 + 2x 2 + 2,x 2 + x−4}, C ={(2, 0, 0), (2, 1, 0), (2, 2, 1)};
d) ' : M 2 × 2 ! R 2 [x], '
3 2
1 2
1 3
−1 2
a b
c d
2 0
1 1
= ax 2 + (b + 3c)x + 2d;
1 2
−2 1
B =
,
,
,
, C ={x 2 + 1,x + 1, 2}.
2.Przeksztalcenie liniowe ' : V!W ma w bazach{v 1 ,v 2 }przestrzeni liniowej V i{w 1 ,w 2 ,w 3 }
2
2 1
3−2
1 3
3
przestrzeni liniowej W macierz
4
5 . Znalezc '(3v 1 + 2v 2 ) i '(4v 2 −3v 1 ).
3.Znalezc z definicji macierz przejscia z bazy B do bazy B 0 przestrzeni liniowej V , jezeli
a) V = R 2 , B ={(−3,−1), (5, 2)}, B 0 ={(1, 2), (3, 2)},
b) V = R 2 [x], B ={−2x 2 −x + 4,−3x 2 −2x + 7,x 2 + x−2},
B 0 ={2x 2 + x,−x 2 + x + 1,x + 3},
2 2
0 0
0 2
0 0
0 0
1 0
0 0
1 1
c) V = M 2 × 2 , B =
,
,
,
,
2 0
0 0
2 0
2 0
2 0
3 1
2 2
1 2
B 0 =
,
,
,
.
4.a) Uzasadnic, ze jesli B,E,C sa bazami przestrzeni liniowej V , to
P B!C = (P C!B ) − 1 P E!C .
b) Korzystajac z powyzszej wlasnosci znalezc macierz przejscia z bazy B do bazy C
przestrzeni V (jako E przyjac baze standardowa przestrzeni V ):
i) V = R 2 , B ={(3, 2), (5, 4)}, C ={(4, 2), (−6, 8)};
ii) V = R 2 [x], B ={x 2 + 3x + 2, 2x 2 + x−2,−x 2 + 1},
C ={3x 2 + 3,−6x 2 + 2x + 9, 3x 2 + 3x−3};
iii) V = M 2 × 2 , B =
1 0
0 0
,
2 3
0 0
,
1 2
2 0
,
−1 1
1 3
,
2 1
4 0
4 0
0 0
1 3
6 3
3−3
0 0
C =
,
,
,
.
5.Stosujac wzor na zmiane macierzy przeksztalcenia przy zmianie baz, znalezc macierz prze-
ksztalcenia liniowego ' w podanych bazach (B - baza dziedziny, C - baza przeciwdziedziny):
a) ' : R 3 ! R 2 , '(x,y,z) = (2x + y−z, 3x−2y + 4z),
B ={(3, 1,−2), (2, 1, 1), (−2, 4, 1)}, C ={(2,−3), (−1, 2)};
b) ' : R 3 [x]! R 3 , '(ax 3 + bx 2 + cx + d) = (3a−2c,a + b + d, 2b + c−d),
B ={x 3 + 2x 2 + 1, 2x 3 + 3x + 1,x 3 −x 2 + 2}, C ={(1, 0, 0), (−2,−1, 0), (4, 2, 1)};
.
Znalezc macierz tego przeksztalcenia w bazach{2v 1 + v 2 ,v 1 + 2v 2 + v 3 ,−v 2 + v 3 }
i{7w 1 + 3w 2 ,−2w 1 −w 2 }.
2 3 1
−2 1 3
1
6. Niech V i W beda przestrzeniami liniowymi. Przeksztalcenie liniowe ' : V!W ma
w bazie{v 1 ,v 2 ,v 3 }przestrzeni V i w bazie{w 1 ,w 2 }przestrzeni W macierz
7. Niech V , W i U beda przestrzeniami liniowymi, ' : V!W, : W!U i : U!V -
przeksztalceniami liniowymi, B i B 0 - bazami przestrzeni V , C i C 0 - bazami przestrzeni W,
a D i D 0 - bazami przestrzeni U. Zalozmy, ze dane sa macierze:
A - macierz przejscia z bazy B 0 do bazy B,
E - macierz przejscia z bazy C do bazy C 0 ,
F - macierz przejscia z bazy D do bazy D 0 ,
P - macierz przeksztalcenia ' w bazach B i C 0 ,
Q - macierz przeksztalcenia w bazach C 0 i D,
R - macierz przeksztalcenia w bazach D 0 i B 0 .
Ponizsze macierze zapisac za pomoca macierzy A, E, F, P, Q, R:
a) macierz przejscia z bazy B do bazy B 0 ,
b) macierz przeksztalcenia ' w bazach B i C,
c) macierz przeksztalcenia ' w bazach B 0 i C 0 ,
d) macierz przeksztalcenia ' w bazach B 0 i C,
e) macierz przeksztalcenia ' w bazach B i D,
f) macierz przeksztalcenia ' w bazach B 0 i D,
g) macierz przeksztalcenia ' w bazach B i D 0 ,
h) macierz przeksztalcenia ' w bazach B 0 i D 0 ,
i) macierz przeksztalcenia ' w bazie C 0 ,
j) macierz przeksztalcenia ' w bazach C 0 i C,
k) macierz przeksztalcenia ' w bazie C,
l) macierz przeksztalcenia ' w bazach D 0 i B.
8. Przeksztalcenie liniowe ' : R 2 ! R 3 ma w pewnych bazach B przestrzeni R 2 i C
2
4
3
5 , a przeksztalcenie liniowe : R 3 ! R 2 ma w pewnych
2 1
0 1
1 0
przestrzeni R 3 macierz
−1 1 0
2−1 2
. Macierza przejscia z
bazach C 0 przestrzeni R 3 i B 0 przestrzeni R 2 macierz
3 4
2 3
bazy B do bazy B 0 jest macierz
2
3
, a macierza przejscia z bazy C do bazy C 0 jest
2 0−1
0 1
macierz
4
1
5 . Wektor v2 R 2 ma w bazie B wspolrzedne [−1, 1], a wektor w2 R 3
1 1
0
ma w bazie C wspolrzedne [3,−1, 1].
a) Znalezc wspolrzedne wektora '(v) w bazie B.
b) Znalezc wspolrzedne wektora ' (w) w bazie C 0 .
9.Korzystajac z macierzy przeksztalcenia liniowego ' w bazach standardowych zbadac, czy
' jest 1) iniekcja; 2) suriekcja; 3) bijekcja. W przypadku, gdy ' jest bijekcja, znalezc macierz
przeksztalcenia odwrotnego ' − 1 w bazach standardowych i napisac jego wzor.
a) ' : R 2 ! R 3 , '(x 1 ,x 2 ) = (x 1 −2x 2 ,−2x 1 + 4x 2 , 2x 1 + 3x 2 ),
b) ' : R 3 [x]! R 3 , '(ax 3 +bx 2 +cx+d) = (2a+b−c+3d, 3a−2b+c+d,−a+10b−7c+9d),
c) ' : M 2 × 2 ! R 3 , '
a b
c d
= (2a + b + c + 2d, 3a + 2b + d,a + 2b−4c + 3d),
d) ' : R 3 ! R 2 [x], '(a,b,c) = (a + 2b + 2c)x 2 + (3a + 4b−c)x + 2a + 3b + c.

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin