przybliżenie semiklasyczne.pdf

14 Przybli»enie semiklasyczne

W tym rozdziale rozwa»ymy rachunek przybli»ony, który opiera si¦ na rozwini¦ciu funkcji

falowej w szereg pot¦g stałej Plancka. Zakłada si¦ przy tym jawnie , »e¹ h jest małym

parametrem (co to znaczy „mały” parametr wymaga oczywi±cie u±ci±lenia). Gdyby¹ h

było równe zeru, odtworzyliby±my mechanik¦ klasyczn¡. Ograniczenie si¦ do kilku pier-

wszych pot¦g¹ h jest st¡d nazywane przebli»eniem semiklasycznym . W literaturze znane

jest ono tak»e po nazw¡ przybli»enia WKB od nazwisk jego twórców: Wentzla, Kramersa

i Brillouina.

Warto te» pami¦ta¢, »e uzyskane t¡ metod¡ wyra»enia na kwantyzacj¦ energii, były

znane wcze±niej jako warunki kwantyzacji Bohra-Sommerfelda. Warunki te we wczesnym

okresie rozwoju mechaniki kwantowej usiłowano zgadn¡¢ na podstawie pewnych zało»e«;

tu wyprowadzimy je ±ci±le.

14.1 Ogólna posta¢ funkcji falowej

Punktem wyj±ciowym jest zale»ne od czasu równanie Schrödingera

@t = ¡ ¹ h 2

i ¹ h @Ã

~ r 2 Ã + V ( ~r ) Ã:

(14.1)

2 m

Poniewa» interesuje nas stan zwi¡zany o zadanej energii E funkcj¦ Ã zapiszemy w postaci:

Ã ( ~r;t )= Ae ¡i ( Et¡S ( ~r )) = ¹ h :

(14.2)

Równanie (14.1) mo»na przepisa¢ jako równanie na faz¦ S :

³ ~ rS ( ~r )

´ 2

2 m

¡ ( E¡V ( ~r )) ¡i ¹ h

2 m

~ r 2 S ( ~r )=0 :

(14.3)

W przypadku jednowymiarowym, do którego si¦ teraz ograniczymy, równanie (14.3) przyj-

muje posta¢:

S 0 2 ¡ 2 m ( E¡V ) ¡i ¹ hS 00 =0 ;

(14.4)

gdzie prim oznacza ró»niczkowanie po x .

Przybli»enie, które teraz zrobimy, polega na rozwini¦ciu fazy S w pot¦gi¹ h . Warto w

tym miejscu zauwa»y¢, »e rozwini¦cie to ma nieco inny charakter ni» rozwini¦cie omawiane

w rozdziale (??), ze wzgl¦du na to, »e¹ h jest parametrem wymiarowym. W praktyce

ograniczymy si¦ do pierwszej pot¦gi¹ h :

S = S 0 +¹ hS 1 + :::;

(14.5)

co daje

S 0 2 0 +2¹ hS 0 0 S 0 1 + :::¡ 2 m ( E¡V ) ¡i ¹ hS 00 0 + ::: =0 : (14.6)

Prównuj¡c współczynniki przy kolejnych pot¦gach¹ h otrzymujemy dwa równania:

S 0 0 = § p 2 m ( E¡V ) ;

S 00 0 = ¡ 2 iS 0 0 S 0 1 :

(14.7)

Jak wida¢ S 0 0 ma sens klasycznego p¦du cz¡stki poruszaj¡cej si¦ w potencjale V ( x ). Pier-

wsze z równa« (14.7) daje si¦ łatwo scałkowa¢:

x Z

dx 0 p

S 0 ( x )= §

2 m ( E¡V ( x 0 ))+const.,

(14.8)

gdzie stała const. zwi¡zana z doln¡ granic¡ całkowania, redeﬁniuje i tak na razie dowoln¡

stał¡ A z rówania (14.2) i dlatego mo»e zosta¢ pomini¦ta. Drugie z równa« (14.7) daje

si¦ te» prosto scałkowa¢

S 00 0

S 0 0

= d

dx ln S 0 0 = ¡ 2 iS 0 1

(14.9)

i dalej

S 1 ( x )= i

2 ln S 0 0 ( x )= i

2 ln p ( x ) :

(14.10)

Warto zauwa»y¢, »e równanie na S 1 nie zale»y od znaku S 0 (znak ten upraszcza si¦ w

(14.9)), a ewentualna stała addytywna znowu mo»e zosta¢ wci¡gni¦ta do A .

