zadania.pdf
(
199 KB
)
Pobierz
am1a-lz.dvi
MAP1142–ANALIZAMATEMATYCZNA 1.1A
Listyzadań
Lista1
1.1.
Czy podane wypowiedzi są zdaniami w logice? Jeśli są, to podać ich wartość logiczną:
a)
„Amsterdam jest stolicą Holandii”;
b)
„liczba 123888 jest podzielna przez 8”;
c)
„
a
2
+
b
2
=
c
2
”;
d)
„trójkąt o bokach 3
,
4
,
5 jest ostrokątny”;
e)
„2
5
32”;
f)
„=
b
2
−
4
ac
”.
1.2.
Napisać zaprzeczenia zdań:
a)
„jem śniadanie i słucham radia”;
b)
„kwadratnie jest pięciokątem”;
c)
„stolicą Polski jest Gniezno lub Wrocław”;
d)
„jeśli jutro będzie ciepło, to pójdę na basen”;
e)
„liczba jest podzielna przez 6 wtedy i tylko wtedy, gdy jest podzielna przez 3”.
1.3.
Ocenić prawdziwość zdań złożonych:
a)
„nieprawda,że funkcja
f
(
x
)=
x
2
jest rosnąca na R”;
b)
„(
−
1)
44
=
−
1 lub 2008 jest liczbą parzystą”;
c)
„funkcja
g
(
x
)=sin
x
jest okresowa,a funkcja
f
(
x
)=3
x
nieparzysta”;
d)
„jeżeli Piotr jest synem Tadeusza, to Tadeusz jest starszy od Piotra”;
e)
„liczba 13579jest podzielna przez 9 wtedy i tylko wtedy, gdy suma 1+3+5+7+9 jest podzielna przez 9”.
1.4.
Czy podane funkcje zdaniowe są prawami logicznymi:
a)
¬
(
p
∨
q
) =
⇒
[(
¬
p
)
∧
(
¬
q
)];
b)
p
=
⇒
[(
q
∧¬
q
) =
⇒
r
];
c)
(
p
=
⇒
q
)
⇐⇒
[(
¬
p
)
∨
q
];
d)
[
p
∧
(
¬
q
)]
∨
[(
¬
p
)
∧
q
]?
1.5.
Zbiory określone za pomocą formy zdaniowej zapisać w prostszej postaci:
a)
x
∈
R :
x
2
=4
;
b)
n
∈
N : liczba
n
2
−
n
jest parzysta
;
c)
{
x
∈
x
∈
R :(
x<
3)
∨
(
x
5)
}
;
d)
{
n
∈
N :
n
jest podzielne przez 5
}
;
e)
R :(
x>
0) =
⇒
x
2
>
0
;
f)
{
(
x,y,z
):
x,y,z
∈
N
∧
x<y <z
∧
xyz
=16
}
.
1.6.
Podać przykłady warunków, które spełniają tylko elementy zbiorów:
a)
[
−
1
,
7];
b)
{
trójkąt równoboczny, kwadrat
}
;
c)
{
2
,
4
,
6
,...
}
;
d)
2
,
1
3
,
1
5
,
1
7
,
1
11
,...
;
e)
{
1
}∪
[2
,
3];
f)
{−
1
,
1
,
−
3
,
3
,
−
5
,
5
,
−
15
,
15
}
.
1.7.
Zbadać, czy podane formy zdaniowe z kwantykatoramisą prawdziwe:
a)
sin
x
=
1
2
;
b)
x
2
+4
x
+3
>
0;
c)
x
2
−
y
2
=0;
x
∈
R
x
∈
R
x
∈
R
y
∈
R
d)
xy
=0;
e)
(
y
x
)
∨
(
y >x
);
f)
!
x
∈
−
2
,
2
∧
tg
x
=
y.
y
∈
R
x
∈
R
x
∈
R
y
∈
R
y
∈
R
x
∈
R
1.8.
Dla podanych par zbiorów
A, B
⊂
R wyznaczyć
A
∪
B
,
A
∩
B
,
A
\
B
,
B
\
A
,
A
c
,
B
c
,
A
△
B
:
a)
A
=(0
,
5),
B
=[0
,
7];
b)
A
=(
−∞
,
3),
B
=[
−
1
,
∞
);
c)
A
=
{
1
,
2
}
,
B
=
{
1
,
2
,
3
,
4
}
;
d)
A
= N,
B
=
{
2
n
:
n
∈
N
}
.
Wskazać te pary
A, B
, dla których
A
⊂
B.
