analiza funkcjonalna pytania na egzamin.pdf

Zagadnienia do egzaminu z analizy funkcjonalnej (2007/8)

1. Kryteria ciagło±ci odwzorowania liniowego w przestrzeniach unormowanych i semiunormowanych.

Norma operatora.

2. Izomorﬁczno±¢ sko«czenie-wymiarowych przestrzeni wektorowych topologicznych Hausdora z prze-

strzeni¡ euklidesow¡ i automatyczna ci¡gło±¢ odwzorowa« liniowych (dowód mo»e by¢ dla norm)

3. Domkni¦to±¢ podprzestrzeni sko«czenie wymiarowych, wymiar algebraiczny przestrzeni Banacha.

4. Twierdzenie o funkcjonale Minkowskiego dla zbioru wypukłego, pochłaniaj¡cego.

5. Własno±ci normy ilorazowej, deﬁnicja L p ( µ ) dla 1 ¬ p < 1 .

6. Szeregi w ( X, kk ): rodzaje zbie»no±ci, kryterium ”szeregowe” zupełno±ci.

7. Twierdzenie o zupełno±ci przestrzeni B ( X,Y ) operatorów liniowych ci¡głych.

8. Szereg Carla Neumanna i otwarto±¢ zbioru operatorów odwracalnych w algebrze B ( X ).

Przestrzenie Hilberta

9. Nierówno±¢ Cauchy’ego - Buniakowskiego - Schwarza i zastosowanie do nierówno±ci trójk¡ta

10. Twierdzenie o rzucie na zbiór wypukły domkni¦ty w przestrzeni Hilberta (istnienie i jednoznaczno±¢)

11. Twierdzenie charakteryzuj¡ce rzut przez nierówno±ci dla iloczynów skalarnych (odp. -ortogonalno±¢)

12. Rozkład ortogonalny w przestrzeni Hilberta i własno±ci rzutu ortogonalnego jako operatora

13. Tw. Riesza -Frecheta o postaci funkcjonału

14. Deﬁnicja i elementarne własno±ci operatora sprz¦»onego T

15. Nierówno±¢ Bessela i to»samo±¢ Parsevala, bazy ortonormalne, układ trygonometryczny.

Przestrzenie funkcji całkowalnych, szeregi Fouriera

16. Własno±ci seminormy ilorazowej, wzór na odległo±¢ wektora od ker

17. Kryteria ci¡gło±ci funkcjonału liniowego.

18. Deﬁnicje przestrzeni Lebesgue’a L p ( µ ) Nierówno±ci: Holdera i Minkowskiego.

19. Zupełno±¢ L p ( µ ).

20. Regularno±¢ miar, g¦sto±¢ funkcji ci¡głych w L p ( µ ) w przypadku zwykłej miary Lebesgue’a.

21. Układ trygonometryczny w postaci rzeczywistej i zespolonej, lemat Riemanna - Lebesgue’a

22. Sformułowanie 2-3 twierdze« o sumowaniu szeregu Fouriera, wybrany dow. (poza przyp. kk 2 )

23. Twierdzenie Banacha-Steinhausa, zastosowanie do szeregów Fouriera

”Klasyka”

24. Twierdzenia Banacha o odwzorowaniu otwartym, o izomorﬁzmie i o wykresie domkni¦tym

25. Tw. Hahna-Banacha. Wzór dualny na norm¦ wektora, zanurzenie kanoniczne j : X ! X 00

26. Zastosowanie tw. Hahna-Banacha: rozdzielanie zbiorów wypukłych.