12.pdf
(
130 KB
)
Pobierz
729609171 UNPDF
12Wyznacznikirz¡dmacierzy
Definicja12.1
Permutacj¦
2
S
n
nazywamy
permutacj¡parzyst¡
(odpo-
wiednio—
nieparzyst¡
),je»elizbiórinv(
)=
{
(
i,j
);
i<j
oraz
(
i
)
>
(
j
)
}
maparzyst¡(odpowiednionieparzyst¡)liczb¦elementów.Ka»d¡par¦ele-
mentówzpowy»szegozbiorunazywamy
inwersj¡
wpermutacji
.
Znakiempermutacji
nazywamyliczb¦sgn
równ¡1,gdypermutacja
jestparzysta,za±
−
1gdypermutacjajestnieparzysta.
Definicja12.2
Wyznacznikiem
macierzykwadratowej
A
=[
a
ij
]
2
M
nn
(
F
)
nazywamyliczb¦
det
A
=
X
2
S
n
sgn
a
1
(1)
a
2
(2)
...a
n
(
n
)
.
Przykład12.3
1.
n
=1:
det[
a
11
]=
a
11
2.
n
=2:
"
#
a
11
a
12
a
21
a
22
det
=
a
11
a
22
−
a
12
a
21
3.
n
=3:
det
2
6
4
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
3
7
5
=
a
11
a
22
a
33
+
a
13
a
21
a
32
+
a
12
a
23
a
31
−
a
13
a
22
a
31
−
a
11
a
23
a
32
−
a
12
a
21
a
33
Stwierdzenie12.4
Je»eli
A
jestmacierz¡kwadratow¡,todet
A
T
=det
A
.
Dowód:
Niech
A
2
M
nn
,
B
=[
b
ij
]=
A
T
.Wówczas
b
ij
=
a
ji
.
Zauwa»my,»edladowolnejdowolnejpermutacji
2
S
n
zachodziwa-
runeksgn
−
1
=sgn
.Istotnie,(
i,j
)
2
inv
wtedyitylkowtedy,gdy
(
(
j
)
,
(
i
))
2
inv
−
1
,wi¦cilo±¢inwersjiwpermutacji
jesttakasamajak
ilo±¢inwersjiwpermutacji
−
1
.
Ponadtodladowolnejpermutacji
2
S
n
spełnionyjestwarunek
a
(1)1
·
...
·
a
(
n
)
n
=
a
1
−
1
(1)
·
...
·
a
n
−
1
(
n
)
,
bopermutacjajestbijekcj¡(oczywi±cienieoznaczatorówno±ciczynników
wpodanejkolejno±ci).
1
Zatem
det
A
T
=
X
2
S
n
sgn
b
1
(1)
·
...
·
b
n
(
n
)
=
X
2
S
n
sgn
a
(1)1
·
...
·
a
(
n
)
n
=
X
2
S
n
sgn
a
1
−
1
(1)
·
...
·
a
n
−
1
(
n
)
=
X
2
S
n
sgn
−
1
a
1
−
1
(1)
·
...
·
a
n
−
1
(
n
)
=
X
2
S
n
sgn
a
1
(1)
·
...
·
a
n
(
n
)
=det
A.
Powy»szyfaktwskazuje,»e—mówi¡cniezbytprecyzyjnie—twierdzenia
owyznacznikachwyra»onewterminachwierszys¡prawdziwerównie»w
sformułowaniudlakolumn.
Stwierdzenie12.5
Wyznacznikjestodwzorowaniemliniowymwzgl¦dem
dowolnegowierszamacierzy,tzn.je»eli
i
=1
,...,n
,
0
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
@
1
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
A
0
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
@
1
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
A
A
=
R
1
.
.
.
R
i
−
1
R
i
R
i
+1
.
.
.
R
n
,A
0
=
R
1
.
.
.
R
i
−
1
R
0
i
R
i
+1
.
.
.
R
n
2
M
nn
(
F
)oraz
c,c
0
2
F
,to
det
0
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
@
R
1
.
.
.
R
i
−
1
cR
i
+
c
0
R
0
i
R
i
+1
.
.
.
R
n
1
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
A
=
c
det
A
+
c
0
det
A
0
.