1.9.
Wyznaczyć wszystkie podzbiory zbioru
{
◦
,
△
,
2
}
.
1.10.
Która z relacji
A
⊂
B
, czy
B
⊂
A
zachodzi, gdy:
a)
A
∪
B
=
A
;
b)
A
∪
B
⊂
A
;
c)
A
\
B
=
A
;
d)
B
⊂
A
∩
B
?
1
1
Lista2
2.1.
Określić i narysować dziedziny funkcji:
a)
f
(
x
)=
x
x
2
−
2
x
−
3
;
b)
f
(
x
)=
x
−
2
x
2
+4
;
c)
f
(
x
)=
16
−
x
2
;
d)
f
(
x
)=
−
(
x
+3)
4
;
e)
f
(
x
)=
x
−
1
√
x
−
1
;
f)
f
(
x
)=
x
−
4
x
2
−
8
x
+16
.
2.2.
Określić funkcje złożone
f
◦
f
,
f
◦
g
,
g
◦
f
,
g
◦
g
oraz podać ich dziedziny, jeżeli:
a)
f
(
x
)=
1
x
,
g
(
x
)=
x
2
;
b)
f
(
x
)=
√
x
,
g
(
x
)=
x
4
;
c)
f
(
x
)=
1
x
+1
,
g
(
x
)=
1
x
+2
;
d)
f
(
x
)=
|
x
|
,
g
(
x
)=
√
x
+1.
2.3.
Uzasadnić, że złożenie funkcji:
a)
rosnącychjest funkcją rosnącą;
b)
rosnącej i malejącej jest funkcją malejącą;
c)
malejących jest funkcją rosnącą.
2.4.
Znaleźć funkcje
f
i
g
takie, że
h
=
f
◦
g
, jeżeli:
a)
h
(
x
)=
x
2
;
b)
h
(
x
)=
x
4
+2
x
2
−
2;
c)
h
(
x
)=
x
2
+2
x
+1
x
2
+2
x
−
1
;
d)
h
(
x
)=
|
x
|
+1
|
x
|−
1
;
e)
h
(
x
)=
x
+1
x
;
f)
h
(
x
)=2
x
2
.
Czy funkcje
f
i
g
są wyznaczone jednoznacznie?
2.5.
Uzasadnić, że podane funkcje są różnowartościowena wskazanych zbiorach:
a)
f
(
x
)=2
x
−
3
,
R;
b)
f
(
x
)=
1
x
,
R
\{
0
}
;
c)
f
(
x
)=
x
4
,
[0
,
∞
);
d)
f
(
x
)=
x
+1
x
−
2
,
(2
,
∞
);
e)
f
(
x
)=
√
x
−
3
,
[0
,
∞
);
f)
f
(
x
)=
x
−
√
x,
1
4
,
∞
.
2.6.
Korzystajac z wykresu funkcji
y
=
√
x
naszkicować wykresy funkcji:
√
√
√
a)
y
=
x
−
2;
b)
y
=2
x
;
c)
y
=
2
−
x
;
d)
y
=2
−
√
x
;
e)
y
=1+
√
x
;
f)
y
=1
−
√
x
+1.
2.7.
Znaleźć funkcje odwrotne do funkcji:
a)
f
(
x
)=
x
+1
x
−
1
;
b)
f
(
x
)=3
−
3
√
x
+2;
c)
f
(
x
)=
x
6
sgn
x
;
d)
f
(
x
)=
−
x
2
dla
x<
0
,
2+
x
dla
x
0;
e)
f
(
x
)=2
x
−
1
;
f)
f
(
x
)=4
x
;
g)
f
(
x
)=log(
x
+2);
h)
f
(
x
)=log
2
2
x
;
i)
f
(
x
)=log
3
2
(
x
+1)
.
Lista3
3.1.
Korzystając z wykresu funkcji
y
=sin
x
naszkicować wykresy funkcji:
a)
y
=sin2
x
;
b)
y
=sin
x
3
;
c)
y
=sin
x
+
4
;
d)
y
=1+sin
x
;
e)
y
=
1
2
sin
x
−
1;
f)
y
=sin2
x
−
6
.
3.2.
Naszkicować wykresy funkcji:
a)
y
=sin
x
−
1
2
sin
x
;
b)
y
=1+ctg
x
+
4
;
c)
y
=tg
x
+
|
tg
x
|
;
d)
y
=
|
tg
x
|
ctg
x
.
2
3.3.
Korzystajączewzorówredukcyjnychzapisaćpodanewyrażeniawpostacifunkcjitrygonometrycznychkąta
∈
0
,
2
:
a)
sin
3
2
−
;
b)
cos
5
2
+
;
c)
tg(
−
);
d)
ctg
2
+
.
3.4.
Uzasadnić tożsamości trygonometryczne:
a)
1+tg
1+ctg
=tg
;
b)
sin
4
+cos
4
=1
−
1
2
sin
2
2
;
c)
tg
+ctg
=
2
sin2
;
d)
tg
2
=
1
−
cos
sin
;
e)
sin
4
−
cos
4
=sin
2
−
cos
2
;
f)
1
cos
−
cos
=sin
tg
.
Dla jakich kątów
są one prawdziwe?
3.5.
Obliczyć wartości wyrażeń:
a)
tg
arccos
1
2
;
b)
ctg
arcsin
1
3
;
c)
sin
arcsin
3
5
+arcsin
8
17
;
d*)
sin(arctg1+arctg2).
3.6.
Funkcje odwrotne do podanych zapisać przy pomocy funkcji cyklometrycznych:
a)
f
(
x
)=sin
x
,
x
∈
2
,
3
;
b)
f
(
x
)=cos
x
,
x
∈
[
,
2
];
2
c)
f
(
x
)=tg
x
,
x
∈
−
3
2
,
−
2
;
d)
f
(
x
)=ctg
x
,
x
∈
(
,
2
)
.
Naszkicować wykresy otrzymanych funkcji odwrotnych.
Lista4
4.1.
Zbadać, czy podane ciągi są ograniczone z dołu, z góry, są ograniczone:
a)
a
n
=
2+cos
n
3
−
2sin
n
;
b)
a
n
=
n
√
2
n
+1;
c)
a
n
=
4
n
−
1
2
n
+3
;
d)
a
n
=
√
n
+8
−
√
n
+3;
e)
a
n
=
1
4
1
+1
+
1
4
2
+2
+
...
+
1
4
n
+
n
;
f)
a
n
=2
n
−
3
n
.
4.2.
Zbadać, czy podane ciągi są monotoniczne od pewnego miejsca:
a)
a
n
=
2
n
+1
n
+2
;
b)
a
n
=
n
n
2
+1
;
c)
a
n
=
n
!
10
n
;
d)
a
n
=
1
n
2
−
6
n
+10
;
e)
a
n
=
4
n
2
n
+3
n
;
f)
a
n
=
n
2
+1
−
n
.
4.3.
Korzystając z denicji granicy właściwej lub niewłaściwej ciągu uzasadnić równości:
3
−
n
n
+4
=
−
1;
b)
lim
2
n
+1
n
2
2
√
n
+1
a)
lim
n
→∞
=0;
c)
lim
n
→∞
√
n
+1
=2;
n
→∞
d)
lim
n
→∞
1
2
n
+5
=0;
e)
lim
n
→∞
log
2
(
n
+3)=
∞
;
f)
lim
n
→∞
10
−
3
√
n
=
−∞
.
4.4.
Korzystając z twierdzeń o arytmetyce granic ciągów obliczyć granice:
a)
lim
n
→∞
3
n
−
1
n
+4
;
b)
lim
n
→∞
n
+1
2
n
2
+1
;
c)
lim
n
→∞
n
3
+2
n
2
+1
n
−
3
n
3
;
n
20
+2
d)
lim
n
→∞
3
(
n
3
+1)
20
;
e)
lim
n
→∞
1+3+
...
+(2
n
−
1)
2+4+
...
+2
n
;
f)
lim
n
→∞
5
n
−
4
n
5
n
−
3
n
;
g)
lim
n
→∞
n
!+1
(2
n
+1)(
n
+1)!
;
n
2
+1
h)
lim
n
→∞
n
2
+4
n
+1
−
n
2
+2
n
;
i)
lim
n
→∞
n
+6
√
n
+1
−
√
n
.
4.5.
Korzystając z twierdzenia o trzech ciągach znaleźć granice:
3
a)
lim
n
→∞
2
n
+(
−
1)
n
3
n
+2
;
b)
lim
n
→∞
⌊
n
⌋
n
;
c)
lim
n
→∞
n
√
3+sin
n
;
n
→∞
n
n
+
2
n
2
+
3
n
3
;
e)
lim
n
→∞
n
√
n
2
n
+1;
f)
lim
n
→∞
1
n
2
+1
+
1
n
2
+2
+
...
