mes.PDF

METODAELEMENTUSKOCZONEGO–

WPROWADZENIE

FiniteElementMethod(FEM)

MagdalenaGierszewska

20stycznia2005

http://fatcat.ftj.agh.edu.pl/ s dziopa/

Spistre±ci

1Wprowadzenie 3

2PodstawymetodyFEM 3

2.1Metodaelementusko«czonego................. 3

2.2Algorytm-Etapyrozwi¡zaniaproblemuzapomoc¡FEM.. 4

2.3Deﬁnicjaelementusko«czonego................. 7

3Siatkaelementówsko«czonych 8

3.1Numeracjaelementówiw¦złów................. 8

3.2Tablicakoneksji ......................... 8

4Zastosowaniametodyelementusko«czonego 10

4.1Rozwi¡zywanierówna«ró»niczkowych.............10

4.2ModelowanierównoległezwykorzystaniemMetodyElemen-

tówSko«czonych..........................10

1Wprowadzenie

Metodaelementówsko«czonych(zang.FiniteElementMethod)jestto

obecniejednaznajszerzejstosowanychmetodrozwi¡zywaniaró»nychpro-

blemówin»ynierskich.Jejuniwersalno±¢,polegaj¡canałatwo±cischematy-

zacjiró»nychobszarówoskomplikowanejgeometrii,tak»eniejednorodnychi

anizotropowych,kwaliﬁkujej¡jakodobrenarz¦dziedomodelowaniaproble-

mówﬁzycznych.Rozwójmetodyelementówsko«czonychprzebiegałinadal

przebiega,równoleglezrozwojemtechnikikomputerowej.Pierwszepracesto-

suj¡cemetod¦elementówsko«czonychzostałyopublikowanewlatachczter-

dziestychubiegłegowieku.Pocz¡tkowoobliczeniaprzeprowadzanezapo-

moc¡metodyelementówsko«czonychdotyczyłyobiektówobardzoprostych

geometriach(najcz¦±ciejmodelowanychjakojednowymiarowe)istałychwła-

sno±ciachmateriałowychorazzjawiskopisanychliniowymirównaniamiró»-

niczkowymi.Odlatsiedemdziesi¡tychmetod¦elementówsko«czonychza-

cz¦tostopniowostosowa¢dorozwi¡zywaniaproblemównieliniowych,aleda-

lejdlaobiektówostosunkowoprostychgeometriach,modelowanychjako1D

lub2D.Gwałtownyrozwójtechnikikomputerowejwlatachosiemdziesi¡tych,

zwi¡zanyzcorazwi¦ksz¡moc¡obliczeniow¡komputeróworazmo»liwo±ci¡

operowaniaiprzechowywaniabardzodu»ychzbiorówinformacji,umo»liwił

zastosowaniemetodyelementówsko«czonychdooblicze«problemównieli-

niowychdlaobiektówodowolniezło»onychgeometriach,szczególnie3D.

2PodstawymetodyFEM

2.1Metodaelementusko«czonego

Zajmijmysi¦przestrzeni¡liniow¡F,wktórejjestzdeﬁniowanyiloczynska-

larnyh|i.Elementamitejprzestrzenis¡funkcjezokre±lonymdziałaniem

dodawaniafunkcjiimno»eniafunkcjiprzezliczb¦.NiechUFb¦dzieli-

niow¡podprzestrzeni¡F,wktórejjestokre±lonytensamiloczynskalarny

h|icowFiniech ˆ Lb¦dzieliniowymoperatoremró»niczkowymokre±lonym

naprzestrzeniUowarto±ciachnale»¡cychdoF.

Załó»my,»e ˆ Ljestoperatoremsymetrycznymidodatniookre±lonymtzn.:

1.h ˆ Lu|vi=hu| ˆ Lvidlaka»degou,v2U

2.h ˆ Lu|ui0dlawszystkichu2Uzwyj¡tkiemu=0.

Mo»nawi¦cwykaza¢,»ewzór:

hu|vi ˆ L =h ˆ Lu|vi

Norm¦||u|| ˆ L = p hu|ui ˆ L nazywa¢b¦dziemynorm¡energetyczn¡.Niechprze-

strzenieU,Forazoperatorró»niczkowyspełniaj¡w/wzało»eniainiechpo-

nadtoU N oznaczaN-wymiarow¡podprzestrze«U.

Rozpatrzmyrównanieró»niczkowe

ˆ Lu=f, (1)

gdziefjestdan¡funkcj¡nale»¡c¡doFprzyzało»eniu,»erównanietomaw

podprzestrzeniUjednoznacznerozwi¡zanie.Rozwi¡zanierównania ˆ Lu=f

mo»naprzybli»y¢funkcjamizprzestrzeniU N ,przyczymjakoprzybli»one

rozwi¡zanie ˆ Lu=fprzyjmujesi¦takielementu N 2U N ,»e:

||u−u N || ˆ L =min

¯u2U N

||u−¯u|| ˆ L (2)

Mo»naudowodni¢,»eistniejedokładniejedentakielementu N .Metod¦

t¦nazywamymetod¡Rayleigha-Ritza.Je»elielementamiprzestrzeniU N s¡

wielomianowefunkcjesklejane,totak¡metod¦nazywamymetod¡elementu

sko«czonego,afunkcjeu n -elementemsko«czonymaproksymuj¡cymrozwi¡-

zanieuzprzestrzeniU N .

2.2Algorytm-Etapyrozwi¡zaniaproblemuzapomoc¡

FEM

Rozpatrujemyogólnyprzypadek,gdyelementamiU N s¡funkcjedowolnego

typu,niekonieczniefunkcjesklejane.Niechfunkcje i (i=1,...,N)stanowi¡

baz¦przestrzeniU N mo»naprzedstawi¢wpostaci:

¯u=c 1 1 +c 2 2 +...+c N N , (3)

dlaka»degou,v2Uokre±lanowyiloczynskalarnywprzestrzeniU.

Iloczynskalarnyhu|vinazywa¢b¦dziemyiloczynemenergetycznymwzgl¦dem

operatora ˆ L,aprzestrze«Uztymiloczynemskalarnym–przestrzeni¡ener-

getyczn¡operatora ˆ L.

gdziec i s¡liczbamirzeczywistymi.

Elementuu N poszukiwa¢b¦dziemywtejpostaci.Mamy:

g(c 1 ,...,c N )=||u−u N || 2 ˆ L

(4)

=||u−

c i i || 2 ˆ L

i=1

u−

c i i

c j j

ˆ L

i=1

j=1

=hu|ui ˆ L −2

c j hu| j i ˆ L +

c i c j h i | j i ˆ L

j=1

i,j=1

ElementzprzestrzeniU N ,któregowspółczynnikamiwrozwini¦ciu(5)s¡

liczbyc 1 ,...,c N takie,»e

g(c 1 ,...,c N )=min

(c 1 ,...,c N ) g(c 1 ,...,c N ) (5)

jestposzukiwanymelementemu N .

Wceluwyznaczeniaminimumfunkcjig(c 1 ,...,c N )obliczamypochodne @g

@c k ,

k=1,...,N,iprzyrównujemyjedozera

@c k =−2hu| k i ˆ L +2

c j h k | j i ˆ L =0. (6)

j=1

Funkcjaujestrozwi¡zaniemrównania ˆ Lu=f,zatem

hu| k i ˆ L =h ˆ Lu| k i=hf| k i (7)

popodstawieniu(6)dorówna«(7)otrzymamy

k,j c j =<f, k > (8)

j=1

gdziek=1,...,N,a k,j =hf| k i ˆ L .

Równania(8)tworz¡układNrówna«zNniewiadomymic k .Mo»naudo-

wodni¢,»emacierztegoukładujestmacierz¡nieosobliw¡.Układ(8)posiada

wi¦cjednoznacznerozwi¡zanie.Rozwi¡zanietodajepunktwktórymfunkcja

gosi¡gaminimum.

Poustaleniuwi¦cbazy i ,i=1,...,N,wprzestrzeniU N ,nale»yrozwi¡-

za¢układ(8).Mo»narównie»pokaza¢,»emacierzukładu(8)jestmacie-

rz¡symetryczn¡idodatniookre±lon¡.S¡tofaktywa»neznumerycznego

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: