Zastosowanie kodeksu reguł wnioskowania dla rachunku zdań nie musi być straszne! Jeśli zdołasz sobie uświadomić ten fakt, to już połowa sukcesu. Zatem: „BEZ PANIKI”.
1. Kodeks reguł wnioskowania dla rachunku zdań – cóż to za diabeł?
Kodeks reguł wnioskowania dla rachunku zdań (w skrócie KRW) jest to zbiór reguł (formuł, wzorów, schematów), które w sposób abstrakcyjny opisują różne rodzaje rozumowań, którymi posługujemy się – w większym bądź mniejszym stopniu – każdego dnia. Tym samym jeśli poświęcimy chwilę czasu i zastanowimy się w jaki sposób przebiegają nasze najzwyklejsze rozumowania, KRW okaże się być bardzo intuicyjny. Pierwszą z reguł, które omówimy będzie reguła negowania negacji.
2. Reguła negowania podwójnej negacji (NN) zwana również regułą opuszczania podwójnej negacji (ON).
Zastanówmy się, gdyby ktoś nam powiedział, że: „Nie jest prawdą, że dzisiaj nie jest ładna pogoda”, to dwie negacje, które pojawiły się w tym zdaniu zniosły by się wzajemnie (jak dwa minusy w matematyce) i sens wspomnianej wypowiedzi byłby następujący: „Dzisiaj jest ładna pogoda”. Podobnie gdyby ktoś powiedział: „Nie jest prawdą, że Zygfryd nie lubi zaglądać do kielicha”, znaczyłoby to, że Zygfryd zdaniem osoby wypowiadającej takie zdanie, jest miłośnikiem szkła. Rozumowania, które przedstawiliśmy można zapisać w postaci następującego schematu:
~~ α
------ ON (NN)
α
Legenda:
ON oraz NN to skróty nazwy reguły, którymi posłużymy się rozwiązując w przyszłości konkretne zadania,
α to symbol zdania,
-------- to tzw. kreska inferencyjna oddzielająca przesłanki naszego rozumowania od wniosku. To, co jest nad kreską inferencyjną, to przesłanki, to zaś, co znajdzie się pod kreską, jest wnioskiem (tym, co możemy wyprowadzić z określonej przesłanki). Powiedzmy od razu, że nie zawsze będzie tak, iż w naszym rozumowaniu pojawi się tylko jedna przesłanka. Niestety w życiu, a zatem i w logice, bywa tak, że określone wnioski budujemy na bazie kilku przesłanek.
Wniosek: reguła ON głosi, iż jeśli w jakiejś wypowiedzi występują dwie negacje, możemy je śmiało opuścić bez szkody dla wartości logicznej danej wypowiedzi.
Poprawność reguły ON wynika naturalnie wprost z matrycy negacji. Przypomnijmy sobie rozbudowaną matrycę negacji i nieco ją rozbudujmy:
p
~p
~~p
~~~p
~~~~p
1
0
Zauważamy, że w sytuacji gdy wypowiedź ~~p jest prawdziwe, zdanie p również jest prawdziwe, podobnie jeśli wypowiedź ~~p będzie fałszywa, po opuszczeniu podwójnej negacji w dalszym ciągu będziemy mieli do czynienia ze zdaniem fałszywym. Ot i cała trudność reguły ON! Prawda, że proste?
3. Reguła dołączania podwójnej negacji (DN).
W przyrodzie musi być równowaga, każdej akcji towarzyszy reakcja. Jeżeli kopniemy kamień, to on poleci, a nas może rozboleć noga. Jeżeli umówimy się z najlepszą przyjaciółką żony, to z pewnością atmosfera w domu zrobi się odrobinę ciężkawa. Podobnie jest i w logice. Jeśli istnieje reguła opuszczania podwójnej negacji, musi istnieć też reguła dołączania podwójnej negacji.
Zapewne pamiętasz, że gdy mówiliśmy o negacji, stawialiśmy sobie pytanie w jakim celu dołączać do określonej wypowiedzi kilka par negacji, skoro wartość logiczna wypowiedzi nie ulegnie zmianie („Nie prawda, że nie jest tak, iż nie kocham Cię”)? Wówczas powiedzieliśmy, że z tego typu zabiegu korzysta się wówczas, gdy chce się coś powiedzieć, ale jednocześnie z pewnych względów, nie chce się by adresat danej wypowiedzi od razu uchwycił jej sens. Reguły DN opisuje właśnie ten zabieg:
------ DN
Jeśli chcemy więc powiedzieć: „Logika jest fantastyczna”, a chcemy jednocześnie popisać się naszą znajomością logiki, możemy z powiedzeniem powiedzieć: „Nie jest prawdą, że logika nie jest fantastyczna”. Nieśmiały lecz niewątpliwie romantyczny chłopieć, zamiast wprost powiedzieć do dziewczyny: „Hej Mała, masz ładny zgryz”, może powiedzieć: „Nieprawdą jest, że nie masz ładnego zgryzu”. I nieśmiałemu młodzieńcowi przejdzie takie zdanie łatwiej przez gardło i niewiasta ucieszy się, że zostały docenione (także) jej walory intelektualne (w końcu młodzieniec posłużył się wiedzą czysto logiczną).