+
1
n
2
+
n
;
n
√
2
3
n
+2
n
5
n
+4
n
;
g)
lim
n
→∞
√
;
h)
lim
n
→∞
n
i)
lim
n
→∞
n
+2
3
n
+4
n
+1
.
n
3
4.6.
Korzystając z denicji liczby
e
oraz z twierdzenia o granicy podciągu obliczyć granice:
1+
1
n
3
n
−
2
5
n
+2
5
n
+1
15
n
3
n
3
n
+1
n
a)
lim
n
→∞
;
b)
lim
n
→∞
;
c)
lim
n
→∞
;
n
+4
n
+3
5
−
2
n
n
2
n
2
+1
n
2
3
n
+2
5
n
+2
n
5
n
+3
3
n
+1
n
d)
lim
n
→∞
;
e)
lim
n
→∞
;
f)
lim
n
→∞
.
Lista5
5.1.
Korzystając z twierdzenia o dwóch ciągach znaleźć granice:
n
→∞
n
√
n
n
+5;
b)
lim
n
→∞
(4
n
+(
−
3)
n
);
c)
lim
n
→
∞
(sin
n
−
2)
n
2
;
3
+
1
n
5
−
1
n
n
n
5
−
10
n
6
+1
√
1
+
√
2
+
...
+
√
d)
lim
n
→∞
;
e)
lim
n
→∞
;
f)
lim
n
→∞
.
n
n
5.2.
Korzystając z twierdzenia o granicach niewłaściwych ciągów obliczyć granice:
a)
lim
n
→∞
n
2
+1
n
;
b)
lim
n
→∞
n
4
−
3
n
3
−
2
n
2
−
1
;
c)
lim
n
→∞
(1+2
n
−
3
n
);
n
+1
2
n
n
1
−
(
n
+1)!
n
!+2
√
3
−
cos
n
n
d)
lim
n
→∞
;
e)
lim
n
→∞
;
f)
lim
n
→∞
;
g)
lim
n
→∞
arctg
n
arcctg
n
;
h)
lim
n
+1
;
i)
lim
n
→∞
arctg2
n
2
n
.
n
→∞
n
ln(
n
+1)
−
ln
n
5.3.
Korzystając z denicji Heinego granicy właściwej lub niewłaściwej funkcji uzasadnić równości:
a)
lim
x
→
3
(
x
−
2)
5
=1;
b)
lim
x
→
0
sin
2
x
x
=0;
c)
lim
x
→−
⌊
x
⌋
=
−
4;
d)
lim
x
→
2
+
sgn(cos
x
)=
−
1;
e)
lim
x
→−
3
−
x
2
−
9=0;
f)
lim
x
→−∞
(3
x
+1) =1;
g)
lim
x
→∞
1
−
2
x
3
x
3
+1
=
−
2;
h)
lim
x
→
2
+
1
x
−
2
=
∞
;
i)
lim
x
→
1
3
−
x
|
x
2
+2
x
−
3
|
=
−∞
.
5.4.
Wskazując odpowiednie dwa ciągi uzasadnić, że podane granice nie istnieją:
a)
lim
x
→
3
x
2
x
−
3
;
b)
lim
x
→
2
x
2
;
c)
lim
x
→∞
sin
√
x
;
d)
lim
x
→
0
−
cos
1
x
2
;
e)
lim
x
→
0
sgn
x
sgn(
x
+1)
;
f)
lim
x
→
5
(
x
−⌊
x
⌋
)
.
5.5.
Korzystając z twierdzeń o arytmetyce granic funkcji obliczyć granice:
√
x
2
−
1
x
2
−
x
+1
;
b)
lim
x
2
−
4
x
2
−
x
−
2
;
c)
lim
x
+
x
a)
lim
x
→
0
√
x
;
x
→
2
x
→
0
d)
lim
x
→
1
x
3
−
1
x
4
−
1
;
e)
lim
x
→
1
x
6
−
1
1
−
x
2
;
f)
lim
x
→∞
x
2
−
5
x
+4
x
(
x
−
5)
.
4
1
d)
lim
a)
lim
1
Lista6
6.1.
