Dzisiaj zrobimy zadania w odniesieniu do ostatniego wykładu, oraz do ostatnich ćwiczeń. Na początek takie zadanie. Należy obliczyć:
Na sam początek liczymy , oraz jego moduł. Po obliczeniach okaże się, dlaczego. A zatem: . . Z modułu wyliczamy cosinus fi i sinus fi. A zatem:
, co nam daje i kąt 45 stopni, co oszacowaliśmy z tabeli.
W tej postaci będzie miało postać: = .Teraz kolej na i moduł. A zatem . . Stąd . To w rezultacie nam daje i kąt 330 stopni. Teraz będzie miało postać: .
I teraz obliczamy:
=. I mamy rozwiązanie zadania. Teraz zadanie domowe. Należy obliczyć podobnie, jak w przykładzie powyżej następujące wyrażenia:
1. , 2. , 3. , 4. , 5.
6. , 7. , 7..
A my tymczasem zrobimy kolejny przykład z tej serii. Należy obliczyć:
I tak liczymy: . Stąd . I liczymy kąty: . To z tabeli daje nam π/3, czyli kąt o miarze 60 stopni. Teraz policzymy z z indeksem 2:
. To da nam . Stąd . I tak otrzymujemy , co daje nam kąt równy 315 stopni. I obliczamy dalej. A zatem:
=. I mamy wynik.
Teraz przejdziemy do zadań związanych z grupami. Należy sprawdzić, czy
({ 0, 1, 2, 3, 4}, dod) jest grupą, gdzie a dod b jest równe reszcie z dzielenia sumy a i b przez 5. Na sam początek budujemy tabelę, która zawierać będzie obliczenia stosowne do treści zadania. Tabela będzie wyglądać następująco:
0
1
2
3
4
I sprawdzamy, czy jest to grupa. Działanie na pewno jest przemienne, co wynika z symetrii tabeli względem głównej przekątnej, która jest wyznaczona przez liczby oznaczone kolorem czerwonym. Element neutralny z kolei to 0, dlatego, że 0 dodane do czegokolwiek niczego nie zmienia. No i kwestia elementów przeciwnych. Dla 0 mamy 0, dla 1 – 4, dla 2 – 3, dla 3 – 2 i dla 4 – 1. A więc nie dość, że jest to grupa, to jeszcze abelowa. W oparciu o powyższą tabelkę rozwiążmy takie równanie: 3 dod x dod x = 4. Znajdź taki x, aby spełnił równanie. Dodajemy do obu stron równania liczbę -3. Pod pojęciem dodawanie będzie się kryć tu działanie dod. A zatem: 3 dod x dod x = 4 ó (2 dod 3) dod x dod x = 2 dod 4 ó
0 dod x dod x = 1 ó x dod x = 1 ó x = 3. Sprawdźmy to: 3 dod (3 dod 3) = 3 dod 1 = 4.
A więc się zgadza. Wykonajmy teraz podobne zadanie do pierwszego. Należy wykazać, że ({0, 1, 2, 3, 4}, mnoz) to grupa, gdzie a mnoz b to reszta z dzielenia iloczynu przez 5.
Rysujemy tabelkę, jak poprzednio:
...
i7xn1