Ponownie należy powiedzieć, że poprawność reguły DN wynika wprost z matrycy negacji.
Zauważmy raz jeszcze, wartość logiczna zdania p niczym nie różni się od wartości logicznej zdania ~~p. Tym samym jeśli zdanie p jest prawdziwe i zdanie ~~p musi być prawdziwe i vice versa, jeśli zdanie p jest fałszywe, zdanie ~~p także musi być fałszywe.
Wniosek: reguła DN głosi, iż do dowolnego zadnia można dołączyć dwie negacje, a wartość logiczna powstałej w ten sposób wypowiedzi będzie taka, jak wartość logiczna zdania wyjściowego.
Bułka z masłem, prawda?
4. Reguła opuszczania koniunkcji (OK).
Zapewne niejednokrotnie zdarzyło się Tobie uczestniczyć w wykładzie (taką mam szczerą nadzieję). Zapewne też zdarzyło się tak, że w trakcie wykładu zanotowałeś kilka słów. Nie wiem czy wiesz, ale wówczas korzystałeś właśnie z reguły opuszczania koniunkcji. Podobnie gdy przygotowujesz się do egzaminu - załóżmy pozostał tydzień - i czytasz podręcznik starając się zapamiętać jego treść przyznasz, że szaleństwem byłoby podjęcie próby zapamiętania absolutnie wszystkiego, co zostało napisane w podręczniku. Być może bierzesz w dłoń marker i zakreślasz te fragmenty, które uznajesz za istotne, a tym samym warte zapamiętania. Wiesz, że w tej sytuacji również korzystasz z reguły OK?
Zapiszmy schemat reguły OK i zastanówmy się cóż takiego on głosi.
α ^ β α ^ β
------- ------- OK
α β
Zgodnie z tym co zapisano wyżej, jeżeli uznamy prawdziwość pewnej koniunkcji, musimy też uznać prawdziwość pierwszego jej członu, jak i drugiego jej członu. Jeżeli więc uznajesz prawdziwość wypowiedzi, która głosi, że w tej chwili siedzisz przed komputerem i czytasz informacje dotyczące reguły opuszczania koniunkcji, to musisz uznać prawdziwość zdania głoszącego, że w tej chwili siedzisz przed komputerem, jak i musisz uznać prawdziwość zdania głoszącego, że czytasz w tej chwili informacje dotyczące reguły opuszczania koniunkcji. Podobnie rzecz miała się również w przypadku wspomnianego wykładu i podręcznika. Jeżeli wszystko, co zostało powiedziane na wykładzie, jest prawdą, to także te zdania, które uznałeś za istotne i w związku z tym zapisałeś muszą być prawdziwe. Podobnie, skoro wszystko, co zostało napisane w podręczniku jest prawdą, to i także zdania, które wyróżniłeś w tekście, muszą być prawdziwe. Proste!!!
Naturalnie reguła opuszczania koniunkcji ma swój fundament w matrycy tego funktora.
q
p^q
Spójrz, w sytuacji gdy koniunkcja jest prawdziwa oba jej argumenty – „p” i „q” – są prawdziwe i inaczej być nie może. Fałszywość dowolnego z argumentów pociągałaby za sobą fałszywość koniunkcji. Zauważ, że gdy wprowadzaliśmy regułę OK założyliśmy, że koniunkcja jest prawdziwa, innymi słowy uznaliśmy prawdziwość przesłanki (koniunkcji) i na tej podstawie sformułowaliśmy określone wnioski.
Wniosek: jeżeli uznajemy prawdziwość pewnej koniunkcji musimy uznać także prawdziwość jej członów.
5. Reguła dołączania koniunkcji (DK).
Analogiczne jak w przypadku reguły opuszczania podwójnej negacji istniała reguła dołączania podwójnej negacji, tak w przypadku reguły opuszczania koniunkcji istnieje reguła dołączania koniunkcji.
Gdybyś miał ochotę powiedzieć komuś: „Dzisiaj widziałem fantastyczną dziewczynę” oraz „Dzisiaj miałem bliskie spotkanie z chłopakiem fantastycznej dziewczyny” mógłbyś obie informacje wyrazić w jednym zdaniu brzmiącym: „Dzisiaj widziałem fantastyczną dziewczynę i miałem bliskie spotkanie z jej chłopakiem”. Oczywistym bowiem jest, że nie zawsze mówimy posługując się tylko zdaniami prostymi, czasem budujemy zdania złożone. Jeżeli oba zdania proste są prawdziwe i zdanie złożone zbudowane ze wspomnianych zdań prostych oraz koniunkcji będzie prawdziwe. Raz jeszcze przypatrzmy się matrycy koniunkcji.
...
iness-kotek