Korzystając z twierdzeń o arytmetyce granic funkcji obliczyć granice (cd.):
√
x
−
2
−
2
x
−
6
√
3
x
−
4
√
1+
x
−
√
1
−
x
g)
lim
x
→
6
;
h)
lim
x
→
64
√
x
−
8
;
i)
lim
x
→
0
;
2
x
√
1+
x
2
2
x
+1
3
x
+2
;
j)
lim
x
→−∞
x
2
+1+
x
;
k)
lim
x
→∞
√
1
−
x
3
;
l)
lim
x
→∞
3
m)
lim
x
→
2
−
tg
2
x
+1
tg
2
x
+5
;
n)
lim
x
→
0
sin
2
x
1
−
cos
x
;
o)
lim
x
→
2
tg
x
−
1
cos
x
.
6.2.
Zbadać, obliczając granice jednostronne, czy istnieją granice:
x
→
0
x
sgn
x
;
b)
lim
x
→
0
2
1
x
3
;
c)
lim
x
→
2
x
2
−
4
|
x
−
2
|
;
d)
lim
x
→−
1
sgn
x
1
−
x
2
;
e)
lim
x
→
0
⌊
x
⌋
x
;
f)
lim
x
→
0
x
arctg
1
x
.
6.3.
Korzystając z twierdzenia o trzech funkcjach uzasadnić równości:
e)
lim
x
→
0
+
√
x
cos
1
x
2
=0;
x
→
0
x
3
arctg
1
=0;
d)
lim
x
→
2
⌊
x
⌋
sin(
x
)=0;
x
c)
lim
x
→−∞
2
−
x
+sin
x
2
−
x
+cos
x
=1;
f)
lim
2+sin
x
x
2
=0;
g)
lim
x
→−∞
e
x
+sin
2
x
=0;
x
→∞
x
+
1
x
h)
lim
x
→∞
⌊
2
e
x
⌋
+1
=
3
2
;
i)
lim
x
→
0
x
3
1
x
=0;
j)
lim
x
→∞
sin
−
sin
x
=0
.
6.4.
Korzystając z twierdzenia o dwóch funkcjach uzasadnić równości:
a)
lim
x
→∞
x
2
+1
⌊
x
⌋
=
∞
;
b)
lim
2+sin
1
x
=
∞
;
c)
lim
x
→
0
−
3
−
cos
1
x
ctg
x
=
−∞
.
x
→
0
x
2
6.5.
Korzystając z granic podstawowychwyrażeń nieoznaczonychobliczyć granice:
a)
lim
x
→
0
sin
2
3
x
x
2
;
b)
lim
x
→
0
sin
x
2
sin
x
3
;
c)
lim
x
→∞
tg
1
x
tg
2
x
;
d)
lim
x
→
0
arcsin2
x
arctg
x
;
e)
lim
x
→∞
x
2
arctg
1
x
;
f)
lim
x
→
0
cos3
x
−
cos7
x
x
2
;
√
cos5
x
cos3
x
;
e
3
x
−
1
sin2
x
;
ln(1+
3
x
)
g)
lim
x
→
2
h)
lim
x
→
0
i)
lim
x
→
0
;
x
j)
lim
x
→−∞
ln(1+2
x
)
3
x
;
k)
lim
x
→
0
+
2
x
−
1
4
√
x
−
1
;
l)
lim
x
→
0
(1+2
x
)
1
x
;
√
√
1
x
+2
2
x
−
1
1+
x
−
6
1
−
x
3
m)
lim
x
→∞
1+
;
m)
lim
x
→
0
[1+tg(2
x
)]
ctg
x
;
o)
lim
x
→
0
.
x
6.6.
Znaleźć asymptoty pionowe i ukośne funkcji:
a)
f
(
x
)=
x
3
+
x
2
x
2
−
4
;
b)
f
(
x
)=
(
x
+1)
2
;
c)
f
(
x
)=
1
−
x
2
x
3
x
+1
;
√
d)
f
(
x
)=
x
−
3
1+
x
2
x
1
e
x
−
1
;
√
x
2
−
9
;
e)
f
(
x
)=
;
f)
f
(
x
)=
g)
f
(
x
)=
sin
x
x
−
;
h)
f
(
x
)=
sin
2
x
x
3
;
i)
f
(
x
)=
x
−
arctg
x
.
5
a)
lim
a)
lim
⌊
3
e
x
⌋
+2
Plik z chomika:
patrycja2605
Inne pliki z tego folderu:
zadania.pdf
(199 KB)
analiza lista zadań 1.1 A.pdf
(200 KB)
Analiza ćwiczenia, koło II.rar
(23828 KB)
Inne foldery tego chomika:
Algebra
Chemia 1
Filozofia Szczęścia
Fizyka 1
Technologia Informacyjna
Zgłoś jeśli
naruszono regulamin