Dowód:
Niech
B
b¦dziemacierz¡,którejwszystkiewierszepoza
i
–tym
s¡równeodpowiednimwierszommacierzy
A
jaki
A
0
,za±jej
i
–tywierszjest
kombinacj¡liniow¡
i
–tegowierszamacierzy
A
oraz
i
–tegowierszamacierzy
A
0
owspółczynnikach
a
oraz
a
0
.
2
Wówczas
det
B
=
X
2
S
n
sgn
a
1
(1)
·
...
·
ca
i
(
i
)
+
c
0
a
0
i
(
i
)
·
...
·
a
n
(
n
)
=
c
X
2
S
n
sgn
a
1
(1)
·
...
·
a
i
(
i
)
·
...
·
a
n
(
n
)
+
c
0
X
2
S
n
sgn
a
1
(1)
·
...
·
a
0
i
(
i
)
·
...
·
a
n
(
n
)
=
c
det
A
+
c
0
det
A
0
.
Stwierdzenie12.6
Je»eli
A
=[
a
ij
]
2
M
nn
(
F
)jestmacierz¡diagonaln¡
(odpowiednio:górn¡trójk¡tn¡,doln¡trójk¡tn¡)tojejwyznacznikjestilo-
czynemelementówgłównejprzek¡tnej:
det
A
=
a
11
a
22
...a
nn
.
Dowód:
Rozumowanieprzeprowadzimydlamacierzygórnejtrójk¡tnej
(zawieraprzypadekmaceirzydiagonalnej).
Niech
A
=[
a
ij
]
2
M
nn
b¦dziemacierz¡górn¡trójk¡tn¡,tzn.
a
ij
=0dla
i>j
.
Ka»danieto»samo±ciowapermutacjaprzyjmuejedlapewnegoargumentu
warto±¢mniejsz¡odtegoargumentu.Istotnie,wprzeciwnymprzypadku
(
n
)=
n
istosuj¡cindukcj¦wsteczn¡otrzymaliby±my
(
i
)=
i
dla
i
2
{
1
,...,n
}
.
Zatemdlaka»dejnieto»samo±ciowejpermutacji
2
S
n
otrzymujemy,»e
iloczyn
a
1
(1)
·
...
·
a
n
(
n
)
=0.Ostatecznie
det
A
=
X
2
S
n
sgn
a
1
(1)
·
...
·
a
n
(
n
)
=sgn(id)
a
1id(1)
·
...
·
a
n
id(
n
)
=
a
11
·
...
·
a
nn
.
Twierdzenie12.7
(Laplace’a)
NiechA
=[
a
ij
]
2
M
nn
(
F
)
,za±dlai,j
=
1
,...nsymbolA
ij
oznaczamacierz
(
n
−
1)
×
(
n
−
1)
powstał¡zmacierzyA
przezskre±leniei–tegowierszaorazj–tejkolumny.Wówczasdladowolnego
i
=1
,...,nzachodzirówno±¢
det
A
=
n
X
(
−
1)
i
+
j
a
ij
det
A
ij
.
j
=1
DodowodutwierdzeniaLaplace’apotrzebujemydwóchlematów:
3
Lemat12.8
Je»eli
2
S
n
jesttak¡permutacj¡,»edlapewnych
i,j
=
1
,...,n
spełnionyjestwarunek
(
i
)=
j
,toliczbainwersjiwci¡guliczb
(
(1)
,...,
(
i
−
1)
,
(
i
+1)
,...,
(
n
))mat¦sam¡parzysto±¢coliczba(#inv
−
(
i
+
j
)).
Lemat12.9
Niech
n
2
N
.Niechdla
k
=1
,...,n
funkcja
t
k
:
{
1
,...,n
}\
{
k
}!{
1
,...,n
−
1
}
b¦dzieokre±lonawzorem
(
j
gdy
j<k
j
−
1gdy
j>k
t
k
(
j
)=
Oznaczmydla
i,j
=1
,...,n
zbiór
Z
ij
=
{
2
S
n
;
(
i
)=
j
}
.
Wówczasdladowolnych
i,j
funkcjaprzypisuj¡capermutacji
2
Z
ij
funkcj¦
t
j
|
{
1
,...,n
}\{
i
}
t
−
1
i
jestjestbijekcj¡zbioru
Z
ij
na
S
n
−
1
.
Wniosek12.10
Je»eli
A
=[
a
ij
]
2
M
nn
(
F
),todladowolnego
j
=1
,...,n
zachodzirówno±¢
n
X
det
A
=
(
−
1)
i
+
j
a
ij
det
A
ij
.
i
=1
Definicja12.11
Przedstawieniewyznacznikamacierzy
A
=[
a
ij
]zestwier-
dzenia12.7(odpowiedniowniosku12.10)nazywamy
rozwini¦ciemLaplace’a
wzgl¦demi–tegowiersza
(odpowiednio
j–tejkolumny
).
Skalar(
−
1)
i
+
j
det
A
ij
nazywamy
dopełnieniemalgebraicznymelementu
a
ij
wmacierzy
A
.
Bezpo±redniozliniowo±ciwyznacznikawzgl¦demustalonegowiersza(stw.
12.5)wynika
Wniosek12.12
Pomno»eniewierszamacierzykwadratowejprzezskalar
niezerowymno»yjejwyznacznikprzeztensamskalar.
Innymisłowy,dla
A
2
M
nn
(
F
),dowolnego
k
=1
,...,n
oraz
a
2
F
\{
0
}
,
spełnionyjestwarunekdet(
r
a
k
(
A
))=
a
det
A
.
Stwierdzenie12.13
Zamianadwóchwierszywmacierzykwadratowejzmie-
niaznakjejwyznacznikanaprzeciwny.
Innymisłowy,dla
A
2
M
nn
(
F
)idowolnych
k,l
=1
,...,n
,
k
6
=
l
,speł-
nionyjestwarunekdet(
s
kl
(
A
))=
−
det
A
.
Dowód:
Wniosek12.14
Je»elidwawierszemacierzykwadratowejs¡równe,towy-
znaczniktejmacierzyjestrówny0.
4
Dowód:
Je»eli
R
k
=
R
l
dlapewnych
k,l
=1
,...,n
,tozestwierdzenia
12.13wynika,»e
det
A
=det(
s
kl
(
A
))=
−
det
A
,codajetez¦.
Wniosek12.15
Dodaniedojednegowierszamacierzykwadratowejinnego
wierszapomno»onegoprzezskalarniezmieniawyznacznikamacierzy.
Innymisłowy,dla
A
2
M
nn
(
F
),dowolnych
k,l
=1
,...,n
,
k
6
=
l
oraz
b
2
F
,spełnionyjestwarunekdet
p
b
kl
(
A
)
=det
A
.
Dowód:
Napodstawiestwierdzenia12.5otrzymujemy
0
R
1
.
.
.
R
k
−
1
R
k
+
bR
l
R
k
+1
.
.
.
R
n
1
0
R
1
.
.
.
R
k
−
1
R
k
R
k
+1
.
.
.
R
n
1
0
R
1
.
.
.
R
k
−
1
R
l
R
k
+1
.
.
.
R
n
1
det
p
b
kl
(
A
)
=det
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
@
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
A
=det
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
@
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
A
+
b
det
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
@
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
A
=det
A,
boostatniamacierzmarównywiersz
k
–tyi
l
–ty.
Stwierdzenie12.16
Je»eli
A
2
M
nn
,
B
2
M
mm
,to
1.
"
#
A
XB
det
=det
A
det
B
dladowolnejmacierzy
X
2
M
mn
2.
"
#
YA
B
det
=(
−
1)
mn
det
A
det
B
dladowolnejmacierzy
Y
2
M
nm
.
Dowód:
Twierdzenie12.17
(Cauchy’ego)
Je»eliA,B
2
M
nn
(
F
)
,to
det(
AB
)=det
A
det
B.
Dowód:
Niech
"
#
A
−
IB
D
=
Wówczaszestwierdzenia12.16(1)wynika,»edet
D
=det
A
det
B
.
5
Plik z chomika:
sandra.kubiak1
Inne pliki z tego folderu:
19.pdf
(101 KB)
18.pdf
(105 KB)
17.pdf
(101 KB)
16.pdf
(93 KB)
15.pdf
(91 KB)
Inne foldery tego chomika:
Camera
E-booki
Encyklopedie komputerowe
Filmy
GPS
Zgłoś jeśli
naruszono regulamin