18.pdf

18Iloczynskalarny

Załó»my,»ewszystkierozwa»aneprzetrzenieliniowerozpi¦tes¡nadciałem

liczbrzeczywistych.

Deﬁnicja18.1 Iloczynemskalarnym wrzeczywistejprzestrzeniliniowej V

nazywamyodwzorowanie g : V × V ! R spełniaj¡cewarunki:

(IP1) 8 u,v,w 2 V 8 a,b 2 R g ( a · u + b · v,w )= ag ( u,w )+ bg ( v,w )

(IP2) 8 u,v 2 V g ( u,v )= g ( v,u )

(IP3) 8 v 2 V \{ } g ( v,v ) > 0

Warto±¢funkcji g dlaargumentów v,w oznaczamycz¦stoprzez h v,w i .

Uwaga1 Zwarunków(IP1)i(IP2)wynika

(IP1 0 ) 8 u,v,w 2 V 8 a,b 2 R g ( w,a · u + b · v )= ag ( w,u )+ bg ( w,v )

Iloczynskalarnyjest funkcjonałemdwuliniowym ((IP1)oraz(IP1’)), sy-

metrycznym ((IP2))i dodatniookre±lonym ((IP3)).

Przykład18.2 1.Wprzestrzeni R n odwzorowaniedanewzorem

h ( x 1 ,...,x n ) , ( y 1 ,...,y n ) i =

n X

x i y i

i =1

jestiloczynemskalarnym.Nazywamyje standardowymiloczynemska-

larnym w R n .

2.Wprzestrzeni R n iloczynemskalarnymjesttak»eodwzorowaniedane

wzorem

n X

h ( x 1 ,...,x n ) , ( y 1 ,...,y n ) i =

g i x i y i ,

i =1

gdy g 1 ,...,g n > 0.

3.Je»eli v 1 ,...,v n jestbaz¡przestrzeniliniowej V R ,toiloczynskalarny

w V mo»eby¢okre±lonywzorem

h a 1 v 1 + ...a n v n ,b 1 v 1 + ... + b n v n i =

n X

a i b i

i =1

4.Rozwa»myprzestrze«liniow¡

(

1 X

)

l 2 =

( x n ) 2 R N ;

x 2 n < 1

n =1

znaturalnymidziałaniamidodawaniaci¡gówimno»eniaci¡guprzez

skalar.Odwzorowaniedanewzorem

h ( x n ) , ( y n ) i =

1 X

x n y n

n =1

jestiloczynemskalarnymwprzestrzeni l 2 .

5.Wprzestrzeniwielomianów R [ x ]iloczynemskalarnymjestodwzoro-

waniedanewzorem

Z 1

h f,h i =

f ( x ) h ( x ) dx.

− 1

Deﬁnicja18.3 Wprzestrzeniliniowejziloczynemskalarnym h , i wektory

u,v 2 V s¡ ortogonalne (lub prostopadłe ),gdy h u,v i =0.Piszemywtedy

u ? v .

Deﬁnicja18.4 Podprzestrzenieliniowe V 1 ,V 2 przestrzeniliniowej V zilo-

czynemskalarnyms¡ ortogonalne ,gdy v 1 ? v 2 dla v 1 2 V 1 , v 2 2 V 2 .Piszemy

wtedy V 1 ? V 2 .

Dopełnieniemortogonalnym podprzestrzeniliniowej U przestrzenilinio-

wejnazywamypodprzestrze«liniow¡

U ? = { v 2 V ; 8 u 2 U v ? u } .

Deﬁnicja18.5 Mówimy,»eukładwektorów( v i ) i 2 I zprzestrzeni V jest

układemortogonalnym ,gdy h v j ,v k i =0dla j 6 = k .Układjest ortonormalny ,

gdyjestortogonalnyoraz h v j ,v j i =1dla j 2 I .

Układwektorówjest baz¡ortogonaln¡ (odpowiednio baz¡ortonormaln¡ )

przestrzeniliniowejziloczynemskalarnym,gdyjestjejbaz¡orazukładem

ortogonalnym(odpowiednioortonormalnym).

Stwierdzenie18.6 Układortogonalnyniezawieraj¡cywektorazerowego

jestukłademliniowoniezale»nym.

Dowód: Je»eli P i 2 I a i v i jestzerow¡kombinacj¡liniow¡układuorto-

gonalnego( v i ) i 2 I ,todla j 2 I namocyaksjomatu(IP1)(orazsko«czono±ci

zbioruniezerowychwspółczynnikówkombinacji)otrzymujemy

* X

0= h ,v j i =

a i v i ,v j

= a j h v j ,v j i ,

i 2 I

sk¡diz(IP3)wynika,»e a j =0.

Przykład18.7 1.Bazakanoniczna( e 1 ,...,e n )jestbaz¡ortonormaln¡

przestrzeni R n zestandardowymiloczynemskalarnym.

2.Przyiloczynie P n i =1 g i x i y i , g i > 0,w R n bazakanonicznajestbaz¡

ortogonaln¡,abaz¡ortonormaln¡jestnp.( 1 p g 1 e 1 ,..., 1 p g n e n ).

3.Przyiloczynieskalarnymokre±lonymwprzykładzie18.2(3)( v 1 ,...,v n )

jestbaz¡ortonormaln¡.

4.Wprzestrzeni l 2 rodzinaci¡gów,wktórejci¡g i –tymana i –tymmije-

scu1anapozostałych0,stanowiukładortonormalnywtejprzestrzeni.

q 3 2 x )jestbaz¡ortonormaln¡przy

iloczynieskalarnymokre±lonymw18.2(5).

Stwierdzenie18.8 (ortogonalizacjaSchmidta)Niech( v 1 ,...,v k )b¦dzieli-

niowoniezale»nymukłademwektorówwprzestrzeniliniowej V ziloczynem

skalarnym h .,. i .Układwektorów( u 1 ,...,u k )okre±lonywarunkami

u 1 = v 1

u j = v j −

j − 1 X

h v j ,u i i

h u i ,u i i u i dla j =2 ,...,k

i =1

stanowibaz¦ortogonaln¡podprzestrzeniliniowejlin( v 1 ,...,v k ).

Ponadtoukład

p h u k ,u k i u k

jestbaz¡ortonormaln¡pod-

przestrzenilin( v 1 ,...,v k ).

Dowód: Zgodniezestwierdzeniem18.6wystarczypokaza¢,»eukład

( u 1 ,...,u k ) jestortogonalny,niezawierawektorazerowegooraz

lin( u 1 ,...,u k )=lin( v 1 ,...,v k ).

Indukcjawzgl¦demliczbyelementówukładu.

Dla j =1oczywiste,bo v 1 = u 1 6 = zliniowejniezale»no±ci.

Przypu±¢my,»ewektory u 1 ,...,u j − 1 s¡ortogonalneiniezeroweoraz

lin( u 1 ,...,u j − 1 )=lin( v 1 ,...,v j − 1 ).Niech

u j = v j −

j − 1 X

h v j ,u i i

h u i ,u i i u i .

i =1

Wówczasdla l<j zortogonalno±ciukładu( u 1 ,...,u j − 1 )iwarunku u l 6 =

otrzymujemy

h u j ,u i i = h v j ,u l i− h v j ,u l i

h u l ,u l i h u l ,u l i =0

Liniowaniezale»no±¢układu( v 1 ,...,v k )dajewszczególno±ci

v j 62 lin( u 1 ,...,u j − 1 )=lin( v 1 ,...,v j − 1 ),czyli u j 6 = .

5.Wprzestrzeni R [ x ] 1 układ( 1 p 2 ,

p h u 1 ,u 1 i u 1 ,..., 1

Wreszcie

j − 1 X

lin( u 1 ,...,u j − 1 ,u j )=lin

@ u 1 ,...,u j − 1 ,v j −

a i u i

i =1

=lin( u 1 ,...,u j − 1 ,v j )

=lin( v 1 ,...,v j − 1 ,v j ) .

Deﬁnicja18.9 Przestrzeni¡euklidesow¡liniow¡ nazywamysko«czeniewy-

miarow¡przestrze«liniow¡ziloczynemskalarnym.

Przestrzeni¡euklidesow¡ nazywamyprzestrze«afniczn¡,którejprze-

strze«no±najestprzestrzeni¡euklidesow¡liniow¡.

Wniosek18.10 Ka»daprzestrze«euklidesowaliniowaposiadabaz¦orto-

normaln¡

Ka»daprzestrze«euklidesowaposiadaortonormalnyukładwspółrz¦d-

nych.

Deﬁnicja18.11 Wprzestrzeniaﬁnicznejziloczynemskalarnym rzutem

ortogonalnym napodprzestrze«aﬁniczn¡ H nazywamyrzutrównoległyna

H wkierunkujejdopełnieniaortogonalnego S ( H ) ? .Rzuttenoznaczamy

przez H .

Stwierdzenie18.12 Je»elipodprzestrze«aﬁniczna H przestrzenieuklide-

sowej E przechodziprzezpunkt q ,ajejprzestrze«no±na S ( H )mabaz¦

ortogonaln¡( u 1 ,...,u k ),torzutemortogonalnympunktu p 2 E napod-

przestrze« H jestpunkt

H ( p )= q +

k X

h −! qp,u i i

h u i ,u i i u i .

i =1

Wszczególno±ci,gdybaza( u 1 ,...,u k )jestortonormalna,to

H ( p )= q +

k X

h −! qp,u i i u i .

i =1

Dowód: Warunek(IP3)poci¡gazasob¡rozł¡czno±¢podprzestrzeni

liniowych S ( H )i S ( H ) ? .

Zauwa»my,»edla i =1 ,...,k

k X

h −! qp,u i i

h u i ,u i i u i ,u i

−! qp −

=0 ,

i =1

wi¦cwektortenjestortogonalnydo S ( H ),le»ywi¦cw S ( H ) ? .

Zatem S ( H ) S ( H ) ? = V = S ( E )irzutprostopadłyjestdobrzeokr e-

±lony.Zjednoznaczno±cirzuturównoległegowynikawzórna H ( p ).

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: