Tomasz Madejski

WPROWADZENIE DO SYSTEMÓW TELEKOMONIKACYJNYCH -SEMINARIUM.

                                                                                                                                   Semestr zimowy 2000/2001.

                                                                                                  Prowadzący: dr inż. Wojciech J. Krzysztofik.

Zadanie Z1/6.

Wyznaczyć metodą pochodnych współczynniki Fn rozkładu w wykładniczy szereg Fouriera następujących funkcji:

1.Wstęp teoretyczny.

              Podstawowym aparatem matematycznym analizy widmowej są szereg i przekształcenie (transformata) Fouriera. Z jego istoty wynika, że każdą funkcję okresową (w tym przypadku sygnał) spełniającą określone warunki (tzw. warunki Dirichleta :

1.posiadający skończoną liczbę punktów nieciągłości w okresie,

2.posiadający skończoną liczbę ekstremów (przedziałami monotoniczny),

3.bezwzględnie całkowalny w okresie) można przedstawić w postaci równoważnego jej szeregu Fouriera w postaci trygonometrycznej lub wykładniczej (zespolonej):

,      – pulsacja podstawowa

gdzie:

,      

Tak więc istotą przekształcenia Fouriera jest przedstawienie sygnału okresowego w postaci sumy elementarnych drgań harmonicznych.

Własności wykładniczego szeregu Fouriera:

Jeżeli f(t) « Fn oraz g(t) « Gn, wówczas:

1.      Liniowość: a f(t) + b g(t) « a Fn + bGn (jeżeli f(t) i g(t) mają ten sam okres).

2.      Przesunięcie w dziedzinie czasu: f(t – to) « Fn e- j n woto (liniowa zmiana widma fazowego: jn = arg Fn - nwoto),

3.      Różniczkowanie funkcji czasu: df k(t)/dt k « (jnwo)kFn n ¹ 0.

4.      Zmiana skali czasu: f(at) « Fn, (okres f(at) równy T/a, pulsacja podstawowa równa 2pa/T= awo), kształt widma identyczny jak f(t).

Bardzo użyteczną funkcją periodyczną jest periodyczny ciąg impulsów delta Diraca:

Korzystając z własności próbkujących funkcji delta Diraca znajdujemy:

dp(t, T) « Fn =

2.Rozwiązanie zadania.

a)

              Korzystając z metody pochodnych i wzorów przytoczonych w części teoretycznej obliczamy odpowiednie współczynniki rozwinięcia Fouriera (dla T =  p,czyli =2) :

Jak widać z powyższych rysunków po dwukrotnym zróżniczkowaniu funkcji f(t) otrzymaliśmy ciąg funkcji impulsowych oraz funkcję okresową –f(t).

Możemy teraz ułożyć następujące równanie:

Ostatecznie:

b)

Korzystając z metody pochodnych i wzorów przytoczonych w części teoretycznej obliczamy odpowiednie współczynniki rozwinięcia Fouriera (dla  T =  2p,czyli =1) :

c)

Korzystając z metody pochodnych i wzorów przytoczonych w części teoretycznej obliczamy odpowiednie współczynniki rozwinięcia Fouriera (dla   T =  2p,czyli =1) :

Współczynnik  pierwszej harmonicznej musi być policzony z definicji :

        Ostatecznie:  

Wnioski:

Analiza widmowa sygnałów należy do podstawowych narzędzi matematycznych we współczesnej elektronice i telekomunikacji, a zwłaszcza w teorii sygnałów. Umożliwia ona przedstawienie każdego sygnału okresowego za pomocą analitycznej funkcji zespolonej w postaci szeregu zwanego szeregiem Fouriera. Dzięki zastosowaniu metody pochodnych można stosunkowo szybko i łatwo wyznaczyć współczynniki Fn skomplikowanych funkcji okresowych.