23
WYKŁAD 10
WYZNACZNIKI
Rozważamy macierz kwadratową stopnia n:
Wyznacznikiem tej macierzy nazywamy liczbę det A, określoną następująco: (definicja indukcyjna względem stopnia n macierzy)
1. Jeżeli (tzn. ), to przyjmujemy, że det A =
2. Jeżeli to wyznacznik macierzy stopnia n definiujemy jako liczbę
gdzie oznacza wyznacznik, który powstaje z macierzy A przez skreślenie i-tego wiersza i pierwszej kolumny.
Minorem macierzy A (niekoniecznie kwadratowej) nazywamy wyznacznik, który powstaje z tej macierzy przez skreślenie pewnej ilości wierszy i kolumn.
Przez oznaczamy wyznacznik macierzy kwadratowej, który powstaje z niej przez skreślenie i-tego wiersza i k-tej kolumny.
Liczbę nazywamy algebraicznym dopełnieniem elementu .
Tw. Laplace’a. Wyznacznik macierzy A jest równy sumie wszystkich iloczynów każdego elementu dowolnej kolumny (dowolnego wiersza) i odpowiadającego temu elementowi dopełnienia algebraicznego, tzn.
lub
Opisane w tw. Laplace’a procedury liczenia wyznaczników nazywają się odpowiednio rozwijaniem wyznacznika względem k-tej kolumny oraz względem i-tego wiersza.
Własności wyznaczników
· Jeżeli w wyznaczniku elementy jakiegoś wiersza (lub kolumny) są równe zero, to wyznacznik jest równy 0.
· Przestawienie dwóch wierszy (kolumn) macierzy powoduje zmianę znaku wyznacznika.
· Wyznacznik o dwóch jednakowych wierszach (kolumnach) jest równy 0.
· Wspólny czynnik wszystkich elementów danego wiersza (kolumny) można wyłączyć przed wyznacznik.
· Wartość wyznacznika nie ulegnie zmianie, jeżeli do elementów dowolnego wiersza (kolumny) dodamy elementy innego wiersza (kolumny) pomnożone przez dowolną liczbę rzeczywistą.
· Wyznacznik o dwóch proporcjonalnych wierszach (kolumnach) jest równy 0.
· Wyznacznik macierzy transponowanej jest równy wyznacznikowi tej macierzy
· Tw. Cauchy’ego. Wyznacznik iloczynu macierzy kwadratowych tego samego stopnia jest równy iloczynowi wyznaczników tych macierzy, czyli
.
RZĄD MACIERZY
Rzędem macierzy prostokątnej A nazywamy najwyższy stopień różnych od zera podwyznaczników (minorów) tej macierzy. Rząd macierzy A oznaczamy rz A.
Przyjmujemy, że rząd macierzy zerowej jest równy 0.
Tw. 1 Rząd macierzy nie ulegnie zmianie, jeżeli:
· elementy pewnego wiersza (pewnej kolumny) pomnożymy przez liczbę różną od zera.
· elementy pewnego wiersza (pewnej kolumny) pomnożymy przez liczbę rzeczywistą i dodamy do elementów innego wiersza (innej kolumny)
· usuniemy z macierzy wiersz (kolumnę) złożoną z samych zer.
· skreślimy jeden z dwóch proporcjonalnych wierszy (jedną z dwóch proporcjonalnych kolumn).
· przestawimy dwa wiersze (dwie kolumny).
Uwagi:
· Jeżeli rz A = r, to znaczy, że istnieje co najmniej jeden różny od zera minor macierzy A stopnia r oraz że wszystkie minory stopnia wyższego niż r (o ile istnieją) są równe 0.
·
· Jeżeli A jest macierzą kwadratową stopnia n, to rz wtedy i tylko wtedy, gdy macierz A jest nieosobliwa.
· Jeżeli A jest macierzą trójkątną, to rz A jest równy liczbie różnych od zera elementów głównej przekątnej.
d.omi