Podsumowuj¡c, ogólna posta¢ funkcji falowej Ã dana jest jako

x R dx 0 p 2 m ( E¡V ( x 0 )) e ¡ ln 4 p 2 m ( E¡V ( x ))

= A §

Ã ( x )= A § e § i ¹ h

x R dx 0 p 2 m ( E¡V ( x 0 )) : (14.11)

4 p 2 m ( E¡V ( x )) e § i ¹ h

Poniewa» wielko±¢ E¡V ( x )mo»e przyjmowa¢ warto±ci ujemne i dodatnie, warto wprowadzi¢

oznaczenia

k ( x )= 1

¹ h

2 m ( E¡V ( x ))dla x 1 <x<x 2

· ( x )= 1

¹ h

2 m ( V ( x ) ¡E )dla x<x 1 lub x 2 <x; (14.12)

gdzie x 1 ; 2 s¡ klasycznymi punktami zwrotu.

14.2 Posta¢ funkcji falowej

Zapiszmy funkcj¦ (14.11) w obszarach I ) i II ):

2 p ¹ h· ( x ) e ¡ x 1 R

Ã I ( x )= A

dx 0 · ( x 0 )

;

i x R

x 1

¡i x R

x 1

II ( x )= C 1

dx 0 k ( x 0 )

+ C 2

dx 0 k ( x 0 )

Ã (1)

p ¹ hk ( x ) e

; (14.13)

gdzie dla funkcji Ã I wybrali±my znak " ¡ "w eksponencie, aby znikała dla x!¡1 , a

czynnik 2 w normalizacji został dodany dla pó¹niejszej wygody. Index(1)przy funkcji

Ã II oznacza, »e w całce po dx 0 za doln¡ granic¦ wybrali±my x 1 . Zauwa»my, »e funkcj¦

falow¡ w obszarze II ) mo»emy zapisa¢ inaczej

p ¹ hk ( x ) e i x 2 R

p ¹ hk ( x ) e ¡i x 2 R

II ( x )= D 1

+ D 2

dx 0 k ( x 0 )

Ã (2)

: (14.14)

I wreszcie w obszarze III )

¡ x R

x 2

dx 0 · ( x 0 )

Ã III ( x )= B

2 p ¹ h· ( x ) e

(14.15)

14.3 Warunki zszycia

Wyprowadzon¡ w poprzednim paragraﬁe posta¢ funkcji falowej u»yjemy do opisu cz¡stki

w trzech obszarach I ) na lewo od punktu zwrotu x 1 , II ) mi¦dzy punktami zwrotu x 1 <

x<x 2 i III ) na prawo od punktu x 2 . Zauwa»my, »e przybli»enie (14.11) nie stosuje si¦ w

punktach zwrotu i w pewnych otoczeniach wokół punktów zwrotu. Poniewa», aby uzyska¢

funkcj¦ falow¡ dla wszystkich x -ów, musimy dokona¢ zszycia fragmentów funkcji falowej

zadanych w poszczególnych obszarach, zachodzi potrzeba zastosowania jakiego± innego

przybli»enia, słusznego w punktach zwrotu i w najbli»szym ich otoczeniu. Najprostszym

rozwi¡zaniem jest przybli»enie potencjału przez lini¦ prost¡

V ( x )= E¡F 1 ( x¡x 1 )+ ::: dla x»x 1 ;

V ( x )= E + F 2 ( x¡x 2 )+ ::: dla x»x 2 ;

(14.16)

gdzie F 1 ; 2 > 0. W tym przybli»eniu równanie Schrödingera redukuje si¦ do równania

Bessela i mo»na go dokładnie rozwi¡za¢. Otrzymane w ten sposób rozwi¡zanie mo»na

nast¦pnie zszy¢ z funkcj¡ falow¡ (14.11) po lewej i po prawej stronie punktów zwrotu.

Metoda ta opisana jest w podr¦czniku Schia.

My post¡pimy jednak inaczej: obejdziemy osobliwo±¢ funkcji (14.11) po małym okr¦gu

w płaszczy¹nie zespolonego x . Jest to metoda opisana w podr¦czniku Landaua i Lifszica.

Dla x bliskich x 1 zachodzi

k ( x )= 1

¹ h

2 mF 1 ( x¡x 1 ) 1 = 2 ;

· ( x )= 1

¹ h

2 mF 1 ( x 1 ¡x ) 1 = 2 :

(14.17)

W konsekwencji

x Z

dx 0 k ( x 0 )= 2

3¹ h

2 mF 1 ( x¡x 1 ) 3 = 2 ;

x 1

dx 0 · ( x 0 )= 2

3¹ h

2 mF 1 ( x 1 ¡x ) 3 = 2

(14.18)

III

j = 0

-p

j = 0

x 1

x 2

-p

Przechodz¡c od obszaru I do II napotykamy na osobliwo±¢ zwi¡zan¡ z zerem · ( x ). Aby

j¡ omin¡¢ przyjmiemy

x 1 ¡x = ½e i' ; (14.19)

przy czym ' =0dla x<x 1 i zmienia si¦ od 0 do ¡¼ , je»eli poruszamy si¦ od I do II

po małym okr¦gu o promieniu ½ zgodnie z ruchem wskazówek zegara a» do x>x 1 , lub

od 0 do ¼ , je»eli poruszamy si¦ po dolnym półokr¦gu w stron¦ przeciwn¡ ni» wskazówki

zegara. Przechodz¡c po górnym półokr¦gu mamy zatem

x 1

dx 0 · ( x 0 )= 2 p 2 mF 1

3¹ h ½ 3 = 2 ! 2 p 2 mF 1

3¹ h ½ 3 = 2 e ¡i 3 ¼ 2

= 2 p 2 mF 1

x Z

3¹ h ( x¡x 1 ) 3 = 2 i = i

dx 0 k ( x 0 ) (14.20)

x 1

Podobnie czynnik

p ¹ h· ( x )= 4 p

2 mF 1 ( x 1 ¡x ) 1 = 4 ¡! 4 p

2 mF 1 ( x¡x 1 ) 1 = 4 e ¡i ¼ 4

¹ hk ( x ) e ¡i ¼ 4 :

(14.21)

W sumie otrzymujemy, »e:

¡i x R

x 1

x 1 R

¡! Ae i ¼ 4

Ã I ( x )= A

dx 0 k ( x 0 )

dx 0 · ( x 0 )

2 p ¹ h· ( x ) e

2 p ¹ hk ( x ) e

: (14.22)

Widzimy, »e dokonuj¡c obej±cia osobliwo±ci po górnym półokr¦gu odtwarzamy tylko jeden

fragment funkcji falowej w obszarze II , przy czym zachodzi

C 2 = 1

2 Ae i ¼ 4 :

(14.23)

Obchodz¡c osobliwo±¢ po dolnym półokr¦gu otrzymujemy

dx 0 · ( x 0 )= 2 p 2 mF 1

3¹ h ½ 3 = 2 ¡! 2 p 2 mF 1

x 1

3¹ h ½ 3 = 2 e i 3 ¼ 2

= 2 p 2 mF 1

x Z

3¹ h ( x¡x 1 ) 3 = 2 ( ¡i )= ¡i

dx 0 k ( x 0 ) (14.24)

x 1

oraz

¹ h· ( x )= 4 p

2 mF 1 ( x 1 ¡x ) 1 = 4 ¡! 4 p

2 mF 1 ( x¡x 1 ) 1 = 4 e + i ¼ 4

p ¹ hk ( x ) e + i ¼ 4 :

(14.25)

Z ròwna« (14.24,14.25) wynika, »e

x R

x 1 R

¡! Ae ¡i ¼ 4

dx 0 k ( x 0 )

Ã I ( x )= A

dx 0 · ( x 0 )

2 p ¹ h· ( x ) e

2 p ¹ hk ( x ) e

: (14.26)

x 1

Zatem obchodz¡c osobliwo±¢ po dolnym półokr¦gu odtworzyli±my drugi składnik funkcji

falowej w obszarze II , przy czym

C 1 = 1

2 Ae ¡i ¼ 4 :

(14.27)

Zanim podstawimy warto±ci C 1 i C 2 do równania (14.13) spróbujmy zastanowi¢ si¦,

dlaczego obchodz¡c osobliwo±¢ gór¡ lub dołem odtwarzamy tylko jeden fragment funkcji

falowej w obszarze II . W tym celu warto prze±ledzi¢ zmian¦ pełnej funkcji falowej (14.13)

przy przej±ciu w stron¦ przeciwn¡, to jest z obszaru II do obszaru I . W obszarze II w

pobli»u x = x 1

x Z

§i cos 3 ' 0

2 ¨ sin 3 ' 0

dx 0 k ( x 0 ) '½ 3 = 2

§i

; (14.28)

x 1

przy czym ' 0 zmienia si¦ od0do ¼ dla przej±cia gór¡ lub0do ¡¼ dla przej±cia dołem.

Rozwa»my przej±cie gór¡. Decyduj¡cy jest tu czynnik:

sin 3 ' 0

2 ;

(14.29)

który na pocz¡tku maleje dla cz¦±ci proporcjonalnej do C 1 (znak+w eksponencie), nato-

miast ro±nie dla cz¦±ci proporcjonalnej do C 2 (znak ¡ w eksponencie). St¡d przy obej±ciu

gór¡ człon proporcjonalny do C 1 „gubi” si¦ na tle rosn¡cego członu proporcjonalnego do

C 2 . Przybli»enie semiklasyczne nie pozwala na utrzymanie wrazu eksponencjalnie małego

na tle członu wiod¡cego. Dla przej±cia dołem sytuacja si¦ odwraca i „gubi” si¦ człon

proporcjonalny do C 2 :

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: