środki ciężkości.pdf

4.1. Środek ciężkości i środek masy

Rozpatrzmy układ n punktów materialnych o masach m k (k = 1, 2, . . . , n), na

które działają siły ciężkości G k (rys. 4.1). Niech położenie tych punktów względem

punktu odniesienia O określają wektory wodzące r k , jak na rysunku. Wiadomo, że

siły ciężkości poszczególnych punktów są równe iloczynowi masy przez

przyśpieszenie ziemskie, G k = m k g , i są skierowane do środka kuli ziemskiej.

Ponieważ wymiary układów materialnych rozpatrywanych w zastosowaniach

technicznych są pomijalnie małe w porównaniu z promieniem kuli ziemskiej, siły

ciężkości możemy uważać za siły równoległe. Punkt C położenia wypadkowej sił

ciężkości G nazywamy środkiem ciężkości układu lub ciała materialnego. Punkt

ten nie zależy od obrotu układu lub ciała materialnego.

Skoro siły ciężkości są siłami równoległymi, to do określenia położenia środka

ciężkości C możemy wykorzystać wzory wyprowadzone w p. 3.9.1 na środek

układu sił równoległych. Wektor wodzący r C środka ciężkości C układu punktów

materialnych zgodnie ze wzorem (3.54) będzie wyrażał związek:

∑ 1

. .)

Współrzędne środka ciężkości C w prostokątnym układzie współrzędnych

otrzymamy ze wzorów (3.55):

∑

. (4.2)

We wzorach (4.1) i (4.2) G jest ciężarem całkowitym układu materialnego:

∑ 1

G k

W przypadku ciała materialnego o ciągłym rozmieszczeniu masy, jakim jest

bryła, dzielimy je myślowo na n małych elementów o masach ∆m k i ciężarach ∆G k

(rys. 4.2). Po podstawieniu do wzorów (4.1) i (4.2) ∆G k zamiast G k otrzymamy

wzory na przybliżone położenie środka ciężkości bryły:

∑

∆

, .)

∑

∆

. (4.4)

m k

m 2

m 1

r 2

G 2

r k

G k

∆m k

G 1

r 1

r C

r k

m n

r n

∆ G k

G n

Rys. 4.2. Wyznaczanie środka

ciężkości dowolnej bryły

Rys. 4.1. Siły ciężkości jako siły równoległe

Dokładny wzór na promień wodzący r C środka ciężkości C otrzymamy, biorąc

granicę sumy występującej we wzorze (4.3) przy liczbie elementów n dążącej do

nieskończoności i ich wymiarach dążących do zera. Wtedy w miejsce sumy

otrzymamy całkę rozciągniętą na całą bryłę. Zatem wektor wodzący środka

ciężkości C

∑∫

lim

→∞

∆

. .)

Z kolei współrzędne prostokątne środka ciężkości bryły są określone wzorami:

∫

xdG

∫

ydG

∫

zdG

. (4.6)

Załóżmy obecnie, że pole sił ciężkości jest polem jednorodnym, czyli

przyśpieszenie ziemskie nie ulega zmianie, tzn. g = const w całym rozpatrywanym

układzie materialnym. Możemy wtedy zapisać:

GgmidGgdm

= ,

gdzie m jest masą całego układu lub ciała materialnego. Po podstawieniu tych

zależności do wzorów (4.5) i (4.6) i po skróceniu przez g otrzymamy wzory:

∫

, .)

∫

xdm

∫

ydm

∫

zdm

. (4.8)

Określają one położenie środka masy bryły. W przypadku układu punktów

materialnych środek masy będzie określony przez analogiczne wzory, z tym że

miejsce całek zajmą sumy:

∑ 1

, .)

∑

. (4.10)

Ze wzorów (4.7−4.10) wynika, że przy przyjętych założeniach w jednorodnym

polu sił ciężkości środek masy pokrywa się ze środkiem ciężkości. Z tego względu

mówiąc o środku ciężkości, możemy mieć na myśli środek masy i odwrotnie.

Trzeba jednak pamiętać, przy jakich założeniach te dwa punkty się pokrywają.

4.2.1. Środek ciężkości bryły jednorodnej

Bryłą jednorodną nazywamy ciało materialne, w którym masa jest

rozmieszczona równomiernie w całej jego objętości. Dla takich ciał zarówno

gęstość, jak i ciężar właściwy są wielkościami stałymi. Jeżeli ciężar właściwy

oznaczymy przez γ, a objętość bryły przez V, to całkowity ciężar oraz ciężar

elementu objętości bryły możemy wyrazić wzorami:

= γ

,dG=dV.

Po podstawieniu tych zależności do wzorów (4.5) oraz (4.6) i skróceniu przez stały

czynnik γ otrzymamy:

∫

, .)

∫

xdV

∫

ydV

∫

zdV

. (4.12)

Obszarem całkowania jest tutaj cała objętość bryły V.

Z otrzymanych wzorów wynika, że położenie środka ciężkości (środka masy)

brył jednorodnych zależy tylko od ich kształtu geometrycznego.

W wyznaczaniu środków ciężkości pomocne jest następujące twierdzenie,

którego dowód pozostawiamy Czytelnikowi.

Jeżeli bryła jednorodna ma płaszczyznę, oś lub środek symetrii, to środek

ciężkości tej bryły będzie leżał na płaszczyźnie, osi lub w środku symetrii.

Przykład 4.1. Wyznaczyć położenie środka ciężkości jednorodnego ostrosłupa

foremnego o podstawie kwadratu o boku b i wysokości h (rys. 4.3).

Rozwiązanie . Ponieważ oś z jest osią symetrii, środek ciężkości będzie leżał na

tej osi, czyli

C 0

. Wystarczy zatem wyznaczyć jedną współrzędną

z C

z trzeciego wzoru (4.12).

C ==

b z

Rys. 4.3. Wyznaczanie środka ciężkości ostrosłupa

∫

zdV

. )

W mianowniku tego wzoru występuje objętość ostrosłupa:

. )

W celu wyznaczenia całki występującej w liczniku wzoru (a) ostrosłup podzielimy

na elementy dV w postaci cienkich płytek kwadratowych, równoległych do

podstawy xy, o boku b z i grubości dz. Objętość tak przyjętego elementu

dV b dz

Bok krawędzi elementu znajdziemy z proporcji wynikającej z rysunku:

z =

−

, stąd ( )

z =−.

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: