mat_tablice.pdf

(1237 KB) Pobierz
LMD-MP11-tabela
Matematyka.
Próbna Matura z OPERONEM i „Gazetà Wyborczà”
ZESTAW WYBRANYCH WZORÓW MATEMATYCZNYCH
OBOWIÑZUJÑCYCH OD ROKU 2010
(êród∏o: CKE)
1. WARTOÂå BEZWZGL¢DNA LICZBY
WartoÊç bezwzgl´dnà liczby rzeczywistej x definiujemy wzorem:
<
x
=
)
-
x
x
dla
dla
x
x
H
0
0
Liczba x jest to odleg∏oÊç na osi liczbowej punktu x od punktu 0. W szczególnoÊci:
x
H
0
-=
x
x
Dla dowolnych liczb x , y mamy:
xy x y
+
G
+
xy x y
-
G
+
xy x y
$
=
$
=
Dla dowolnych liczb a oraz r 0
!
, to
x
x
H mamy warunki równowa˝ne:
xa r ar x ar
-
G
+
-
G G
+
xa r x ar
-
HG
- lub xar
H
+
2. POT¢GI I PIERWASTKI
Niech n b´dzie liczbà ca∏kowità dodatnià. Dla dowolnej liczby a definiujemy jej n -tà pot´g´:
...
n
n raz $ $
n
stopnia n z liczby a 0
H
nazywamy liczb´ b 0
H
takà, ˝e ba
n
= .
W szczególnoÊci, dla dowolnej liczby a zachodzi równoÊç: aa
2
= .
Je˝eli a 0 oraz liczba n jest nieparzysta, to a
n
oznacza liczb´ b 0 takà, ˝e ba
n
= .
Pierwiastki stopni parzystych z liczb ujemnych nie istniejà.
Niech m , n b´dà liczbami ca∏kowitymi dodatnimi. Definiujemy:
– dla a 0
!
:
a
-
n
=
1
oraz a 1
0
=
a
n
m
– dla a 0
H
: a
n
=
n
a
m
– dla a 0: a
m
1
-
n
=
n
a
m
a 0 i
b 0, to zachodzà równoÊci:
Niech r , s b´dà dowolnymi liczbami rzeczywistymi. JeÊli
r
s
r
r
a
r
a
a
dn
Je˝eli wyk∏adniki r , s sà liczbami ca∏kowitymi, to powy˝sze wzory obowiàzujà dla wszystkich liczb a 0
r
$
s
=
r
+
s
bl
a
r
rs
= $
a
=
a
r
-
s
_ i
ab a b
$
=
r
$
r
=
a
s
b
b
r
!
i b 0
!
.
3. LOGARYTMY
. Logarytmem log a liczby c 0 przy podstawie a nazywamy wyk∏adnik b pot´gi, do której nale˝y podnieÊç
podstaw´ a , aby otrzymaç liczb´ c :
log cb a c
a
!
=
+
b
=
Równowa˝nie: a
log c
a
=
c
Dla dowolnych liczb x 0, y 0 oraz r zachodzà wzory:
log
_ i
xy
$
=
log
x
+
log
y
log
xr x
r
=
$
log
log
x
=
log
x
-
log
y
a
a
a
a
a
a
a
a
Wzór na zamian´ podstawy logarytmu:
Je˝eli
a 0, a 1
!
,
b 0, b 1
!
oraz
c 0, to log
c
=
log
a
c
b
log
b
a
log x oraz lg x oznacza log x
10 .
4. SILNIA. WSPÓ¸CZYNNIK DWUMIANOWY
Silnià liczby ca∏kowitej dodatniej n nazywamy iloczyn kolejnych liczb ca∏kowitych od 1 do n w∏àcznie:
!
1 $ $ $
...
n
=
Dla dowolnej liczby ca∏kowitej n 0
H
zachodzi zwiàzek:
_
n
+= +
1
i
! !
n
$
_
n
1
i
Dla liczb ca∏kowitych n , k spe∏niajàcych warunki
0 GG definiujemy wspó∏czynnik dwumianowy
kn
dn(symbol Newtona):
n
k
n
k
n
!
n i
Zachodzà równoÊci:
=
kn k
!
_
-
!
n
k
nn
_ _
-
1
i i
n
-
2
$ $
...
_
n k
- +
1
i
n
k
n
nk
n
0
n
n
d
n
=
d d
n
=
n
dn
=
1
dn
=
1
123
$ $ $ $
...
k
-
1
Ponadto, jeÊli y 0
= \
Pierwiastkiem arytmetycznym a
aa a
aa a
Niech a 0 i a 1
=
Ponadto przyjmujemy umow´, ˝e !01
n
d
393991193.183.png 393991193.194.png 393991193.205.png 393991193.216.png 393991193.001.png 393991193.012.png 393991193.023.png 393991193.034.png 393991193.045.png 393991193.056.png 393991193.067.png 393991193.078.png 393991193.089.png 393991193.100.png 393991193.111.png 393991193.122.png 393991193.133.png 393991193.144.png 393991193.147.png 393991193.148.png 393991193.149.png 393991193.150.png 393991193.151.png 393991193.152.png 393991193.153.png 393991193.154.png 393991193.155.png 393991193.156.png 393991193.157.png 393991193.158.png 393991193.159.png 393991193.160.png 393991193.161.png 393991193.162.png 393991193.163.png 393991193.164.png 393991193.165.png 393991193.166.png 393991193.167.png 393991193.168.png 393991193.169.png 393991193.170.png 393991193.171.png 393991193.172.png
Matematyka.
Próbna Matura z OPERONEM i „Gazetà Wyborczà”
5. WZÓR DWUMIANOWY NEWTONA
Dla dowolnej liczby ca∏kowitej dodatniej n oraz dla dowolnych liczb a , b mamy:
...
ab
+= +
i n
n
d
n
a
n
d
n
n
ab
n
-
1
++
d
n
k
n
ab
n
-
k k
++ -
...
d
n
n
ab
n
-
1
+
d
n
n
n
b
n
_
0
1
n
1
6. WZORY SKRÓCONEGO MNO˚ENIA
Dla dowolnych liczb a , b :
ab a bb
_ i
2 2 2
+=+ +
2
_ i
ab a ab b b
3 3 2 2 3
+=+ + +
3
3
_ i
Dla dowolnej liczby ca∏kowitej dodatniej n oraz dowolnych liczb a , b zachodzi wzór:
...
_ i
ab a bb
2 2 2
-=- +
2
ab a ab b b
3 3 2 2 3
-=- + -
3
3
ab aba a b
n
- = -
n
_ b
i
n
-
1
+
n
-
2
++
a b
n
-
k k
-
1
++
...
b b
-
2
+
n
-
1
l
W szczególnoÊci:
a b abab
2
2
-= - +
_ _i i
a b aba bb
3
3 2 2
+= + - +
_ b
i
l
a b aba bb
3
3 2 2
-= - + +
_ b
i
l
a
2
-= - +
1
_ _i i
a
1
a
1
a
3
+= +
1
_ b
a
1
i
a a
2
-+
1
l
a
3
-= -
_ b
1
i
a a
2
++
1
l
a
n
n 1
-= - ++ +
1
_ b
a
1 1
i
a
...
a
-
l
7. CIÑGI
Ciàg arytmetyczny
Wzór na n -ty wyraz ciàgu arytmetycznego a `j o pierwszym wyrazie a 1 i ró˝nicy r :
aa n r
n =+ _ i
Wzór na sum´
1
Saa
n
=+ ++ poczàtkowych n wyrazów ciàgu arytmetycznego:
1
2
...
a
n
aa n
1
+
n
2
an r
1
+ _ i
1
S
=
$
+
$
n
n
2
2
Mi´dzy sàsiednimi wyrazami ciàgu arytmetycznego zachodzi zwiàzek:
a
=
a
n
-
1
+
a
n
+
1
dla n 2
H
n
2
■ Ciàg geometryczny
Wzór na n -ty wyraz ciàgu geometrycznego a `j o pierwszym wyrazie a 1 i ilorazie q :
aaq
n
=
$
n
-
1
dla n 2
H
1
Wzór na sum´
Z
Saa
n
=+ ++ poczàtkowych n wyrazów ciàgu geometrycznego:
1
2
...
a
n
]
]
Mi´dzy sàsiednimi wyrazami ciàgu geometrycznego zachodzi zwiàzek:
aa a
n
1
-
q
n
a
$
dla
dla
q
q
!
1
1
S
=
[
1
1
-
q
n
na
$
=
1
\
2
= -
$
+ dla n 2
H
n
1
n
1
■ Procent sk∏adany
Je˝eli kapita∏ poczàtkowy K z∏o˝ymy na n lat w banku, w którym oprocentowanie lokat wynosi p w skali rocznej, to kapita∏
koƒcowy K n wyra˝a si´ wzorem:
n
p
KK
=
$
e
1
+
o
n
100
8. FUNKCJA KWADRATOWA
, a ! , x ! .
Wzór ka˝dej funkcji kwadratowej mo˝na doprowadziç do postaci kanonicznej:
fx ax p q
_i
2
=++
ax bx c
2
=-
Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola o wierzcho∏ku w punkcie o wspó∏rz´dnych p _ i. Ramiona paraboli skierowane
sà do góry, gdy a 0, do do∏u, gdy a 0.
Liczba miejsc zerowych funkcji kwadratowej f x
2
b
2
4
_ _
i
=
-+
i
, gdzie p
=- , q
=- ,
Δ
b c
4
a
_i
2
=++
ax bx c
(liczba pierwiastków trójmianu kwadratowego, liczba rzeczy-
2
=- :
– je˝eli Δ 0, to funkcja kwadratowa nie ma miejsc zerowych (trójmian kwadratowy nie ma pierwiastków rzeczywistych, równa-
nie kwadratowe nie ma rozwiàzaƒ rzeczywistych),
– je˝eli
2
++=), zale˝y od wyró˝nika
Δ
b c
4
Δ = , to funkcja kwadratowa ma dok∏adnie jedno miejsce zerowe (trójmian kwadratowy ma jeden pierwiastek podwój-
ny, równanie kwadratowe ma dok∏adnie jedno rozwiàzanie rzeczywiste): xx
1 ==-
– je˝eli Δ 0, to funkcja kwadratowa ma dwa miejsca zerowe (trójmian kwadratowy ma dwa ró˝ne pierwiastki rzeczywiste, rów-
nanie kwadratowe ma dwa rozwiàzania rzeczywiste):
b
2
a
x
1 =
--
b
Δ
, x
2 =
-+
b
Δ
2
a
2
a
JeÊli Δ H , to wzór funkcji kwadratowej mo˝na doprowadziç do postaci iloczynowej:
fx ax x x x
1
_ `
i
=
- -
j
`
2
j
2
n
1
a
■
Postaç ogólna funkcji kwadratowej: f x
wistych rozwiàzaƒ równania ax bx c 0
393991193.173.png 393991193.174.png 393991193.175.png 393991193.176.png 393991193.177.png 393991193.178.png 393991193.179.png 393991193.180.png 393991193.181.png 393991193.182.png 393991193.184.png 393991193.185.png 393991193.186.png 393991193.187.png 393991193.188.png 393991193.189.png 393991193.190.png 393991193.191.png 393991193.192.png 393991193.193.png 393991193.195.png 393991193.196.png 393991193.197.png 393991193.198.png 393991193.199.png 393991193.200.png 393991193.201.png 393991193.202.png 393991193.203.png 393991193.204.png 393991193.206.png 393991193.207.png 393991193.208.png 393991193.209.png 393991193.210.png 393991193.211.png 393991193.212.png 393991193.213.png 393991193.214.png 393991193.215.png 393991193.217.png
Matematyka.
Próbna Matura z OPERONEM i „Gazetà Wyborczà”
Wzory Viete’a
Je˝eli
Δ
H
0
, to xx a b
1
+= -
xx c
12
$
=
9. GEOMETRIA ANALITYCZNA
Odcinek
D∏ugoÊç odcinka o koƒcach w punktach
Y
Ax AA
= ` j ,
,
Bx BB
= ` j dana jest wzorem:
,
AB
+
`
x x
-
j
2
+
`
y y
-
j
2
B ( x B , y B )
B
A
B
A
J
N
xxyy
2
+
+
A ( x A , y A )
Wspó∏rz´dne Êrodka odcinka AB :
K
A
B
,
A
B
O
2
L
P
0
X
■ Wektory
Wspó∏rz´dne wektora AB :
,
AB
=- -
8
x x y y
B
A
B
A
B
Je˝eli
uu 12
= 8 B ,
,
vvv
1
= 8 B sà wektorami, zaÊ a jest liczbà, to
,
2
u
+= + +
v
8
u
1
v
1
,
u
2
v
2
B
au au au
1
$
= 8
$ $
,
2
B
■ Prosta
Równanie ogólne prostej:
Ax By C 0
Y
++=,
gdzie AB 0
+ (tj. wspó∏czynniki A , B nie sà równoczeÊnie równe 0).
Je˝eli A = , to prosta jest równoleg∏a do osi OX ; je˝eli B = , to prosta jest równoleg∏a do osi
OY ; je˝eli C = , to prosta przechodzi przez poczàtek uk∏adu wspó∏rz´dnych.
Je˝eli prosta nie jest równoleg∏a do osi OY , to ma ona równanie kierunkowe:
y xb
2
2
!
b
y = ax + b
α
0
X
=+
Liczba a to wspó∏czynnik kierunkowy prostej: tg
a = a
Wspó∏czynnik b wyznacza na osi OY punkt, w którym dana prosta jà przecina.
Równanie kierunkowe prostej o wspó∏czynniku kierunkowym a , która przechodzi przez punkt
Px 00
= ` j:
,
` j
Równanie prostej, która przechodzi przez dwa dane punkty
yaxx y
0
=
-+
0
Ax AA
= ` j ,
,
Bx BB
= ` j :
,
`
yy x x
-
A
j
`
B
-
A
j
-
`
y y xx 0
B
-
A
j
`
-
A
j
=
■ Prosta i punkt
Odleg∏oÊç punktu
Px 00
= ` j od prostej o równaniu Ax By C 0
,
++=jest dana wzorem:
Ax By C
2
0
++
0
AB
+
2
■ Para prostych
Dwie proste o równaniach kierunkowych yaxb
1
=+, yaxb
2
1
=+spe∏niajà jeden z nast´pujàcych warunków:
2
=
– sà prostopad∏e, gdy aa 1
12 =-
2
– tworzà kàt ostry { i tg
{
=
aa
1 12
1
-
2
+
aa
Dwie proste o równaniach ogólnych: Ax By C 0
1
++=, Ax By C 0
2
1
1
++=
2
2
12 2 - =
– sà prostopad∏e, gdy AA BB 0
12 12
+
=
– tworzà kàt ostry { i tg
{
=
AB A B
12 21
-
AA BB
+
12 12
■ Trójkàt
Pole trójkàta ABC o wierzcho∏kach
Ax AA
= ` j ,
,
Bx BB
= ` j ,
,
Cx CC
= ` j , jest dane wzorem:
,
1
P
=
`
x x
-
j
`
y
-
y
j
-
`
y y
-
j
`
x
-
x
j
D
ABC
2
B
A
C
A
B
A
C
A
J
N
xxxyyy
3
++
++
Ârodek ci´˝koÊci trójkàta ABC , czyli punkt przeci´cia jego Êrodkowych, ma wspó∏rz´dne:
K
A
B
C
,
A
B
C
O
3
L
P
■ Przekszta∏cenia geometryczne
– przesuni´cie o wektor
uab
= 7 A przekszta∏ca punkt
,
Axy
= _ i na punkt '
,
Ax ay b
=+ +
_
,
i
– symetria wyglàdem osi OX przekszta∏ca punkt
Axy
= _ i na punkt '
,
Ax y
=_ i
,
– symetria wzgl´dem osi OY przekszta∏ca punkt
Axy
= _ i na punkt '
,
A
=-_ i
x y
,
– symetria wzgl´dem punktu a _ i przekszta∏ca punkt
Axy
= _ i na punkt '
,
Aa x b y
=- -
_
2
,
2
i
– jednok∏adnoÊç o Êrodku w punkcie 0 _ i i skali s 0
!
przekszta∏ca punkt
Axy
= _ i na punkt '
,
Asx sy
= _ i
,
■ Równanie okr´gu
Równanie okr´gu o Êrodku w punkcie
Sab
= _ i i promieniu r 0:
,
_
xa yb r
2 2 2
-+-=
i
_
i
lub x y
2
2
+- - +=, gdy
22 0
ax
by c
rabc 0
2
2 2
=+-
>
3
■
– sà równoleg∏e, gdy aa
1
– sà równoleg∏e, gdy AB A B 0
393991193.218.png 393991193.219.png 393991193.220.png 393991193.221.png 393991193.222.png 393991193.223.png 393991193.224.png 393991193.225.png 393991193.226.png 393991193.002.png 393991193.003.png 393991193.004.png 393991193.005.png 393991193.006.png 393991193.007.png 393991193.008.png 393991193.009.png 393991193.010.png 393991193.011.png 393991193.013.png 393991193.014.png 393991193.015.png 393991193.016.png 393991193.017.png 393991193.018.png 393991193.019.png 393991193.020.png 393991193.021.png 393991193.022.png 393991193.024.png 393991193.025.png 393991193.026.png 393991193.027.png 393991193.028.png 393991193.029.png 393991193.030.png 393991193.031.png 393991193.032.png 393991193.033.png 393991193.035.png 393991193.036.png 393991193.037.png 393991193.038.png 393991193.039.png 393991193.040.png 393991193.041.png 393991193.042.png 393991193.043.png
Matematyka.
Próbna Matura z OPERONEM i „Gazetà Wyborczà”
10. PLANIMETRIA
Cechy przystawania trójkàtów
To, ˝e dwa trójkàty ABC i DEF sà przystajàce
ABC
C
F
_ i, mo˝emy stwierdziç na podstawie ka˝dej
z nast´pujàcych cech przystawania trójkàtów :
– cecha przystawania „bok – bok – bok” :
odpowiadajàce sobie boki obu trójkàtów majà te same
d∏ugoÊci: AB
/
D
DEF
=
DE
, AC
=
DF
, BC
=
EF
.
A
B
D
E
– cecha przystawania „bok – kàt – bok” :
dwa boki jednego trójkàta sà równe odpowiadajàcym im bokom drugiego trójkàta oraz kàt zawarty mi´dzy tymi bokami jedne-
go trójkàta ma takà samà miar´ jak odpowiadajàcy mu kàt drugiego trójkàta, np. AB
=
DE
, AC
=
DF
, BAC
]
=
]
EDF
– cecha przystawania „kàt – bok – kàt” :
jeden bok jednego trójkàta ma t´ samà d∏ugoÊç, co odpowiadajàcy mu bok drugiego trójkàta oraz miary odpowiadajàcych so-
bie kàtów obu trójkàtów, przyleg∏ych do boku, sà równe, np. AB
=
DE
, BAC
]
=
]
EDF
, ABC
]
=
]
DEF
_ i,
mo˝emy stwierdziç na podstawie ka˝dej z nast´pujàcych
cech podobieƒstwa trójkàtów :
– cecha podobieƒstwa „bok – bok – bok” :
d∏ugoÊci boków jednego trójkàta sà proporcjonalne do
odpowiednich d∏ugoÊci boków drugiego trójkàta, np.
DD
ABC DEF
~
C
F
A
B
D
E
= =
– cecha podobieƒstwa „bok – kàt – bok” :
d∏ugoÊci dwóch boków jednego trójkàta sà proporcjonalne do odpowiednich d∏ugoÊci dwóch boków drugiego trójkàta i kàty
AB
AC
BC
DE
DF
EF
AB
AC
mi´dzy tymi parami boków sà przystajàce, np.
=
, BAC
]
=
]
EDF
DE
DF
– cecha podobieƒstwa „kàt – kàt – kàt” :
dwa kàty jednego trójkàta sà przystajàce do odpowiednich dwóch kàtów drugiego trójkàta (wi´c te˝ i trzecie kàty obu trójkà-
tów sà przystajàce): BAC
]
=
]
EDF
, ABC
]
=
]
DEF
, ACB
]
=
]
DFE
Przyjmujemy oznaczenia w trójkàcie ABC :
a , b , c – d∏ugoÊci boków, le˝àcych odpowiednio naprzeciwko wierzcho∏ków A , B , C
pabc
C
c
2= + + – obwód trójkàta
a, b, c – miary kàtów przy wierzcho∏kach A , B , C
h a , h b , h c – wysokoÊci opuszczone z wierzcho∏ków A , B , C
R , r – promienie okr´gów opisanego i wpisanego
■
b
a
a
b
A
c
B
Twierdzenie Pitagorasa (wraz z twierdzeniem odwrotnym do niego)
W trójkàcie ABC kàt c jest prosty wtedy i tylko wtedy, gdy abc
2
2 2
+=.
Zwiàzki miarowe w trójkàcie prostokàtnym
Za∏ó˝my, ˝e kàt c jest prosty. Wówczas:
h D B
c
C
c
2
=
$
h
c =
ab
ac
=
$
sin
a
=
c
$
cos
b
b
a
h c
1
1
abc pc
2
+- =-
ab
=
$
tg
a
=
b
$
Rc
2
=
r
=
tg
b
a
b
■
Twierdzenie sinusów
A
c
D
B
a
=
b
=
c
=
2
a b c
■ Twierdzenie cosinusów
cos
sin
sin
sin
abc c
2
2 2
=+- a
2
bac c
2
2 2
=+- b
2
cos
cab b
2
2 2
=+- c
2
cos
■ Trójkàt równoboczny
a – d∏ugoÊç boku, h – wysokoÊç trójkàta
a
3
a
2
3
h
=
P
=
2
D
4
■
Wzory na pole trójkàta
P
=
1
$ $
a h
=
1
$ $
b h
=
1
$ $
c h
P
=
1
a b
$ $
sin
c
D
ABC
2
a
2
b
2
c
D
ABC
2
P
=
1
a
2
sin sin
bc
$
=
2
R
2
$ $ $
sin sin sin
abc
P
ABC =
abc
= =
rp
p p a p b p c
_ _ _
- - -
i i i
D
ABC
2
sin
a
D
4
R
■ Twierdzenie Talesa
Je˝eli proste równoleg∏e '
OA
OB
AA i '
BB przecinajà dwie proste, które przecinajà si´ w punkcie O , to
=
.
OA
'
OB
'
B
B
O
A
A '
O
A
'
B '
B '
4
A
■
D
■ Cechy podobieƒstwa trójkàtów
To, ˝e dwa trójkàty ABC i DEF sà podobne
■
393991193.044.png 393991193.046.png 393991193.047.png 393991193.048.png 393991193.049.png 393991193.050.png 393991193.051.png 393991193.052.png 393991193.053.png 393991193.054.png 393991193.055.png 393991193.057.png 393991193.058.png 393991193.059.png 393991193.060.png 393991193.061.png 393991193.062.png 393991193.063.png 393991193.064.png 393991193.065.png 393991193.066.png 393991193.068.png 393991193.069.png 393991193.070.png 393991193.071.png 393991193.072.png 393991193.073.png 393991193.074.png 393991193.075.png 393991193.076.png 393991193.077.png 393991193.079.png 393991193.080.png 393991193.081.png 393991193.082.png 393991193.083.png 393991193.084.png 393991193.085.png 393991193.086.png 393991193.087.png 393991193.088.png 393991193.090.png 393991193.091.png 393991193.092.png
Matematyka.
Próbna Matura z OPERONEM i „Gazetà Wyborczà”
■ Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa
Je˝eli proste '
AA i '
BB przecinajà dwie proste, które przecinajà si´ w punkcie O oraz
OA
=
OB
, to proste '
AA i '
BB sà równoleg∏e.
OA
'
OB
'
■ Czworokàty
D
b
C
Trapez
Czworokàt, który ma co najmniej jednà par´ boków równoleg∏ych. Wzór na pole trapezu:
h
P
=
ab h
2
+
$
E
A
B
a
D
C
Równoleg∏obok
Czworokàt, który ma dwie pary boków równoleg∏ych.
Wzory na pole równoleg∏oboku:
sin
h
{
b
a
1
A
a
B
P hab
==
$ $
a
=
$ $ $
AC BD
sin
{
2
D
C
Romb
Czworokàt, który ma dwie pary boków równoleg∏ych jednakowej d∏ugoÊci.
Wzory na pole rombu:
sin
h
a
P ah a
==
2
$
a
=
1
$ $
AC
BD
A
a
B
2
D
Deltoid
Czworokàt, który ma oÊ symetrii, zawierajàcà jednà z przekàtnych. Wzór na pole deltoidu:
A
C
1
P
=
$ $
AC
BD
2
B
r
Ko∏o
Wzór na pole ko∏a o promieniu r : Pr 2
O
= r
Obwód ko∏a o promieniu r :
Obw
.
= r
r
A
Wycinek ko∏a
Wzór na pole wycinka ko∏a o promieniu r i kàcie Êrodkowym a wyra˝onym w stopniach:
Pr
r
= r
2
$ c
a
O
a
360
D∏ugoÊç ∏uku wycinka ko∏a o promieniu r i kàcie Êrodkowym a wyra˝onym w stopniach:
a
B
l
= r
2
r
360 c
a
■ Kàty w okr´gu
Miara kàta wpisanego w okràg jest równa po∏owie miary kàta Êrodkowego, opartego na tym samym ∏uku.
Miary kàtów wpisanych w okràg, opartych na tym samym ∏uku, sà równe.
a
a
O
2 a
B
■ Twierdzenie o kàcie mi´dzy stycznà i ci´ciwà
A
B
B
Dany jest okràg o Êrodku w punkcie O i jego ci´ciwa
AB . Prosta AC jest styczna do tego okr´gu w punkcie A .
Wtedy AOB
= , przy czym wybieramy ten
z kàtów Êrodkowych AOB , który jest oparty na ∏uku
znajdujàcym si´ wewnàtrz kàta CAB .
]
2 $
]
CAB
O
O
A
C
C
A
■ Twierdzenie o odcinkach siecznej i stycznej
Dane sà: prosta przecinajàca okràg w punktach A i B oraz prosta styczna do tego
okr´gu w punkcie C . Je˝eli proste te przecinajà si´ w punkcie P , to PA PB
A
2
B
$
=
PC
C
P
C
c
B
b
■ Okràg opisany na czworokàcie
Na czworokàcie mo˝na opisaç okràg wtedy i tylko wtedy, gdy sumy miar jego przeciwleg∏ych
kàtów wewn´trznych sà równe 180 c :
180 c
D
d
acbd
+=+=
a
A
c
C
■ Okràg wpisany w czworokàt
W czworokàt wypuk∏y mo˝na wpisaç okràg wtedy i tylko wtedy, gdy sumy d∏ugoÊci jego prze-
ciwleg∏ych boków sà równe:
acbd
D
r
b
+=+
5
d
B
A
a
393991193.093.png 393991193.094.png 393991193.095.png 393991193.096.png 393991193.097.png 393991193.098.png 393991193.099.png 393991193.101.png 393991193.102.png 393991193.103.png 393991193.104.png 393991193.105.png 393991193.106.png 393991193.107.png 393991193.108.png 393991193.109.png 393991193.110.png 393991193.112.png 393991193.113.png 393991193.114.png 393991193.115.png 393991193.116.png 393991193.117.png 393991193.118.png 393991193.119.png 393991193.120.png 393991193.121.png 393991193.123.png 393991193.124.png 393991193.125.png 393991193.126.png 393991193.127.png 393991193.128.png 393991193.129.png 393991193.130.png 393991193.131.png 393991193.132.png 393991193.134.png 393991193.135.png 393991193.136.png 393991193.137.png 393991193.138.png 393991193.139.png 393991193.140.png 393991193.141.png 393991193.142.png 393991193.143.png 393991193.145.png 393991193.146.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin