4.pdf
(
103 KB
)
Pobierz
729609161 UNPDF
4Ciałoliczbzespolonych
Stwierdzenie4.1
Zbiór
C
=
R
×
R
zdziałaniami+i
·
okre±lonymiwzorami
(1)
(
x,y
)+(
x
0
,y
0
)=(
x
+
x
0
,y
+
y
0
)
(2)
(
x,y
)
·
(
x
0
,y
0
)=(
xx
0
−
yy
0
,xy
0
+
yx
0
) dla(
x,y
)
,
(
x
0
,y
0
)
2
C
jestciałem.
x
(
x
2
+
y
2
)=0.Zatem
namocyzało»enia
y
0
=0,copoci¡gazasob¡(
x
0
,y
0
)=(0
,
0);rozumowanie
wprzypadku
y
6
=0przebiegaanalogicznie.Ostatecznie
·
jestdziałaniem
wewn¦trznymw
C
\{
(0
,
0)
}
.
Warunek(F9)wynikazdefinicji,a(F6)i(F10)sprawdzasi¦bezpo±red-
nimrachunkiem.
Elementemneutralnymdziałania
·
jest(1
,
0).Istotnie(
x,y
)
·
(1
,
0)=
(
x
1
−
y
0
,x
0+
y
1)=(
x,y
).
Dladowolnego(
x,y
)
6
=(0
,
0)element
x
,sk¡d
y
0
x
2
+
y
2
,
−
y
x
2
+
y
2
2
C
\{
(0
,
0)
}
oraz
x
2
+
y
2
!
x
2
+
y
2
,
−
y
x
x
2
+
y
2
,
−
xy
+
xy
(
x,y
)
·
=
=(1
,
0)
.
x
2
+
y
2
x
2
+
y
2
Zatem(
x,y
)
−
1
=
x
2
+
y
2
,
−
y
.
x
2
+
y
2
Wzbiorze
C
\{
(0
,
0)
}
mo»na(jakwka»dymciele)wprowadzi¢dzielenie
okre±lonejakomno»enieprzezelementodwrotny.
Definicja4.2
Zbiór
C
=
R
×
R
wrazzdziałaniami+i
·
okre±lonymiwzora-
mi(1)i(2)nazywamy
ciałemliczbzespolonych
,ajegoelementy—
liczbami
zespolonymi
.
Zauwa»my,»e(
x,
0)+(
y,
0)=(
x
+
y,
0)oraz(
x,
0)
·
(
y,
0)=(
xy,
0).Mo»na
wi¦cliczb¦zespolon¡(
x,
0)uto»samia¢zliczb¡rzeczywist¡
x
zachowuj¡c
działaniaz
R
.Wtymsensiemo»emypisa¢
R
C
.
Definicja4.3
Element
i
=(0
,
1)
2
C
nazywamy
jednostk¡urojon¡
.
Ka»d¡liczb¦zespolon¡
z
=(
x,y
)mo»nazapisa¢w
postacikanonicznej
z
=
x
+
yi
.Liczbyrzeczywiste
x
oraz
y
nazywamyodpowiednio
cz¦±ci¡
rzeczywist¡
oraz
cz¦±ci¡urojon¡
liczyzespolonej
z
,oznaczaj¡cje—tak»e
odpowiednio—
<
z
oraz
=
z
.
1
Dowód:
Wewn¦trzno±¢działa«+i
·
jestoczywista.Warunki(F1)-(F4)
wynikaj¡bezpo±redniozodpowiednichwłasno±cidodawaniawzbiorze
R
.
Elementemneutralnymdziałania+jest(0
,
0),aelementemprzecwinymdo
elementu(
x,y
)
2
C
jestelement(
−
x,
−
y
)
2
C
.
Przypu±¢my,»e(
x,y
)
·
(
x
0
,y
0
)=(0
,
0)oraz(
x,y
)
6
=(0
,
0),czyli
x
6
=0lub
y
6
=0.Wtympierwszymprzypadku
x
0
=
yy
0
x
x
Zauwa»my,»e
i
2
=
−
1,czyliwielomian
z
2
+1mawciele
C
pierwiastek.
p
x
2
+
y
2
nazywamy
modułem
liczby
z
,aliczb¦zespolon¡
z
=
x
−
yi
=
x
+(
−
y
)
i
—
sprz¦»eniem
liczby
z
.
Stwierdzenie4.5
Dla
z,z
1
,z
2
2
C
zachodz¡
1.
zz
=
|
z
|
2
2.
z
1
±
z
2
=
z
1
±
z
2
3.
z
1
z
2
=
z
1
z
2
4.
z
1
z
2
=
z
1
z
2
oile
z
2
6
=0
5.
|
z
1
z
2
|
=
|
z
1
||
z
2
|
6.
z
1
z
2
=
|
z
1
|
|
z
2
|
oile
z
2
6
=0
7.
|
z
1
+
z
2
|¬|
z
1
|
+
|
z
2
|
2
9.
=
z
=
z
−
z
2
i
Dowód:
Niech
z
=
x
+
yi
,
z
1
=
x
1
+
y
1
i
,
z
2
=
x
2
+
y
2
i
.
1.
zz
=(
x
+
yi
)(
x
−
yi
)=
x
2
+
y
2
=
|
z
|
2
2.
z
1
±
z
2
=
x
1
±
x
2
−
(
y
1
±
y
2
)
i
=(
x
1
−
y
1
i
)
±
(
x
2
−
y
2
i
)=
z
1
±
z
2
3.
z
1
z
2
=(
x
1
x
2
−
y
1
y
2
)
−
(
x
1
y
2
+
y
1
x
2
)
i
=(
x
1
−
y
1
i
)(
x
2
−
y
2
i
)=
z
1
±
z
2
4.Dzi¦ki(3)wystarczypokaza¢tylkodla
z
1
=1.
1
z
2
x
2
2
+
y
2
2
−
−
y
2
x
2
2
+
y
2
2
i
=
x
2
x
2
2
+(
−
y
2
)
2
−
−
y
2
x
2
2
+(
−
y
2
)
2
i
=
1
(
z
2
)
5.
6.
7.
8.
z
+
z
2
=
(
x
+
yi
)+(
x
−
yi
)
2
=
x
9.
z
−
z
2
i
=
(
x
+
yi
)
−
(
x
−
yi
)
2
i
=
y
2
D
efinicja
4.4
Dlaliczbyzespolonej
z
=
x
+
yi
liczb¦(rzec
z
ywist¡)
|
z
|
=
8.
<
z
=
z
+
z
=
x
2
Definicja4.6
Dla
z
2
C
\{
0
}
ka»d¡liczb¦rzeczywist¡
'
tak¡,»e
|
z
|
^
sin
'
=
=
z
|
z
|
nazywamy
argumentem
liczby
z
ioznaczamyprzezarg
z
.
Tenspo±ródargumentów,któryle»ywprzedziale(
−
,
],nazywamy
argumentemgłównym
liczby
z
ioznaczamyprzezArg
z
.
Postaci¡trygonometryczn¡
liczby
z
2
C
\{
0
}
nazywamyjejprzedsta-
wienie
z
=
|
z
|
(cos
'
+
i
sin
'
)
,
gdzie
'
=arg
z
.
Zbiór
C
mo»nawsposóbnaturalnyuto»sami¢zpłaszczyzn¡,naktórej
okre±lili±myukładwspółrz¦dnychopocz¡tku(0
,
0)iwersorach(1
,
0)dla
pierwszejosioraz(0
,
1)dladrugiejosi.
Takwyposa»on¡płaszczyzn¦nazywamy
płaszczyzn¡zespolon¡
,ajejosie
odpowiednio
osi¡rzeczywist¡
i
osi¡urojon¡
.
Dlaka»dejliczby
z
2
C
\{
0
}
jejmodułokre±laodeległo±¢punktu
z
od
pocz¡tkuukładu,aargument—miar¦k¡tajakitworzywektor
−!
0
z
zdodatni¡
półosi¡rzeczywist¡.
Stwierdzenie4.7
Je»eli
z
1
,z
2
2
C
\{
0
}
oraz
'
1
=arg
z
1
,
'
2
=arg
z
2
,to
1.
z
1
z
2
=
|
z
1
||
z
2
|
(cos(
'
1
+
'
2
)+
i
sin(
'
1
+
'
2
))
2.
z
1
z
2
=
|
z
1
|
|
z
2
|
(cos(
'
1
−
'
2
)+
i
sin(
'
1
−
'
2
))
Dowód:
1.
z
1
z
2
=
|
z
1
||
z
2
|
((cos
'
1
cos
'
2
−
sin
'
1
sin
'
1
)+
i
(cos
'
1
sin
'
2
+sin
'
1
cos
'
2
))=
|
z
1
||
z
2
|
(cos(
'
1
+
'
2
)+
i
sin(
'
1
+
'
2
))
2.Wystarczyzaura»y¢,1
/z
2
=
|
z
2
|
(cos(
−
'
2
)+
i
sin(
−
'
2
))iskorzysta¢z
(1).
Stwierdzenie4.8
(wzórdeMoivre’a)Je»eli
z
=
|
z
|
(cos
'
+
i
sin
'
)oraz
n
2
N
,to
z
n
=
|
z
|
n
(cos
n'
+
i
sin
n'
)
.
Dowód:
Indukcjawzgl¦dem
n
zwykorzystaniemstwierdzenia4.7(1).
Definicja4.9
Dla
n
2
N
pierwiastkiemn–tegostopniazliczbyzespolonej
z
nazywamyka»d¡liczb¦zespolon¡
w
tak¡,»e
w
n
=
z
.
3
cos
'
=
<
z
Stwierdzenie4.10
Ka»daliczbazespolona
z
6
=0posiadadokładnie
n
ró»-
nychpierwiastkówstopnia
n
–tego.Dla
z
=
|
z
|
(cos
'
+
i
sin
'
)wyra»aj¡si¦
onewzorami
w
k
=
n
q
|
z
|
n
+
i
sin
'
+2
k
n
k
=0
,
1
,...,n
−
1
,
przyczym
n
p
oznaczapierwiastekarytmetyczny(dodatni)stopnia
n
.
Dowód:
Przypu±¢my,»e
w
=
|
w
|
(cos
+
i
sin
)jestpierwiatskiem
stopnia
n
–tegozliczby
z
=
|
z
|
(cos
'
+
i
sin
'
).Wówczasnamocywzorude
Moivre’a(stw.4.8)
|
w
|
n
=
|
z
|
,
cos
n
=cos
',
sin
n
=sin
'.
Zatem
|
w
|
=
n
q
|
z
|
,
9
k
2
Z
n
=
'
+2
k.
Zauwa»my,»eje»eliliczby
k,k
0
ró»ni¡si¦owielokrotno±¢
n
,toliczbypostaci
'
+2
k
n
ró»ni¡si¦owielokrot
no±
¢2
,maj¡wi¦ctensamcosinusisinus.
Zdrugiejstronyliczby
n
p
|
z
|
cos
'
+2
k
n
+
i
sin
'
+2
k
n
,
k
=0
,
1
,...,n
−
1
,
s¡ró»nejakomaj¡ceró»nyargumentgłówny.
Wniosek4.11
Pierwiastki
n
–tegostopniazjedynkiwyra»aj¡si¦wzorami
"
k
=
n
+
i
sin
2
k
n
k
=0
,
1
,...,n
−
1
.
Dowód:
Wystarczyzauwa»y¢,»e1=1(cos0+
i
sin0)iskorzysta¢
ze
stwierdzenia4.10.
U»ywamyoznaczenia
e
i'
=cos
'
+
i
sin
'
.
Dla
'
=
otrzymujemy
wzórEulera
:
e
i
+1=0,ł¡cz¡cypi¦¢najwa»-
niejszychstałychmatematycznych.
Twierdzenie4.12
Ciało
C
jestalgebraiczniedomkni¦te.
4
cos
'
+2
k
cos
2
k
Plik z chomika:
sandra.kubiak1
Inne pliki z tego folderu:
19.pdf
(101 KB)
18.pdf
(105 KB)
17.pdf
(101 KB)
16.pdf
(93 KB)
15.pdf
(91 KB)
Inne foldery tego chomika:
Camera
E-booki
Encyklopedie komputerowe
Filmy
GPS
Zgłoś jeśli
naruszono regulamin